Praktisch - Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra I - Blatt 1 mit Lösungen - SS2013 PDF

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Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra I - Blatt 1 mit Lösungen - SS2013...

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Fachbereich Mathematik und Informatik Universit¨ at Marburg Prof. Dr. I. Heckenberger Dr. A. Lochmann C. Borntr¨ager

Sommersemester 2013

¨ Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebra I – Blatt 1 – Abgabe Donnerstag, den 24.10.2013, 10:00, vor der Vorlesung Aufgabe 1. (4 Punkte) Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, wenn A ∩ B = ∅ ist. Es seien X und Y Mengen mit je mindestens zwei Elementen, sowie x1 und x2 zwei verschiedene Elemente von X. Zeigen Sie: a) {x1 } × Y ist eine Untermenge von X × Y . b) {x1 } × Y und {x2 } × Y sind disjunkt. c) X × Y ist die Vereinigung aller Mengen {x} × Y mit x ∈ X . d) Aus X × Y = Y × X folgt X = Y . Aufgabe 2. (4 Punkte) Finden Sie Gegenbeispiele zu den Umkehrungen der vier Aussagen von Lemma 1.7, d.h. finden Sie Mengen X, Y , Z und Abbildungen f : X → Y , g : Y → Z, so dass gilt: a) f ist injektiv, aber g ◦ f ist nicht injektiv. b) g ist surjektiv, aber g ◦ f ist nicht surjektiv. c) g ◦ f ist injektiv, aber g ist nicht injektiv. d) g ◦ f ist surjektiv, aber f ist nicht surjektiv. Aufgabe 3. (4 Punkte) Es sei G = {e, a, b, u, v, w} die Gruppe mit der links unten abgebildeten Gruppentafel (die Gruppentafel stellt alle m¨oglichen Multiplikationen von zwei Elementen der Gruppe dar; beispielsweise ist a · u = v). Finden Sie alle x ∈ G, die die daneben stehende Gleichung erf¨ullen. e a b u v w

e e a b u v w

a a b e w u v

b b e a v w u

u u v w e a b

v v w u b e a

w w u v a b e

x · u · x−1

=

b · x−1 · u · x · x · a · x−1

Hinweis: Es ist nicht m¨oglich, nach x aufzul¨ osen. Aufgabe 4. (4 Punkte) Es sei G die Menge der Funktionen f : R → R+ . Weiter sei • : G × G → G die punktweise Multiplikation, also (f • g)(x) = f (x) · g(x) f¨ ur alle x ∈ R, wobei · : R+ × R+ → R+ die normale Multiplikation auf den reellen Zahlen ist. Zeigen Sie, dass (G, •) eine Gruppe ist. b/w

Pr¨ asenzaufgaben f¨ ur die zweite Vorlesungswoche ¨ am 21. bis 23.10. bearbeitet und besproDie folgenden Aufgaben sollen in den Ubungen chen werden. Bitte bringen Sie sich eine Kopie dieser Aufgaben in die ¨Ubung mit. Aufgabe 1. Es sei X = {1, 2, 3}, Y = {1, 3, 5} und Z = {2, 3, 4, 5}. Berechnen Sie schrittweise: a) X ∪ (Y ∪ Z) und (X ∪ Y ) ∪ Z , b) (X × Y ) ∩ (X × Z) und X × (Y ∩ Z), c) (Z \ X) \ Y und Z \ (X ∪ Y ). d) Geben Sie alle Mengen A ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} an, so dass X ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5} ist. Aufgabe 2. Es sei A eine endliche Menge mit n ≥ 1 Elementen, B eine endliche Menge mit m ≥ 1 Elementen und C eine unendliche Menge. a) Wieviele Abbildungen f : A → B gibt es? b) Wieviele Abbildungen f : A → C gibt es? c) Wieviele Abbildungen f : C → B gibt es? d) Wieviele injektive Abbildungen f : A → B gibt es? e) Wieviele bijektive Abbildungen f : A → B gibt es? Achten Sie auf Sonderf¨alle. Aufgabe 3. Es seien (G, ·) und (H, ∗) Gruppen. Zeigen Sie, dass das kartesische Produkt G × H mit der Verkn¨upfung • : (G × H) × (G × H) → G × H, die durch ( g 1 , h1 ) • ( g 2 , h2 ) = ( g 1 · g 2 , h1 ∗ h2 ) gegeben sei, ebenfalls eine Gruppe ist....