Pregunta 5Preparación para EXAMEN PARCIAL PDF

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UNIDAD Nº 01Variación de ParámetrosCÁLCULO PARA LA TOMA DEDECISIONESContenido:❑ EDOde oden superior❑ Método de Variación de Parámetros.Logro de la sesiónAl finalizar la sesión de aprendizaje el estudianteresuelve ecuaciones diferenciales lineales de ordensuperior usando el método de variación de par...

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CÁLCULO PARA LA TOMA DE DECISIONES UNIDAD Nº 01

Variación de Parámetros

Contenido: ❑ EDO de oden superior ❑ Método de Variación de Parámetros.

•Análisis de poblaciones: Medir como crece una población que puede ser de personas, árboles, bacterias, animales, etc.

Ley de enfriamiento de Newton: Trata sobre la velocidad con la que los objetos tienden a enfriarse o a calentarse para igualarse con la temperatura del ambiente.

Las mezclas en química también se pueden describir con ecuaciones diferenciales.

Logro de la sesión Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve ecuaciones diferenciales lineales de orden superior usando el método de variación de parámetros.

MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARAMÉTROS Consideremos una ecuación diferencia no homogénea de coeficientes constantes de Ter en: 𝑑3 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎3 𝑦 = 𝑓 𝑥 … … … … … … . (1) + 𝑎 + 𝑎 1 2 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

Donde ai son constantes y f(x) es una función solo de x o constante.

SOLUCIÓN

Suponiendo que la solución general de la ecuación diferencial homogénea es: 𝒚𝒈 = 𝒄𝟏 𝒚𝟏 + 𝒄𝟐 𝒚𝟐+ 𝒄𝟑 𝒚𝟑

Luego la solución particular de la ecuación (1) es: 𝒚𝒑 = 𝒖𝟏 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐 𝒚𝟐 + 𝒖 𝒚𝟑

Donde: 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 , 𝒖𝟑 son funciones incógnitas que satisfacen las condiciones siguientes: 𝒖′𝟏 𝒚𝟏 + 𝒖´𝟐 𝒚𝟐 + 𝒖′𝟑 𝒚𝟑 = 𝟎 𝒖′𝟏 𝒚′𝟏 + 𝒖´𝟐 𝒚´𝟐 + 𝒖′𝟑 𝒚´𝟑 = 𝟎 𝒖′𝟏 𝒚′′𝟏 + 𝒖´𝟐 𝒚′′𝟐 + 𝒖′𝟑 𝒚′′𝟑 = 𝒇(𝒙)

𝒖′𝟏 𝒚𝟏 + 𝒖´𝟐 𝒚𝟐 + 𝒖′𝟑 𝒚𝟑 = 𝟎 𝒖′𝟏 𝒚′𝟏 + 𝒖´𝟐 𝒚´𝟐 + 𝒖′𝟑 𝒚´𝟑 = 𝟎 𝒖′𝟏 𝒚′′𝟏 + 𝒖´𝟐 𝒚′′𝟐 + 𝒖′𝟑 𝒚′′𝟑 = 𝒇(𝒙)

° Escribir la solución general de la ecuación diferencial homogénea: 𝒚𝒈 = 𝒄𝟏 𝒚𝟏 + 𝒄𝟐 𝒚𝟐+ 𝒄𝟑 𝒚𝟑

2° Reemplazar c1,c2,c3 por funciones incógnitas u1,u2,u3obteniendo la solución particular 𝒚𝒑 = 𝒖𝟏 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐 𝒚𝟐 + 𝒖𝟑 𝒚𝟑

° Formar el sistema 4° Obtener u1,u2,u3 por medio de la integración.

𝑑2 𝑦 + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑦 + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) 2 𝑑𝑥

𝑦 ′′ + 4𝑦 = 4𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

𝑑2 𝑦 + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 2...