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de las siguientes opciones representa un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial? o Justificación: La matriz de coeficientes es de orden 3 x 4, el vector de incógnitas es de orden 4 x 1 y el vector de términos independientes es de orden 3 x 1. El sistema tiene 3 ecuaciones y 4 incó...

Description

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¿Cuál de las siguientes opciones representa un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial? o

Justificación: La matriz de coeficientes es de orden 3 x 4, el vector de incógnitas es de orden 4 x 1 y el vector de términos independientes es de orden 3 x 1. El sistema tiene 3 ecuaciones y 4 incógnitas. 

¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales se puede resolver mediante regla de Cramer? o

Justificación: La regla de Cramer obtiene la solución mediante el cálculo de determinantes de la matriz de coeficientes, por lo que debe ser cuadrada. 

Sea u = (-1, 0, 2) y v = (4, 2, 6) dos vectores. Obtenga el producto escalar entre u y v. o 8.

Justificación: El producto escalar o producto interno de dos vectores es la suma de los productos elemento a elemento. 

De las siguientes opciones, ¿Cuál es una ecuación no lineal? o

Justificación: Las variables x e y están multiplicadas, entonces la suma de sus potencias es 1 + 1 = 2 indicando que el miembro izquierdo de la ecuación es un polinomio de segundo orden. 

¿Cuál de las siguientes opciones representa un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial? o

Justificación: La matriz de coeficientes es de orden 4 x 2, el vector de incógnitas es de orden 2 x 1 y el vector de términos independientes es de orden 4 x 1. El sistema tiene 4 ecuaciones y 2 incógnitas. 

¿Una matriz escalar es una matriz diagonal? o Verdadero

Justificación: Una matriz escalar es una matriz diagonal cuya particularidad está en que los elementos de la diagonal principal son todos iguales. 

Indica cuál de las opciones representa en forma matricial al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

o Justificación: Es la única opción que preserva el orden, el signo y el valor correcto de los coeficientes. El sistema se encuentra ‘desordenado’, en sentido que las variables x 1, x2 y x3 aparecen miembros de las ecuaciones, al igual que los términos independientes.



Un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas puede tener exactamente dos soluciones. o Falso

Justificación: Los sistemas de ecuaciones lineales no tienen solución, o tienen solución única o tienen infinitas soluciones. 

Indica cuál de las opciones representa en forma matricial al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

o Justificación: Es la única opción que preserva el orden, el signo y el valor correcto de los coeficientes. El sistema se encuentra ‘desordenado’, en sentido que las variables x 1, x2 y x3 no aparecen en orden y los términos independientes están del lado izquierdo. 

Un sistema n ecuaciones y n incógnitas tendrá solución única si y solo si el sistema homogéneo asociado tiene solución no lineal. o Falso

Justificación: Un sistema de ecuaciones tendrá solución única si y solo si el sistema homogéneo asociado tiene únicamente solución lineal. 

Sean A, B y C tres matrices, tales que A + B = C. Indique el valor del elemento c32. o

10.

Justificación: Es imposible determinar el valor porque no existe la suma de matrices. La suma de matrices implica, la suma de elementos a elemento, para matrices del mismo tamaño. a 32 + b32 = c32 = 7 + 3. 

Resuelve el sistema de ecuaciones Ax = b, donde: o

x = (19, -2, 17)

Justificación: La solución se obtiene por el método de la inversa A -1b = x. 

Indique cuál de las opciones es el resultado de aplicar una sola operación elemental, a la matriz: o

Justificación: La matriz resultante es idéntica a la matriz A, salvo que permuta la primer y segunda fila.



De acuerdo al siguiente sistema de ecuaciones, indique cual es la matriz de coeficientes del sistema:

o Justificación: Esta opción mantiene los coeficientes con los signos correctos y contienen solamente los coeficientes de las variables x, y, z. 

Obtenga la matriz inversa de la matriz: o

Justificación: La matriz identidad es inversa de sí misma. 

Dada la ecuación: 2x + 3y = 13, ¿Cuál de los siguientes pares ordenados (x; y) es una solución? o (2; 3).

Justificación: Reemplazando en la ecuación por los valores de x = 2 e y = 3 se tiene que 2(2) – 3(3) = 4 + 9 = 13 

De acuerdo a la siguiente representación gráfica de una ecuación lineal, ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta? 2

o

0,75.

Justificación: La pendiente de una recta se obtiene a partir de las coordenadas de dos puntos, haciendo:



Indica cuál de las opciones representa en forma matricial al siguiente sistema de ecuaciones lineales.

o Justificación: Es la única opción que preserva el orden, el signo y el valor correcto de los coeficientes. El sistema se encuentra ‘desordenado’, en sentido que las variables x 1, x2 y x3 no aparecen en orden y los términos independientes están del lado izquierdo.



¿Cuál de las siguientes condiciones se requieren para obtener la suma de matrices? o Las matrices deben ser mismo tamaño.

Justificación: La suma de matrices implica la suma de elemento a elemento, pero matrices de mismo tamaño. 

¿Cuál de las siguientes condiciones se requieren para obtener la multiplicación de matrices? o El número de columnas de la primer matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Justificación: El producto de matrices requiere que las mismas sean conformables. 

Calcule el determinante de la matriz o

No existe el determinante de la matriz A.

Justificación: Las matrices no cuadradas no poseen determinante. 

De acuerdo al siguiente sistema de ecuaciones, indique cuál es la matriz de coeficientes del sistema:

o Justificación: Esta opción mantiene los coeficientes con los signos correctos y contiene solamente los coeficientes de las variables x, y, z. 

Calcule el determinante de la matriz o

16.

3

Justificación: El determina de una matriz A de orden 2 x 2 es |A|= a 11a22 – a12a21. En este caso es |A| = (3)(4) – (1)(-4) = 16. 

Sea u = (-2, 1, 0) y v = (1, 4, -1) dos vectores. Obtenga el producto escalar entre u y v. o 2

Justificación: El producto escalar o producto interno de dos vectores es la suma de los productos elemento a elemento. 

Indique cuál de las opciones representa una matriz simétrica. o

Justificación: Una matriz es simétrica si cada elemento a ij = aji



Indique cuál de las opciones es el resultado de aplicar una sola operación elemental, a la matriz:

o Justificación: La matriz resultante es idéntica a la matriz A, salvo que multiplica por -3 los elementos de la segunda fila. 

Sea A una matriz de orden 3x4 y B de orden 5x3, efectuando el producto entre ellas en el único orden posible se obtiene una matriz de orden: o 5x4

Justificación: La condición para que se pueda realizar el producto de dos matrices es que la cantidad de columna de la primera … cantidad de filas de la segunda matriz, si ello se da el orden de la matriz resultante tendrá la cantidad de filas de la primera y la cantidad de columnas de la segunda … 

Sea u un vector en R 2 y v un vector en R3. Indique el motivo por el cual no existe el vector w = v – u. o Los vectores u y v tienen diferente tamaño.

Justificación: La resta de vectores, es la resta de los componentes uno a uno. Por lo tanto, ambos vectores deben tener el mismo tamaño. 

Indique la opción correcta de acuerdo a la siguiente representación gráfica de un sistema de ecuaciones.

o

El sistema de ecuaciones es incompatible.

Justificación: El gráfico muestra dos rectas paralelas diferentes, representado … sin solución. 

¿Cuál de las siguientes matrices se encuentra en forma escalonada por renglones? o 4

Justificación: La forma escalonada por renglones es una matriz triangular superior, cuyos elementos de la diagonal principal son 1 o 0. Si una fila presenta un 0 en la diagonal principal, entonces la fila completa deben ser ceros y deben ir ubicadas en la parte inferior de la matriz. Luego de una fila completa de ceros, no puede ir otra fila a menos que sea otra completa de ceros.



Para un sistema de ecuaciones lineales Ax = b se tiene que la forma reducida de la matriz de coeficientes ampliada es: o

El sistema no tiene solución.

Justificación: La matriz de coeficientes tiene tres pivotes, por lo que es de rango 3. La matriz … por lo que es de rango 4. Como ambos rangos no coinciden el sistema no tiene solución. 

Sean A una matriz de orden 4 x 3, B una matriz de orden 2 x 4 y C una matriz de orden 4 x 3. Indique cuál de las siguientes operaciones es válida. o B(A + C)

Justificación: El producto de matrices requiere que las mismas sean conformables. La suma de A + C es una matriz de orden 4 x 3. Como B es de orden 2 x 4 entonces debe pre – multiplicar a (A + C) para que ambas sean conformables, obteniendo como resultado una matriz de orden 2 x 3. 

Sean A, B y C tres matrices, tales que A + B = C. Indique el valor del elemento c 23.

o

6

Justificación: La suma de matrices implica, la suma de elemento a elemento, para matrices del mismo tamaño. a 23 + b23 = c23 = 5 + 1. 

Calcule el determinante de la matriz

o

0

Justificación: El determinante de una matriz que contienen dos columnas iguales es nulo. 

En el siguiente sistema de ecuaciones lineales, ¿Cómo debe ser el valor de K para que sea compatible indeterminado? (1) 2 x + y = 1(2) 10 x + 5 y = k. o Igual a 5

Justificación: Si multiplicamos la ecuación (1) por 5: 10 x + 5 y = 5, le restamos la ecuación (2) nos queda que 0 = 4 – k, por ello k tiene que ser igual a 5 para que nos de un valor igual a cero y sea compatible indeterminado. 

La solución trivial es siempre solución de un sistema de ecuaciones homogéneo. o Verdadero

Justificación: Los sistemas homogéneos siempre tienen solución y la solución trivial será siempre su solución …

5



Resuelve el sistema de ecuaciones Ax = b, donde

o

X = (19, 0, 27)

Justificación: La solución se obtiene por el método de la inversa A -1b = x. Puesto que por propiedad de transpuestas (MT)T = M, se debe aplicar la transpuesta a (A-1)T, para obtener A-1. 

Indique el conjunto de escalares tal que w = (3; -6) es una combinación lineal de u = (-1; 0) y v = (0; -1) o -3; -6

Justificación:



Si multiplico una matriz A de orden 5 x 3 con una matriz B de 3 x 8, voy a obtener: o Una matriz de orden 5 x 8.

Justificación: El orden de la matriz resultante de multiplicar dos matrices está dada por la cantidad … cantidad de columnas de la segunda matriz. 

Indique el número de pivotes de la siguiente matriz en forma escalonada reducida por renglones.

o

3

Justificación: El primer número diferente de cero (si hay) en cada fila se denomina pivote. La última fila no tiene pivote. 

Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de 3 ecuaciones y 5 incógnitas. La matriz A tiene rango 3 y la matriz ampliada (A|b) tiene rango 3. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones? o El sistema posee infinitas soluciones.

Justificación: El teorema de Rouche-Frobenius establece que un sistema de ecuaciones lineales posee solución si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Además, esta solución es múltiple si el rango de la matriz de coeficientes no es igual al número de incógnitas. 

Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales: se sabe que el determinante de la matriz de coeficientes es |A| = 21. ¿Cuál es el valor de x 2 en la solución del sistema?

o

2

Justificación: La regla de Cramer establece que la solución de un sistema puede escribirse como . Reemplazando la segunda columna de A por b, y aplicando Sarrus para calcular el determinante de A 2, se tiene entonces



Sean u, v y w vectores en . Sea A una matriz formada por los vectores u, v y w. El sistema Ax = 0 posee únicamente solución trivial. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? o Los vectores u, v y w son linealmente independientes.

Justificación: Un conjunto de vectores son linealmente independientes si no existe un conjunto de escalares no nulos x1, x2, x3, que verifican que Dado que u, v y w son las respectivas filas de la matriz A, entonces la combinación lineal

6

se puede escribir Dado que el sistema homogéneo tiene únicamente solución trivial, entonces se verifica que no existe un conjunto de escalares no nulos x 1, x2, x 3, demostrando que los vectores son independientes. 

Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden e I la matriz identidad del mismo orden que las dadas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? o B’ . I = 1

Justificación: El producto de cualquier matriz por la matriz identidad da como resultado la misma matriz. Por ello se dice que la matriz identidad es el elemento neutro del producto de matrices. 

De acuerdo al sistema lineal de ecuaciones representado por Ax = 0, donde A es una matriz de orden 2 x 3 y x es de orden 3 x 1. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? o Infinitas soluciones.

Justificación: Todos los sistemas homogéneos tienen solución trivial, pero además si tiene más incógnitas que ecuaciones de … infinitas soluciones no triviales. 

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas está dado por el valor de las incógnitas que verifican a: o Todas las ecuaciones del sistema.

Justificación: El valor de las incógnitas si es solución del sistema de ecuaciones debe verificar a cada una de las ecuaciones que lo componente. 

Para un sistema de ecuaciones lineales Ax = b se tiene que la forma reducida de la matriz de coeficientes ampliada es: ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta? o x2 = -6.

Justificación: La matriz tiene tres pivotes que es el número máximo de pivotes que puede tener un sistema de tres incógnitas, por lo que el sistema tiene solución. La cuarta ecuación del sistema era linealmente dependiente, por lo que no afecta a la obtención de la solución única. 

Sean u, v y w, tres vectores en R6, linealmente independientes. Sea A una matriz formadas por los tres vectores como filas. Indique el rango de la matriz A. o El rango de la matriz A es igual a 3.

Justificación: El rango de una matriz es igual al número de filas o columnas linealmente independientes.



Indique un conjunto de escalares tal que el vector cero o nulo es una combinación lineal de u = (-1; 5) y v = (3; -15). o 10; 2

Justificación: Expresando la combinación lineal como au + bv = w, donde a y b son dos escalares desconocidos. Expresando como un sistema de ecuaciones se tiene

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Resolviendo, se tienen infinitas soluciones que verifican Si a = 10, entonces b = 2. 

Calcule el determinante de la matriz

o

-36

Justificación: El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal. En este caso es 

De acuerdo a la siguiente representación gráfica y siendo la pendiente de la recta, , ¿Cuál es la abscisa del punto p?

o

xp = 9

Justificación: Para obtener la ordenada de un punto, a partir de otro punto y su pendiente se aplica la siguiente expresión



Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, entonces: o No contiene al vector nulo.

Justificación: El vector nulo es linealmente dependiente y si lo contuviera también lo seria.



Calcule el determinante de la matriz

o

24

Justificación: El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal. En este caso es 

Entre las siguientes opciones, ¿Cuál representa una ecuación? o El beneficio de una empresa es igual a la diferencia entre el ingreso por ventas y el costo fijo por operación más el costo variable por unidad producida.

8

Justificación: De todas las opciones, es la única que establece una igualdad: B = I – CF – CV, donde B es el beneficio, I es el ingreso, CF es el costo fijo y CV es costo variable. 

Obtenga el cofactor 23, A23, de la matriz o

-8

Justificación: El cofactor ij de una matriz es Aij = (-1)i+j|Mij|, donde Mij es el Menor ij de la matriz. En este caso es: 

Una carpintería dispone de dos operarios que deben realizar tres tareas: corte, pintura y armado. La carpintería recibe un pedido de 10 escritorios de oficina. El operario A, demora 180 minutos en cortar todas las placas necesarias para un escritorio, demora 40 minutos en pintarlas y 35 minutos en armar el mueble. El operario B, demora 140 minutos en cortar, 60 en pintar y 45 minutos en armar. En la carpintería desean averiguar cuantos minutos de cada tarea se deben asignar a cada operario, de forma tal que ambos trabajen la misma cantidad de tiempo en total. Se denota con x i los minutos asignados al operario i para la tarea de corte, con yi los minutos asignados al operario i para la tarea de pintura y con z i los minutos asignados al operario i para la tarea de armado. ¿Cuál de los siguientes sistemas representa la situación de la carpintería? o .

Justificación: La primera ecuación del sistema es que representa que en x A minutos el operario corta las placas para escritorios y el operario b corta las placas para escritorios. Ambos deben sumar los 10 escritorios. Del mismo modo se definen las ecuaciones para las otras dos tareas. La última ecuación establece que es decir que ambos trabajan la…



Una fábrica textil dispone de dos personas para realizar dos tareas: corte y confección. La fábrica recibe un pedido de 100 remeras de piqué. La persona A, demora 20 minutos en cortar todas las partes de tela necesaria para una remera, y 18 minutos en coser y armar la remera. La persona B, demora 30 minutos en cortar, y 12 minutos coser y armar la remera. En la fábrica desean averiguar cuantos minutos de cada tarea se deben asignar a cada persona, de forma tal que ambas trabajen la misma cantidad de tiempo en total. ¿Cuál de las siguientes opciones es una posible solución de asignación de tareas? o La tarea de corte se distribuye en 480 minutos para el operario A y 2280 minutos para el operario B. La tarea de armado se asigna únicamente al operario A con 1800 minutos.

Justificación: Sean x ij los minutos asignados a la tarea i para la persona j. La primera ecuación establece que la cantidad de remeras cortadas debe ser igual a 100. La segunda ecuación establece que la cantidad de remeras armadas debe ser igual a 100. La tercera ecuación establece que la cantidad de minutos trabajados por A y B son iguales.

Tras reducir por Gauss-Jordan se obtiene el sistema equivalente

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Como se puede ver, el sistema tiene infinitas soluciones. En particular, se puede hacer x 2B = 0. 

Si J y K son matrices de orden 2 x 4 y 4 x 7 respectivamente: o J.K es una matriz de orden 2 x 7

Justificación: El orden de la matriz resultante de multiplicar dos m… la cantidad de columnas de la segunda matriz. 

Sean A, B e I tres ma...