PROB MAT Parte 4 - Ejercicios de matematicas- para cursos prefacultativos, de la gestion 2021 PDF

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PROBLEMASRESUELTOSDE MATEMATICACUARTA PARTE Geometría analítica Geometría euclidiana Geometría planaUMSA, FACULTAD DE INGENIERÍACURSO PREFACULTATIVO 2021####### ROCIO KATHERINE MEDINA CORINI####### PABLO JUNIOR SIERRA MONTAO####### LIMA INQUILLO GUISELA####### GABRIEL RAYWARD SANCHEZ CARI####### ...

Description

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

Respuesta b) SOLUCION. -

2h 6.0 h 3.0 6.0

Dividimos el hexágono en 6 triángulos equiláteros y hallamos la altura del triángulo pequeño:

Con el mismo procedimiento del ejercicio 1 𝑎 = 6 [𝑢], lado del hexágono ℎ = 3√3 [𝑢] 

El lado del triángulo equilatero inscrito es 2ℎ 𝐿 = 2ℎ = 6√3 [𝑢]

Área del triángulo equilátero 𝐴 =

𝐴=

2 √3 ∙ (6√3) = 27√3 [𝑢 2 ] 4

𝐴 = 46,77 [𝑢 2 ]

20

√3 2 𝐿 4

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

6.16 En la siguiente figura el triángulo es equilátero, calcular el area sombreada si el radio del círculo mayor es 5 𝑢.

R= 5

a) b) c) d) e)

50,45 𝑢 2 39,30 𝑢 2 40,70 𝑢 2 65,70 𝑢 2 29,65 𝑢 2

Respuesta d) SOLUCION. -

Primeramente, hallaremos el área del circulo grande:

𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 = 𝜋 ∙ 𝑅2 = 𝜋 ∙ 52 = 25𝜋 [𝑢 2 ]

21

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA



Ahora hallamos datos importantes como ser el lado del triángulo equilátero: Una forma mediante el teorema de Cosenos: 𝑚 2 = 𝑅2 + 𝑅2 − 2 ∙ 𝑅 ∙ 𝑅 ∙ cos 120 𝑚 2 = 52 + 52 − 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ cos 120 1 𝑚 2 = 25 + 25 − 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ (− ) 2 𝑚 2 = 75

R= 5

5 R=

𝑚 = 5√3 [𝑢].

120°

m 



Hallamos el área del triángulo equilátero según la fórmula: √3 75√3 2 √3 [𝑢 2 ] 𝐴1 = ∙ (5√3) = ∙ 𝑚2 = 4 4 4

Para el circulo pequeño hallamos con la ayuda de la figura: Por Pitágoras: 𝑟 = √𝑅2 − (

R= r

𝑟 = √52 − (

5

m/2

𝑟=

5√3 ) 2

2

5 𝑢. 2

Hallamos el área del círculo pequeño es:

5 2 25 𝐴2 = 𝜋 ∙ 𝑟 2 = 𝜋 ∙ ( ) = 𝜋 [𝑢 2 ] 2 4

22

𝑚 2 ) 2

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA



Finalmente hacemos las operaciones de suma y resta de áreas: 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 − 𝐴1 + 𝐴2

75√3 25𝜋 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 25𝜋 − + 4 𝑨𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂= 𝟔𝟓, 𝟕𝟎 [𝒖 4𝟐 ]

[𝑢 2 ]

6.17 En la siguiente figura calcular el area sombreada con los datos que se indica:

r = 14.0

a) b) c) d) e)

159,25 𝑢 2 240,00 𝑢 2 453,44 𝑢 2 361,14 𝑢 2 126,50 𝑢 2

Respuesta d) SOLUCION. -

Una manera para hallar el área sombreada será:

Restar al círculo de radio 𝑟 tres veces el triángulo equilátero de lado 𝐿 = 𝑟 𝑆 = 𝜋𝑟 2 − 3

√3 2 √3 2 𝑟 = (𝜋 − 3 )𝑟 4 4

𝑆 = (𝜋 − 3

√3 ) 142 4

𝑺 = 𝟑𝟔𝟏, 𝟏𝟒 [𝒖𝟐 ]

23

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

6.18 En la siguiente figura calcular el area sombreada con los datos que se indica:

a= 10.0

a) b) c) d) e)

26.35 𝑢 2 64.28 𝑢 2 46.11 𝑢 2 49.50 𝑢 2 35.73 𝑢 2

Respuesta e) SOLUCION. –

Primeramente, dividimos la figura y notamos las 2 mitades de circulo y 2 triángulos que se forman:

d

a= 5.0

24

a= 5.0

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA



Hallamos la hipotenusa del triángulo que llegaría a ser el diámetro de las circunferencias:

𝑑 = √𝑎2 + 𝑎2

𝑑 = √52 + 52

𝑑 = 5√2 𝑢. 

El área de las dos mitades de circunferencia sería el área de una circunferencia entera, entonces:

𝑑 2 5√2 25 𝐴1 = 𝜋 ∙ ( ) = 𝜋 ∙ ( 𝜋 [𝑢 2 ] ) = 2 2 2 2



El área de los 2 triángulos será:



Finalmente, el área sombrada será el área del cuadrado menos las áreas del circulo y triángulos: 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − 𝐴1 − 𝐴2 25𝜋 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 102 − − 25 [𝑢 2 ] 2 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 35,73 [𝑢 2 ]

1 1 𝐴2 = 2 ∙ ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 2 ∙ ∙ 5 ∙ 5 = 25 [𝑢 2 ] 2 2

6.19 En la siguiente figura calcular el área sombreada, si cada lado del cuadrado está dividido en tres partes iguales.

a= 10.0

25

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

25,68 𝑢 2 45,14 𝑢 2 31,76 𝑢 2 25,00 𝑢 2 46,99 𝑢 2

a) b) c) d) e)

Respuesta c) SOLUCION. –

De acuerdo al enunciado cada lado del cuadrado está dividido en 3 partes iguales, de donde determinamos que el radio de las circunferencias es 10/3 y la base del triángulo es 10/3:

r=10/3

h=5 b=10/3



Las áreas de los 4 triángulos serán:

𝐴1 = 4 ∙ 𝐴 𝐴1 = 4 ∙

1 100 1 10 ∙𝑏∙ℎ = 4∙ ∙ ∙5= 2 2 3 3

[𝑢 2 ]

Luego hallamos el área de los 4 cuartos de circunferencia que hacen una circunferencia entera: 10 2 100𝜋 𝐴2 = 𝜋 ∙ 𝑟 2 = 𝜋 ∙ ( ) = [𝑢 2 ] 3 9 



Finalmente, el área sombreada será:

𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − 𝐴1 − 𝐴2 = 102 −

100

3

−

100𝜋 9

𝑨𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂= 𝟑𝟏, 𝟕𝟔 [𝒖𝟐 ]

26

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

6.20 En la siguiente figura calcular el área sombreada con los datos que se indica:

a) b) c) d) e)

26,58 𝑢 2 14,79 𝑢 2 34,50 𝑢 2 22,78 𝑢 2 17,17 𝑢 2

a= 10.0

Respuesta e)

SOLUCION. – Ya que las circunferencias son tangentes notamos que se puede determinar el radio de las mismas mediante:  En el triángulo formado (ver figura) determinamos el radio: 𝑟 cos 45° = 5 𝑟 = 5 ∙ cos 45 √2 𝑢 𝑟=5 2

r

 Hallamos el área de las 4 mitades de circunferencia, o sea el área de 2 círculos enteros:

45°

a= 5.0

27

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA



5√2 2 ) = 25𝜋 [𝑢 2 ] 2 Ahora necesitamos hallar el área de los 4 triángulos de las esquinas, el lado de dichos triángulos se determina por la resta: 𝐴1 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 2 = 2 ∙ 𝜋 ∙ (

𝐿 = 2𝑟 + 2𝑛 5√2 + 2𝑛 10 = 2 ∙ 2 10 − 5√2 𝑛= 2

n

2r

n

 Ahora determinamos el área de los 4 triángulos: 𝐴2 = 4 ∙

a= 5.0



𝐴2 = 4,29 [𝑢 2 ]

1 1 ∙ 𝑏 ∙ ℎ = 4 ∙ ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 = 2𝑛2 2 2 2 10 − 5√2 ) = 2∙ ( 2

Finalmente, el área sombreada será:

𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − 𝐴1 − 𝐴2 = 102 − 25𝜋 − 4,29 = 17,17 [𝑢 2 ] 𝑨𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂= 𝟏𝟕, 𝟏𝟕 [𝒖𝟐 ]

6.21 Sabiendo que el lado del cuadrado es de 4 [m]. Hallar el área de la región sombreada.

28

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

Solución. -

R 4-R

4 R+

4

≫ 𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠:

(4 + 𝑟)2 = (4 − 𝑟)2 + 42

16 + 8𝑟 + 𝑟 2 = 16 − 8𝑟 + 𝑟 2 + 16ç 16𝑟 = 16

𝑟 = 1 [𝑚]

≫ 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝐴𝑆 =

𝜋 ∙ 𝑟 2 𝜋 ∙ 12 = 2 2

𝑨𝑺 =

𝝅 [𝒎𝟐 ] 𝟐

6.22 Calcule el área del circulo si el lado del cuadrado es de 64 [m].

29

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

Solución. -

≫ 𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠:

(64 + 𝑟)2 = 322 + (64 − 𝑟)2

642 + 128𝑟 + 𝑟 2 = 322 + 642 − 128𝑟 + 𝑟 2 256𝑟 = 322 𝑟 = 4 [𝑚]

≫ 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑢𝑖𝑎: 𝐴𝑆 = 𝜋 ∙ 𝑟 2 = 𝜋 ∙ 42 𝑨𝑺 = 𝟏𝟔𝝅 [𝒎𝟐 ]

6.23 Si ABCD es un cuadrado de 8 [cm] de lado además que M, N, P son puntos de tangencia. Calcular el Área de la región sombreada. A

M C

30

B

P

N D

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

Solución. -

A

B

2 C

≫ 𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠:

𝑅 2

8−𝑅 D

(𝑅 + 2)2 = 22 + (8 − 𝑅)2

𝑅2 + 4𝑅 + 4 = 4 + 64 − 16𝑅 + 𝑅2

20𝑅 = 64 𝑅=

16 [𝑐𝑚] 5

≫ 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝐴𝑆 = 𝜋 ∙ 𝑅2 = 𝜋 ∙ (

16 2 ) 5

𝑨𝑺 =

𝟐𝟓𝟔 𝝅 [𝒄𝒎𝟐 ] 𝟐𝟓

6.24 Si A, B, C y D son los vértices de un cuadrado cuyo lado es de 30 [cm], M y N son puntos medios. Calcular el área sombreada.

31

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

Solución. -

ℎ1

𝑠𝑒𝑛45° =

32

𝑏 ℎ1

→

𝑏=

ℎ1

√2

(1)

45°

ℎ2

𝑎

𝑏

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

𝑠𝑒𝑛45° =

𝑎

ℎ2 𝑎 + 𝑏 = 15

ℎ2 (2) → 𝑎 = √2 ℎ1 ℎ → + 2 = 15 √2

ℎ1 + ℎ2 = 15√2 (3)

→

√2

Como el Baricentro divide a la mediana en una relación de 1 a 2 (4)

ℎ2 = 2ℎ1

(4) 𝑒𝑛 (3): 3ℎ1 = 15√2

ℎ1 = 5√2

Cálculo de la diagonal de cuadrado: 𝐷 = √302 + 302 = 30√2 𝐴𝑠 = 𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜1 + 𝐴𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜2

𝐴𝑠 = 2 30 ∙ 30 + 1

1

2

𝐷 ∙ ℎ1 = 30 ∙ 30 + 30√2 ∙ 5√2 = 30(30 + 10) = 15 ∙ 40 = 600 [𝑐𝑚2 ] 2 2 1

1

1

2

𝐴𝑠 = 600 [𝑐𝑚2 ]

Otra manera: 𝐴𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑0= 2(6)(𝑆1 ) = 12𝑆1 302 = 12 ∙ 𝑆1

→

𝑆1 =

302 12

=

900

12

→

𝐿2 = 12𝑆1

= 75 [𝑐𝑚]

𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐿2 − 4 ∙ 𝑆1

𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 302 − 4 ∙ 75

𝑨𝑺𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂= 𝟔𝟎𝟎 [𝒄𝒎𝟐 }

6.25 Halle el área de la región sombreada si MN= 2 [m]

33

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

Solución. -

𝑚 𝐴

≫ 𝑃𝑜𝑟 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠:

𝑚 2 = (2𝑅)2 + (2)2

𝑚 2 + 𝑛2 = (2𝑅 + 2𝑟 )2 (2𝑟)2 8 = 8∙𝑅 ∙𝑟

→

:

𝑅∙𝑟 =1

𝑀𝑁 2 = 𝐴𝑁 ∙ 𝑁𝐵

22 = (2𝑅) ∙ (2𝑟)

𝑅∙𝑟 =1

≫ 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎: 𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴1 − 𝐴2 − 𝐴3

𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 =

𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 =

𝜋

𝜋

𝜋

2

2

2

∙(

34

2𝑅 + 2𝑟 2 𝜋 2 𝜋 2 ) − ∙𝑅 − ∙𝑟 2 2 2

{𝑅2 + 2𝑅𝑟 + 𝑟 2 − 𝑅2 − 𝑟 2 }

(2𝑅𝑟) = 𝜋𝑅𝑟

𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝜋 ∙ 1

𝐵 𝑛 2 = (2𝑟)2 + (2)2

(2𝑅) 2 + (2)2 + (2𝑟)2 + (2)2 = (2𝑅)2 + 2 ∙ 2𝑅 ∙ 2𝑟 +

≫ 𝐷𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑦 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜:

𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 =

𝑛

𝑨𝑺𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝝅 [𝒎𝟐 ]

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

6.26 Hallar el Área Sombreada si el radio del cuarto circulo es de 8[m]

Solución.-

4

4−𝑟

𝑟

𝑟

(4 − 𝑟)2 + 𝑥 2 = (4 + 𝑟)2 {2 𝑟 + 𝑥2 = (8 − 𝑟)2

(𝟏) (𝟐)

En (𝟏) 16 − 8𝑟 + 𝑟 2 + 𝑥 2 = 16 + 8𝑟 + 𝑟 2

En (𝟐) 𝑟 2 + 𝑥 2 = 64 − 16𝑟 + 𝑟 2

→

→

𝑥 2 = 16𝑟

𝑥 2 = 64 − 16𝑟

Igualando las últimas ecuaciones: 16𝑟 = 64 − 16𝑟

𝑟

→

(𝟒)

(𝟑)

32𝑟 = 64

35

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

𝑟=2

≫ 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎: 𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴1 − 𝐴2 − 𝐴3 𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 =

𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 =

𝐴𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 =

𝜋

𝜋

𝜋

4

4

4

∙ 82 −

𝜋 2 ∙ 4 − 𝜋 ∙ 22 2

{64 − 2 ∙ 16 − 4 ∙ 4} ∙ 16

𝑨𝑺𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝟒𝝅 [𝒎𝟐 ]

7. Geometría Analítica 7.1 Hallar puntos que dividan al segmento 𝑃1 (2,1); 𝑃2 (8,4) en tres partes iguales a) (4 , 2) , (5 , 3)

b) (3 , 2) , (6 , 3)

c) (5 , 2) , (6 , 3)

d) (4 , 2) , (6 , 3) e) Ninguno Respuesta d) SOLUCIÓN. –

El punto división será: 𝑥 =

𝑥1 +𝑟𝑥2 1+𝑟

; 𝑦 =

𝑦1 +𝑟𝑦2 1+𝑟

𝑃1 (2,1); 𝑃2 (8,4)

𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ); 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 )

36

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

Y 5 P2(8,4)

4 N

3 M

2 1

P1(2,1) 1

2

3

La relación de segmentos es: 𝑟 =

4

𝑃1𝑃

𝑃𝑃2

5

𝑥𝑀 = 𝑥𝑀 =

𝑥1 + 𝑟𝑥2 1+𝑟

1 2 + ( 2) 8 6 3 2

𝒙𝑴 = 𝟒

1+

;

1 2 ;

;

𝑦𝑀 =

; 𝑦𝑀 =

3 3 2

𝒚𝑴 = 𝟐

𝑦1 + 𝑟𝑦2 1+𝑟

𝑦𝑀 =

7

8

9

X

, entonces:

El primer punto de división 𝑀(𝒙𝑴 , 𝒚 𝑴 ), será:

𝑥𝑀 =

6

𝑟=

𝑃1𝑀

𝑀𝑃2

=

1

2

1 1 + ( 2) 4 1 1+ 2

El segundo punto de división 𝑁(𝒙𝑵 , 𝒚𝑵 ), será:

𝑟=

𝑃1𝑁

𝑁𝑃2

=

2

1

=2

37

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

𝑥𝑁 =

𝑥𝑁 =

𝑥1 + 𝑟𝑥2

;

1+𝑟 2 + (2)8

1+2 18 𝑥𝑁 = ; 3

;

𝑦𝑁 =

𝑦𝑁 =

𝑦𝑁 = 9 3

𝑦1 1++𝑟𝑦𝑟2

1 + (2)4 1+2 𝒙𝑵 = 𝟔

;

𝒚𝑵 = 𝟑

Graficando:

Y 5 P2(8,4)

4 N(6,3)

3 M(4,2)

2 1

P1(2,1) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

7.2 Hallar la distancia entre el punto 𝐴 y 𝐵, sabiendo que 𝐴 equidista de 𝐵(−5,6) y 𝐶 (3,2) además 𝐴 pertenece a la recta 3𝑥 + 𝑦 + 4 = 0

a) 5 b) 6 c) 4

38

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

d) 3

e) Ninguno Respuesta a) SOLUCIÓN. – Graficando:

Y B(-5,6)

6

5 4

3 A

2

C(3,2) d

1

-x

-6

-5

-4

-3

-2

1

-1

2

3

4

5

X

-1 -2 -3

-Y Debido a que 𝐴 equidista de 𝐵(−5,6) y 𝐶(3,2), entonces:

𝑑𝐴𝐵= 𝑑𝐴𝐶

39

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

Siendo 𝐴(𝑚, 𝑛), y aplicando la distancia entre dos puntos √(𝑚 − (−5))2 + (𝑛 − 6)2 = √(𝑚 − 3)2 + (𝑛 − 2)2 (𝑚 + 5)2 + (𝑛 − 6)2 = (𝑚 − 3)2 + (𝑛 − 2)2

𝑚 2 + 10𝑚 + 25 + 𝑛2 − 12𝑛 + 36 = 𝑚2 − 6𝑚 + 9 + 𝑛 2 − 4𝑛 + 4

𝟐𝒎 − 𝒏 = −𝟔 … … . (𝟏)

Como A(m, n) pertenece a la recta 3x + y + 4 = 0 , entonces m, n cumplen la igualdad

en la ecuación de la recta, entonces: 3𝑚 + 𝑛 + 4 = 0

𝒏 = −𝟒 − 𝟑𝒎 … … . (𝟐) Reemplazando (2) en (1) 2𝑚 − (−4 − 3m) = −6 2𝑚 + 4 + 3𝑚 = −6 5𝑚 = −10 𝑚 = −2

Reemplazando m en (2) n = −4 − 3(−2) = −4 + 6 𝑛=2

Entonces 𝐴(𝑚, 𝑛) = 𝐴(−2,2) 𝑑𝐴𝐵= √(𝑚 + 5)2 + (𝑛 − 6)2

𝑑𝐴𝐵= √(−2 + 5)2 + (2 − 6)2

40

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

𝑑𝐴𝐵= √(3)2 + (−4)2 = √9 + 16 = √25

𝒅𝑨𝑩= 𝟓

Graficando: Y B(-5,6)

6

5 4

3

A(-2,2)

2

C(3,2) d=5

1

-x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

-1 -2 -3

-Y

7.3 Hallar la distancia entre los puntos 𝑀(𝑎, 𝑏) y 𝑁(−5,4), si 𝑎 y 𝑏 son los coeficientes de las rectas 𝐿1: 3𝑥 − 𝑎𝑦 − 5 = 0

y

𝐿2: 2𝑥 + 𝑏𝑦 − 7 = 0 , dichas rectas son

perpendiculares, además la segunda recta pasa por el punto (2,1)

a) 5

b) 5√2

c) 4√2

d) 6√2

41

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

e) Ninguno Respuesta b) SOLUCIÓN. –

El punto (2,1) pertenece a la recta 𝐿2: 2𝑥 + 𝑏𝑦 − 7 = 0, entonces cumple su ecuación:

(𝑥, 𝑦) = (2,1)

2𝑥 + 𝑏𝑦 − 7 = 0

2∙2+𝑏−7 = 0 𝒃=𝟑

Como las rectas son perpendiculares, entonces la multiplicación entre las pendientes de las rectas es igual a: 𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1 … … . . (1)

Por la ecuación pendiente ordenada 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , despejando 𝑦 de ambas ecuaciones:

𝐿1: 3𝑥 − 𝑎𝑦 − 5 = 0 :

𝑚1 = −

3 3 = −𝑎 𝑎

𝐿2: 2𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0

𝑚2 = −

2

3

Reemplazando en (1) 3 2 (− ) = −1 𝑎 3 𝒂=𝟐

42

𝑚 = − pendiente de la recta 𝐴

𝐵

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

𝑴(𝒂, 𝒃) = 𝑴(𝟐, 𝟑), la distancia será: 𝑑𝑀𝑁 = √(𝑎 − (−5))2 + (𝑏 − 4)2

𝑑𝑀𝑁 = √(2 + 5)2 + (3 − 4)2 = √(7)2 + (−1)2 𝑑𝑀𝑁 = √49 + 1 = √50 𝒅𝑴𝑵 = 𝟓√𝟐

Graficando:

Y 5 N(-5,4)

4 M(2,3)

3

2 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

X

-Y

7.4 Encontrar la distancia entre los puntos 𝐴(−2,5) y 𝐵(𝑐, 𝑑 ), sabiendo que 𝐵 es un punto simétrico del punto 𝑃(2, −5) respecto de la recta 𝐿1: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

a) 10 b) 11 c) 9

43

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

d) 8

e) Ninguno Respuesta a) SOLUCIÓN. –

𝐿1

𝐿2

𝐵(𝑐, 𝑑)

𝐿1: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

→

𝑚1 = −1

𝑃(2, −5)

𝐿2 es perpendicular a 𝐿1, por lo tanto 𝑚1 ∙ 𝑚 2 = −1, La ecuación de la recta 𝐿2 será: 𝑦 + 5 = 1 ∙ (𝑥 − 2) 𝐿2: 𝑥 − 𝑦 − 7 = 0

(1)

𝐵 ∈ 𝐿2 : 𝑐 − 𝑑 − 7 = 0

entonces: 𝑚2 = 1

El punto de intersección de 𝐿1 y 𝐿2 es punto medio de 𝑃𝐵 que pertenece a ambas rectas 𝑥=

𝑐+2 2

;

𝑦=

𝑑−5 2

𝑐+2 𝑑−5 + −1 =0 2 2

44

en 𝐿1 →

𝑐+2+𝑑 −5−2 = 0

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

(2)

𝑐+𝑑 −5 = 0

Resolviendo el sistema (1) y (2)

𝑐 = 6 en (2) : 𝑑 = −1

Sumando: 2𝑐 − 12 = 0 → 𝐵(6, −1)

La distancia será: 𝑑𝐴𝐵= √(−2 − 6)2 + (5 − (−1)) = √(−8)2 + (6)2 2

𝑑𝐴𝐵= √64 + 36 = √100 𝒅𝑨𝑩= 𝟏𝟎

Graficando: Y

6

A(-2,5)

5 4

3 2 1

-x

-3

-2

1

-1

2

-1

3

4

5

6

X

B(6,-1)

-2 -3 -4 -5

P(2,-5)

-Y

45

CURO PREFACULTATIVO DE INGENIERÍA – MATEMÁTICA

7.5 Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, −3) y por el punto medio del segmento que une los puntos B(2,0) y C(−4,6)

a) 2𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 b) 𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 c) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 d) 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 e) Ninguno Respuesta c) SOLUCIÓN. –

Primero hallaremos el punto medio entre los puntos 𝐵(2,0) y 𝐶(−4,6)

𝑥 =

𝑥 =

𝑥1 + 𝑥2 2

;

2 + (−4)

𝑥 = −1

2

;

;

𝑦 =

𝑦 = 3

𝑦1 + 𝑦2 2

𝑦 =

0+ 6 2

Como la ...