Praktisch - 1-10 Übung zur Vorlesung PC‐I - Chemische Thermodynamik mit Lösungen - SS2009 PDF
| Title | Praktisch - 1-10 Übung zur Vorlesung PC‐I - Chemische Thermodynamik mit Lösungen - SS2009 |
|---|---|
| Course | Einführung in die Physikalische Chemie |
| Institution | Philipps-Universität Marburg |
| Pages | 52 |
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1-10 Übung zur Vorlesung PC‐I - Chemische Thermodynamik mit Lösungen - SS2009...
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Prof.Dr.NorbertHampp DanielKehrlößer
Sommersemester2009
16April2009
ÜbungzurVorlesungPC‐I„Chemische Thermodynamik“B.Sc. Blatt1 1. a) WiegroßistdasMolvolumeneinesidealenGasesbeiStandardbedingungen(SATP:standard ambient temperature and pressure; 25°C, 1bar) bzw. bei Normalbedingungen (STP: standard temperatureandpressure;273,15K,1atm)? b) WelcherDruckeinesidealenGasesliegtbei0°CundeinemVolumenvon280µl∙mol‐1vor? c) WelcheTemperaturergibtsichfür800Paund311l∙mol‐1? 2. BerechnensiedenCO2–AusstoßeinesMenschen(ing)füreinenZeitraumvon2,5Stundenund vergleichen sie diesen mit dem eines Marathonläufers, der es in der gleichen Zeit ins Ziel geschaffthat,sowiedemeinesPKW,derdiegleicheStreckevon42kmzurückgelegthat. Nehmen sie dabei an, dass ein normaler Mensch in Ruhe 15‐mal pro Minute atmet und dabei 500ml Luft pro Atemzug mit der Umgebung austauscht. Ein gut trainierter Marathonläufer schafft ein Atemvolumen von 200l∙min‐1. Die verbrauchte Luft beinhaltet 0,4 Vol‐% CO2. Der PKW verbraucht 6 l Kraftstoff auf 100 Kilometer. Nehmen sie dabei an, dass es sich um reines Octanhandelt(ρ:0,7g∙cm‐3) 3. LeitenSieausdervan‐der‐Waals Gleichung
p(Vm ) =
R ⋅T a − 2 Vm − b Vm
AusdrückefürdieWertevonVolumen,Druckund TemperaturamkritischenPunkther.Hinweis: Der kritische Punkt ist im pV‐Diagramm als Sattelpunkt charakterisiert, d.h. erste und zweite AbleitungderFunktionp(Vm) sinddortgleichNull. 4. InvielenSyntheselabors findensich 50lDruckgasflaschengefülltmitArgonbzw. Stickstoff.Der Druck einer vollen Flasche liegt bei 200bar. Welches Volumen ergibt sich für den Inhalt der Flaschen bei Raumdruck (1bar) und Raumtemperatur (25°C) unter a) idealen Bedingungen, b) realenBedingungen.WieoftmussdieFlasche,beieinemtäglichenVerbrauchvon50l,getauscht werden? (Ar: a=0,1355MPa∙dm6∙mol‐2 b=3,2∙10‐2dm3∙mol‐1; N2: a=0,1370MPa∙dm6∙mol‐2 b=3,87∙10‐2dm3∙mol‐1)
DiesesAufgabenBlattwirdamFreitagden 24.April2009indenÜbungsgruppenbesprochen
Prof.Dr.NorbertHampp DanielKehrlößer
Sommersemester2009
16April2009
ÜbungzurVorlesungPC‐I„Chemische Thermodynamik“B.Sc. Blatt1 1. a) WiegroßistdasMolvolumeneinesidealenGasesbeiStandardbedingungen(SATP:standard ambient temperature and pressure; 25°C, 1bar) bzw. bei Normalbedingungen (STP: standard temperatureandpressure;273,15K,1atm)? b) WelcherDruckeinesidealenGasesliegtbei0°CundeinemVolumenvon280µl∙mol‐1vor? c) WelcheTemperaturergibtsichfür800Paund311l∙mol‐1? IdealeGasgleichung:
p ⋅Vm = n ⋅ R ⋅T n⋅ R ⋅ T n⋅ R ⋅T p ⋅ Vm bzw.p = ;T = ⇒ Vm = p Vm n ⋅R a) Vm , STAP = 24,789
l l ;Vm ,STP = 22,414 mol mol
9
b) p = 8 ⋅ 10 Pa c) T = 30K 2. BerechnensiedenCO2–Ausstoß(ing)einesMenschenfüreinen Zeitraumvon2,5Stundenund vergleichen sie diesen mit dem eines Marathonläufers, der es in der gleichen Zeit ins Ziel geschaffthat,sowiedemeinesPKW,derdiegleicheStreckevon42kmzurückgelegthat. Nehmen sie dabei an, dass ein normaler Mensch in Ruhe 15‐mal pro Minute atmet und dabei 500ml Luft pro Atemzug mit der Umgebung austauscht. Ein gut trainierter Marathonläufer schaffteinAtemvolumenvon200l∙min‐1. Die verbrauchteLuftbeinhaltet4Vol‐%CO2.DerPKW verbraucht6lKraftstoffauf100Kilometer.Nehmen sie dabei an, dass es sich um reines Octan handelt(ρ:0,7g∙cm‐3) NormalerMensch:
15 ⋅ 0,5lLuft=7,5lLuftproMinute=450lLuftproStunde ⇒ 1125lLuftin2,5Stunden ⇒ CO2 ‐Anteil:1125l ⋅ 4Vol%=45l IdealeGasgleichung: p ⋅ Vm = n ⋅ R ⋅ T
5
⇒n=
−3
3
10 Pa ⋅ 45 ⋅10 m R ⋅T = = 1,85 mol p ⋅Vm 8,31447 J ⋅ mol −1K −1 ⋅293,15 K
DasLesendiesesLösungsblattsersetztnichtdenregelmäßigenBesuchderÜbungsgruppen!
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−
⇒ m = M ⋅ n = 1,85mol ⋅ 44g ⋅ mol 1 = 81,4g Marathonläufer:
200lLuftproMinute=12000lLuftpro Stunde ⇒ 30000lLuftin2,5Stunden ⇒ CO2 ‐Anteil:30000l ⋅ 4Vol%=1200l 105 Pa ⋅ 1200 ⋅10 −3 m3 p ⋅ Vm = = 49,23 mol R ⋅ T 8,31447 J ⋅ mol −1K −1 ⋅293,15 K −1 ⇒ m = M ⋅ n = 49,23 mol ⋅44 g ⋅ mol = 2,16 kg ⇒n=
PKW:
6lOctan(C 8H18 )auf100km ⇒ 2,52l(C 8H18 )auf42km ⇒ mitρ (C8H18 ) =0,7kg ⋅ dm −3 2,52l(C8H18 )=1,764kg(C8 H18 ) ⇒n=
m M(C 8H18 )
= 1,764 kg ⋅114 g ⋅ mol−1 = 15,44 mol(C 8H 18)
2C8 H18 +25O2 → 16CO2 +18H2 O ⇒ 1molC 8H18 enspricht8molCO2 ⇒ 123,5molCO2 auf42km ⇒ m = n ⋅M = 123,5mol ⋅ 44g ⋅ mol −1 = 5,435kg 3. LeitenSieausdervan‐der‐Waals Gleichung
p(Vm ) =
R ⋅T a − 2 Vm − b Vm
AusdrückefürdieWertevonVolumen,Druckund TemperaturamkritischenPunkther.Hinweis: Der kritische Punkt ist im pV‐Diagramm als Sattelpunkt charakterisiert, d.h. erste und zweite AbleitungderFunktionp(Vm) sinddortgleichNull.
p=
RT a − 2 Vm − b Vm (I)
Kettenregel : f (x ) = F (u (x )) f '(x ) = F '(u ) ⋅u '(x ) RT ;u (x ) = Vm − b F (u ) = u RT F '(u) = − 2 ;u '(x ) = 1 u
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Sommersemester2009
2a dp RT 0amkritischenPunkt =− 2 + 3 = (Vm − b) Vm dVm
d p 2RT 6a 0amkritischenPunkt 2 = 3 − 4 = dVm (Vm − b ) Vm
16April2009
(II)
2
(III)
aus(II)folgtfüra:
3
a=
VmRT 2 V 2( m − b)
(IV)
(IV)in(III)
2RT 6Vm3RT − = 0 (Vm − b)3 Vm4 2(Vm − b)2 2RT 3RT (Vm − b) − = 0 3 (Vm − b) Vm (Vm − b)3 2RT − 3RT (Vm − b ) = 0 2RT − 3RTVm + 3RTb = 0 RT (−Vm + 3b) = 0
(V)
Vmkrit = 3b
(V)in(II) RT 2a − =0 2 + (3 b − b) (3 b)3 RT 2a − 2+ =0 4b 27b 3 27 RTb + 8 a − =0 108b3 27RTb = 8a 8a T krit = 27Rb
(VI)
(V)und(VI)in(I) R ⋅ 8a a − 2 p= 2b ⋅27Rb 9b
(VII)
4. InvielenSyntheselabors findensich 50lDruckgasflaschengefülltmitArgonbzw. Stickstoff.Der Druck einer vollen Flasche liegt bei 200bar. Welches Volumen ergibt sich für den Inhalt der Flaschen bei Raumdruck (1bar) und Raumtemperatur (25°C) unter a) idealen Bedingungen, b) realenBedingungen.WieoftmussdieFlasche,beieinemtäglichenVerbrauchvon50l,getauscht werden? (Ar: a=0,1355MPa∙dm6∙mol‐2 b=3,2∙10‐2dm3∙mol‐1; N2: a=0,1370MPa∙dm6∙mol‐2 b=3,87∙10‐2dm3∙mol‐1)Unter idealen Bedingungen können wir die beiden Gase nicht von einanderUnterscheidenfolglichhaltenbeideFlaschengleichlange. DasLesendiesesLösungsblattsersetztnichtdenregelmäßigenBesuchderÜbungsgruppen!
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Sommersemester2009
16April2009
idealeBedingungen: pV RT 5 3 3 200 ⋅10 Pa ⋅ 50 ⋅10− m n= 1 1 8,31447 JK − mol − ⋅ 298,15 K n = 403,4 mol n=
Mit VmSATP aus Aufgabe 1a) = 24,789 l∙mol‐1 ergibt sich ein Gesamtvolumen unter Normaldruck vonca.10000lwaseinemVorratvon200Tagenentspricht Bei realen Bedingungen müssen wir die Van‐der‐Waals‐Koeffizienten der beiden Gase mit berücksichtigen.
realeBedingungen: nRT ⎛n ⎞ p= − a⎜ ⎟ (V − nb) ⎝V ⎠ 2 an nRT p+ 2 = (V − nb) V
2
2
3
an abn − 2 = nRT (VIII) V V 3 2 2 3 pV bpV n aVn abn 1 0 2 − 2 + 2 − 2 − = nRTV nRTV nRTV nRTV pV 3 − bpV 2 n + aVn2 − abn3 − nRTV 2 = 0 pV − pnb +
3 2 2 3 pV − (bp + RT )V n + aVn − abn = 0
−
pV 3 (bp + RT )V 2n Vn 2 + − + n3 = 0 ab ab b
MitdersoerhaltenenkubischenGleichung(VIII)musszunächst,mitHilfe einermathematischen Formelsammlung,dieStoffmengeninnerhalbderFlaschebestimmtwerden.
ÜberdieArtderLösungeneinerkubische Gleichungenderallg.Form: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 3
2
⎛ p⎞ ⎛ q⎞ entscheidetdieDiskriminante D = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝2⎠ 2 3 3b − a 2a ab mitp = undq = − +c 3 27 3 fürdenFallD>0ergibtsicheinere aleLösung:
a x1 = u + v − 3
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16April2009
mit: q u= 3 − + D 2 q u= 3 − − D 2 aus(VIII)ergibtsichfürArgon: pV 3 = −576568265,7mol 3 ab 2 (bp + RT )V b= = 1798292,914mol2 ab V a = = − 1562,5mol b undanalogfürStickstoff: c=−
pV 3 = − 471529074,5mol 3 ab (bp + RT )V 2 b= = 1533864,855mol 2 ab V a = = − 1291,9 89664mol b
c=−
Mit der Lösungsformel für kubische Gleichungen lässt sich die Stoffmenge an Argon bzw. Stickstoffzun=442,63molbzw.400,72molberechnen. ZurBestimmungdesVolumens beiRaumdruckunterrealenBedingungenverwendenwirerneut diekubischeGleichung(VIII)jedochdiesmalmitValsVariable.
p 3 ( bp+ RT) n 2 n2 V + V − V + n3 = 0 ab ab b 2 abn3 (bp + RT)n 2 an 3 V − V + V− =0 p p p −
(IX)
aus(IX)ergibtsichfürArgon: c=
abn3 = − 3760112,91l 3 p
an2 = 265468,9327l 2 p (bp + RT )n a= = − 10986,68928l p
b=
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16April2009
undanalogfürStickstoff: c=
abn3 = − 3411461,082l 3 p
an2 = 219985,0461l 2 p (bp + RT )n = − 9949,08511l a= p
b=
Mitder Lösungsformel für kubische Gleichungen lässt sich die das Volumen bei Raumdruck für Argonbzw.StickstoffzuV=10963lbzw.9927lberechnen. DieDruckgasflaschemitArgonhältsomit219TagediemitStickstoffhingegennur198Tage.
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Sommersemester2009
24.04.2009
ÜbungzurVorlesungPC‐I„Chemische Thermodynamik“B.Sc. Blatt2 1. Abweichungen vom idealen Verhalten bei Gasen lassen sich durch Angabe des KompressionsfaktorsZ=pVm/RTcharakterisieren,der füridealeGase1beträgt.FürrealeGase kannmanihndurcheinePotenzreiheiminversenmolarenVolumenangeben(Virialentwicklung):
Z = 1+
B C + + ... Vm Vm2
Bestimmen Sie Werte für den zweiten und dritten Virialkoeffizienten B bzw. C, für die die VirialgleichungderVan‐der‐WaalsGleichungentspricht. Hinweis:VerwendenSiedieTaylorreihenentwicklung:
1 = 1 + x + x2 + ... 1 −x
2. WelchenWertbesitztderKompressionsfaktorvonEthanbei 27°CfüreinenBehältervon4,86l der10moldesGasesenthält? Hinweis: Verwenden Sie die in 1. hergeleiteten Vrialkoeffizienten B und C. (Für Ethan: a=5,507atm∙dm6∙mol‐2b=0,0651dm3∙mol‐1) 3. LeitensieausderMaxwell’schenGeschwindigkeitsverteilung, a)diewahrscheinlichsteGeschwindigkeit, b)denmittlerenImpuls, c)diemittlerekinetischeEnergie abundberechnenSiefürArgon undStickstoffbei25°C bzw.50°C diejeweiligen Werte.Gehen SiedavonausdassichdieGaseidealverhalten.
DiesesAufgabenBlattwirdamFreitagden 08.Mai2009indenÜbungsgruppenbesprochen
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Sommersemester2009
11.05.2009
ÜbungzurVorlesungPC‐I„Chemische Thermodynamik“B.Sc. Blatt2 1. Abweichungen vom idealen Verhalten bei Gasen lassen sich durch Angabe des KompressionsfaktorsZ=pVm/RTcharakterisieren,der füridealeGase1beträgt.FürrealeGase kannmanihndurcheinePotenzreiheiminversenmolarenVolumenangeben(Virialentwicklung):
Z = 1+
B C + + ... Vm Vm2
Bestimmen Sie Werte für den zweiten und dritten Virialkoeffizienten B bzw. C, für die die VirialgleichungderVan‐der‐WaalsGleichungentspricht. Hinweis:VerwendenSiedieTaylorreihenentwicklung:
1 = 1 + x + x2 + ... − 1 x
AusderVan‐der‐Waals‐Gleichung p=
RT a − 2 (Vm − b) Vm
wird
RT ausgeklammert Vm
⎛ ⎞ ⎜ 1 RT a ⎟ ⇒p= ⎜ − ⎟ Vm ⎜ 1 − b RTV m ⎟ ⎜ ⎟ Vm ⎝ ⎠ FürdieTaylorreihenentwicklungmit x = 2
RT ⎛ b ⎛ b⎞ a ⎜1 + + ⎜ ⎟ + ... − p≈ Vm ⎜ Vm ⎝ Vm ⎠ RTVm ⎝
b ergibtsich: Vm
⎞ b ⎟ für < 1 ⎟ Vm ⎠
OrdnennachsteigenderPotenzvonVmundausklammernvon
p≈
1 führtzu: Vm
⎞ 1 ⎛ RT ⎛ a ⎞ 1 2 ⎜1 + ⎜b − ⎟+ 2 b + ... ⎟ Vm ⎝ Vm ⎝ RT ⎠ Vm ⎠
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Sommersemester2009
11.05.2009
SomitergibtsichfürdenKompressionsfaktorZ:
Z=
1 pVm a ⎞ 1 2 ≈ 1 + ⎛⎜ b − + b + ... RT V m ⎝ RT ⎟⎠ V m2
DieViralkoeffizientensindsomit:
B = b−
a undC = b2 RT
2. WelchenWertbesitztderKompressionsfaktorvonEthanbei 27°CfüreinenBehältervon4,86l der10moldesGasesenthält? Hinweis: Verwenden sie die in 1. hergeleiteten Vrialkoeffizienten B und C. (Für Ethan: a=5,507atm∙dm6∙mol‐2b=0,0651dm3∙mol‐1)
1 ⎛ a ⎞ 1 2 ⎜b − ⎟+ b Vm ⎝ RT ⎠ Vm2 V 4,86 l = 0,486l ⋅ mol −1 mitVm = = n 10mol ⎞ 1mol 2 1mol ⎛ 5,507atm ⋅ dm 6 ⋅ K ⋅ mol −1 3 Z = 1+ 0,06512 dm6mol −2 ⎜ 0,0651dm mol − 3 2⎟+ 2 2⋅ 0,486l ⎝ 0,0820574 dm atm ⋅300 K ⋅ mol ⎠ 0,486 l Z = 0,69
Z = 1+
3. LeitensieausderMaxwell’schenGeschwindigkeitsverteilung, a)diewahrscheinlichsteGeschwindigkeit, b)denmittlerenImpuls, c)diemittlerekinetischeEnergie abundberechnenSiefürArgon undStickstoffbei25°C bzw.50°C die jeweiligen Werte. Gehen SiedavonausdassichdieGaseidealverhalten. Die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung oder auch Maxwell‐Boltzmann‐Verteilung ist eine WahrscheinlichkeitsverteilungderstatistischenPhysikundspieltinderThermodynamik, speziell der kinetischen Gastheorie, eine wichtige Rolle. Sie beschreibt die Verteilung der TeilchengeschwindigkeitenvineinemidealenGas.Siewurde1860vonJamesClerkMaxwellund LudwigBoltzmannabgeleitet.Sielautet: 3
2
3
2
mv Mv ⎛ m ⎞2 2 − 2 kT = ⎛ M ⎞2 2 − 2 RT = f (v ) 4π ⎜ 4π ⎜ ⎟ ve ⎟ ve ⎝ 2π kT ⎠ ⎝ 2π RT ⎠
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11.05.2009
In einem idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit, sondern statistisch verteilt mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Es wird hierbei keine Raumrichtung bevorzugt, die Bewegungsrichtung ist also rein zufällig (Brown’sche Molekularbewegung). Die vereinfachende Voraussetzung eines idealen Gases innerhalb der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung führt zu Abweichungen, falls man diese auf reale Gaseanwendet.DieApproximationderMaxwell’scheGeschwindigkeitsverteilungauf realeGase isthierbeiumsobesser, jeschwächerderrealeCharakterdesGasesist.Im Falleeines niedrigen Druckes und einer hohen Temperatur ist die Abweichung für die meisten Betrachtungen vernachlässigbar gering. Mit steigender Temperatur T nimmt die durchschnittliche GeschwindigkeitzuunddieVerteilungwirdgleichzeitigbreiter.MitsteigenderTeilchenmassem hingegen nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit ab und die Geschwindigkeitsverteilung wird gleichzeitig schmaler. Man kann in realistischen Fällen davon ausgehen, dass die Geschwindigkeitsverteilung praktisch kontinuierlich ist. Die Summen werden daher durch Integraleersetzt. a) Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vˆ ist die Geschwindigkeit am Maximum der Verteilungsfunktion.Wirerhalten vˆ daherdurchDifferenzierenvonf(v)nachvmitHilfeder ProduktregelundNullsetzendererstenAbleitung.
DieProduktregellautet: wenn f( x) = u( x) ⋅v( x)dannist f´( x) = u´( x) ⋅ v( x) + u( x) ⋅ v´( x)
fürdieMaxwell'scheGeschwingigkeitsverteilung: 3
2
mv ⎛ m ⎞ 2 2 − 2kT f (v) = 4π ⎜ ⎟ ve ⎝ 2π kT ⎠
3
mv2
− ⎛ m ⎞2 2 v undv (x ) = e 2 kT folgtmitu(x) = 4π ⎜ ⎟ ⎝ 2π kT ⎠ 3
mv mv − mv ⎞ − 2 kT ⎤ ⎛ m ⎞2 ⎡ 2⎛ 2 kT f ´(v) = 4π ⎜ v e v e 2 ⋅ ⋅ + − ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2π kT ⎠ ⎣⎢ ⎝ kT ⎠ ⎦⎥ 3
2
2
2
mv 2 ⎛ m ⎞ 2 ⋅ ⋅ − 2kT ⋅ ⎛ 2 − mv ⎞ v e f ´(v) = 4π ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ kT ⎠ ⎝ 2π kT ⎠ ⎝
⎛ mv 2 ⎞ DieNullstellenderFunktionergebensichausv ⋅⎜ 2 − ⎟ = 0 kT ⎠ ⎝ v1 = 0;MinimumfürdieNullstelle(f (0) = 0)
DasLesendiesesLösungsblattsersetztnichtdenregelmäßigenBesuchderÜbungsgruppen!
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Sommersemester2009
11.05.2009
zweiweitereNullstellenergebensichaus: 2
2−
mv =0 kT
mv2 =2 kT v2/3 = ±
2kT m
FürdiewahrscheinlichsteGeschwindigkeit vˆ istnurderBetragrelevantundesergibtsich:
2 kT 2 RT = m M 2⋅ 8,31447 J ⋅ 298,15K ⋅ mol vˆAr ,298,15 K = 0,0399 kg ⋅ mol ⋅ K vˆ =
vˆAr ,298,15 K = 352,3m ⋅ s−1 vˆAr ,323,15 K = 382,9 m ⋅ s− 1 vˆN 2 ,298,15K =
2 ⋅ 8,31447 J ⋅ 298,15K ⋅ mol 0,028 kg ⋅ mol ⋅ K
vˆN 2 ,298,15K = 420,8 m ⋅ s− 1 vˆN 2 ,323,15K = 457,3m ⋅ s− 1 b) Zur Berechnung der mittleren Geschwindigkeit gehen wir im Prinzip wie in Aufgabe 1 vor. Wir multiplizieren jede Geschwindigkeit mit der Anzahl der Moleküle, auf die dieser Wert zutrifftundaddierendieseProdukte.WirersetztennurdieSummedurch einIntegral, da die Geschwindigkeitsverteilung quasi kontinuierlich ist. Der Anteil der Moleküle mit einer Geschwindigkeit imBereich v + dv ist f(v) dv. Multiplikationmit der Geschwindigkeitergibt also...
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