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PRIMITIVES - COURS Si est une fonction dérivable, on sait calculer sa fonction dérivée ‘

On peut aussi considérer que toute fonction pourrait être vue comme la dérivée d’une autre. 1) Définition et premières propriétés Si est une fonction définie sur un intervalle , on appelle Primitive de de toute fonction ,

définie et dérivable sur , telle que : pour tout Remarques : 1) Les mots « Primitive de de » sont indissociables.

2) La nécessité de ne travailler que sur un intervalle se justifiera par la suite. 3) Il n’est pas, pour le moment, assuré de l’existence d’une primitive.

Notation : Il est d'usage de noter une fonction par une lettre minuscule et une primitive de cette fonction par la lettre majuscule correspondante.

Exemples : La fonction

:

֏

La fonction

:

֏

La fonction

:

֏

2

1

֏2

est une primitive sur ℝ de la fonction

:

est une primitive sur

;0 de la fonction

;0 ou sur

est une primitive sur 0;

de la fonction

֏

1 2

1

֏

:

:

2

Propriété : Si une fonction admet une primitive d’autres primitives

sur

sur un intervalle , alors elle admettra une infinité ,

définies par : Pour tout

où

est un réel

quelconque. On dit que toutes les primitives d’une focntion sont définies « à une constante près » Preuve : Soit et sont deux primitives d’une même fonction sur un intervalle . On a donc : Pour tout , et . Par soustraction, on obtient : Pour tout Par ailleurs, pour tout La fonction

0 . Ainsi, pour tout

,

: ֏

alors

0

,

est donc constante sur .

Il existe donc un réel tel que pour tout Réciproquement, si

0.

,

, on ait

est une primitive de sur , et s’il existe un réel

0

. CQFD tel que pour tout

, on ait

,

Exemples : La fonction

:

Les fonctions

2

֏ ֏

2

3 est une autre primitive sur ℝ de la fonction : 7 ou

֏

2

֏2

le sont également

Remarque : Le résultat est faux si n’est pas un intervalle. Par exemple, sur ℝ *

;0

0;

, les fonctions

֏

1

et

֏

1

sont deux primitives de

֏

1 2

, mais

leur différence n’est pas constante.

Par lecture inverse du tableau des primitives, on peut donc dresser un tableau des primitives

Problématique : Peut-on être sûr que toutes les fonctions admettent une primitive, même s’il est difficile voire impossible d’en trouver une expression ? Par exemple, nul ne connaît une expression littérale de la primitive de la fonction ֏

2

2) Condition suffisante d’existence Théorème : Soit

une fonction continue sur un intervalle . Alors

admet une (et donc une infinité) de

primitives sur . Démonstration Commençons par démontrer l’existence d’une primitive dans le cas d’une fonction positive monotone croissante sur . Le théorème se généralise ensuite. Soit une fonction continue, positive, monotone croissante sur un intervalle et   sa courbe représentative dans un repère orthonomal ; ; du plan. Soit . associe l’aire du domaine On considère la fonction , définie sur , qui à tout délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et

Ce domaine peut être décrit comme l’ensemble des points

  0

(

) tels que :

( )

Alors la fonction

֏ ()

est la primitive de s'annulant en .

En effet, il est évident que Soit avec > et soit >0. On s’intéresse à délimité par la courbe d’équation

et

0. , l’aire du domaine

, l’axe des abscisses et les droites .

Puisque est strictement croissante sur , cette aire peut être encadrée par celles des deux rectangles de largeur et de longueurs respectives et

On a donc :

()

(

)

()

(

)

()

(

)

0 0

(

)

()

0 0

(

) (car >0)

, et en appliquant le théorème des gendarmes, on obtient :

Puisque est continue en , on a lim

lim

()

( ) . La fonction

.

est donc dérivable à droite et

De même (en prenant...