Problemas de MAT-02 - Ejercicios de matematicas- para cursos prefacultativos, de la gestion 2021 PDF

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[DOCUMENT TITLE][Document subtitle] Sistemas de ecuaciones InecuacionesUMSA, FACULTAD DE INGENIERÍACURSO PREFACULTATIVO 2021Compilado y condensado p or: neXus4. Calcular el valor de “y”: √�� + 2−√�� − 6= 2Solución: Despejamos una raíz y elevamos al cuadrado la ecuación(√�� + 2)2= (2 +√�� − 6)2�� +...

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 Sistemas de ecuaciones  Inecuaciones UMSA, FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO 2021 Compilado y condensado por:

neX ne Xus

PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA

1

CAP 4. SISTEMAS DE ECUACIONES (Aux. Univ. Rossangela Adriana Tiini Balderrama) 4.1. Calcular el valor de “y”: √𝑦 + 2 − √𝑦 − 6 = 2 Solución: Despejamos una raíz y elevamos al cuadrado la ecuación 2

2

(√𝑦 + 2) = (2 + √𝑦 − 6) 𝑦 + 2 = 4 + 4√𝑦 − 6 + 𝑦 − 6 4 = 4√𝑦 − 6 1 = √𝑦 − 6 12 = (√𝑦 − 6) 1 =𝑦−6 𝑦=7

2

1 1 1 + 𝑏 ] ÷ [1 − 𝑥 + 𝑎 + 1] = 𝑎 [𝑥 − 1 + 𝑎𝑏 1 1 1+ +𝑏 𝑎𝑏 𝑎

4.2. Resolver la ecuación:

Solución:

[𝑥 − 1 +

1+𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑏+1 𝑎𝑏

] ÷ [1 − 𝑥 +

1+𝑎

𝑎 1+𝑎𝑏 𝑎

]=𝑎

1+𝑎 1+𝑎 [𝑥 − 1 + ] ÷ [1 − 𝑥 + ]=𝑎 𝑎𝑏 + 1 1 + 𝑎𝑏

𝑥(𝑎𝑏 + 1) − (𝑎𝑏 + 1) + 1 + 𝑎 (𝑎𝑏 + 1) − 𝑥(𝑎𝑏 + 1) + 1 + 𝑎 ]÷[ [ ]=𝑎 𝑎𝑏 + 1 𝑎𝑏 + 1 [

[

𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 − 1 + 1 + 𝑎 𝑎𝑏 + 1 − 𝑥𝑎𝑏 − 𝑥 + 1 + 𝑎 ]÷[ ]=𝑎 𝑎𝑏 + 1 𝑎𝑏 + 1

𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 − 1 + 1 + 𝑎 𝑎𝑏 + 1 − 𝑥𝑎𝑏 − 𝑥 + 1 + 𝑎 ]÷[ ]=𝑎 𝑎𝑏 + 1 𝑎𝑏 + 1 𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 + 𝑎 𝑎𝑏 + 2 − 𝑥𝑎𝑏 − 𝑥 + 𝑎 [ ]÷[ ]=𝑎 𝑎𝑏 + 1 𝑎𝑏 + 1 𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 + 𝑎 ] [ 𝑎𝑏 + 1

𝑎𝑏 + 2 − 𝑥𝑎𝑏 − 𝑥 + 𝑎 ] [ 𝑎𝑏 + 1

=𝑎

𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 + 𝑎 =𝑎 𝑎𝑏 + 2 − 𝑥𝑎𝑏 − 𝑥 + 𝑎 2 𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 + 𝑎 = 𝑎 𝑏 + 2𝑎 − 𝑥𝑎2 𝑏 − 𝑥𝑎 + 𝑎2 UMSA, FACULTAD DE INGENIERIA – CURSO PREFACULTATIVO 2021

PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA

2

𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑎2 𝑏 − 2𝑎 + 𝑥𝑎2 𝑏 + 𝑥𝑎 − 𝑎2 = 0 𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑎2 𝑏 − 𝑎 + 𝑥𝑎2 𝑏 + 𝑥𝑎 − 𝑎2 = 0 𝑥𝑎𝑏(1 + 𝑎) + 𝑥 (1 + 𝑎) − 𝑎𝑏(1 + 𝑎) − 𝑎(1 + 𝑎) = 0 (1 + 𝑎)(𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑎) = 0 (𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 − 𝑎𝑏 − 𝑎) = 0 𝑥𝑎𝑏 + 𝑥 = 𝑎𝑏 + 𝑎

𝑥(𝑎𝑏 + 1) = 𝑎(𝑏 + 1) 𝒙=

𝒂(𝒃 + 𝟏) 𝒂𝒃 + 𝟏

4.3. Calcular el valor de “m” para que las raíces sean iguales en la siguiente (𝑚 + 1)𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + (𝑚 − 3) = 0

ecuación:

Solución: Se sabe que:

𝒄

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ; 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 𝒂 ; 𝒙𝟏 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒂 𝒃

(𝑚 + 1)𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + (𝑚 − 3) = 0

 Por las propiedades de las raíces se tendrá: 𝑎 = 𝑚 +1 −2𝑚 𝑚−3 𝑏 = −2𝑚 𝑥1 + 𝑥2 = − ; 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 𝑚+1 𝑚+1 𝑐 = 𝑚−3  De la condición podemos deducir que cuando son raíces iguales la discriminante es igual a cero. ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ∆= (−2𝑚)2 − 4 ∗ (𝑚 + 1) ∗ (𝑚 − 3) ∆= 4𝑚 2 − 4 ∗ (𝑚 2 − 2𝑚 − 3) ∆= 4𝑚 2 − 4𝑚 2 + 8𝑚 + 12 12 𝟑 0 = 8𝑚 + 12 → 𝑚 = − → 𝒎=− 8 𝟐

4.4. En la siguiente ecuación de segundo grado 𝑘𝑥 2 + 5𝑥 2 + 3𝑘𝑥 − 2𝑘 = 7 , hallar el valor de “k” de modo que la primera raíz sea igual a la mitad del reciproco de la segunda raíz.

Solución: Se sabe que:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ; 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −

𝒃 𝒂

𝑘𝑥 2 + 5𝑥 2 + 3𝑘𝑥 − 2𝑘 = 7

; 𝒙𝟏 ∗ 𝒙𝟐 =

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𝒄 𝒂

PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA

3

(𝑘 + 5)𝑥 2 + 3𝑘𝑥 − 2𝑘 − 7 = 0  Por las propiedades de las raíces se tendrá: 𝑎=𝑘+5

𝑥1 + 𝑥2 = −

𝑏 = 3𝑘

3𝑘

𝑘+5

… … (1)

𝑐 = −2𝑘 − 7 1  De la condición tendremos: 𝑥1 = 2 ∗

Igualamos (2) y (3) se tendrá: −2𝑘 − 7 1 = 2 𝑘+5

→

−4𝑘 − 14 = 𝑘 + 5

1

𝑥2

𝑥1 ∗ 𝑥2 =

;

→

−2𝑘−7 … … (2) 𝑘+5

𝑥1 ∗ 𝑥2 = 2 … … … . (3) 1

5𝑘 = −19 →

4𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑚 = 0 , sea igual al doble de su producto.

𝒌=−

𝟏𝟗 𝟓

4.5. Hallar el valor de “m” para que la suma de las soluciones de la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ; 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −

Solución:

Se sabe que:

4𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑚 = 0

𝒃 𝒂

𝒄

; 𝒙𝟏 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒂

 Por las propiedades de las raíces se tendrá: 𝑎=4 𝑚 5 ; 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 4 … … … . (2) 𝑏=5 𝑥1 + 𝑥2 = − 4 … … … . (1) 𝑐=𝑚  De la condición tendremos: 𝑥1 + 𝑥2 = 2 𝑥1 ∗ 𝑥2 … … … . (3) (1) y (2) reemplazamos en (3) se tendrá: −

5 𝑚 =2∗ 4 4

→

𝑚=−

5 2

4.6. Si 𝛼 𝑦 𝛽 son las raíces de la ecuación: 𝑥 2 − 𝑚𝑥 − 𝑛 = 0 𝛽 𝛼 calcular el valor de 𝛽 + 𝛼

𝛼 𝛽 𝛼 2 + 𝛽2 𝛼 2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2 − 2 𝛼𝛽 (𝛼 + 𝛽)2 − 2𝛼𝛽 = = + = 𝛼 ∗𝛽 𝛼 ∗𝛽 𝛼∗𝛽 𝛽 𝛼

Solución:

Entonces: Se sabe que:

𝛼 𝛽

+

𝛽

𝛼

=

(𝛼+𝛽 )2 −2𝛼𝛽 𝛼∗𝛽

… … … . . (1)

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ; 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 𝑥 2 − 𝑚𝑥 − 𝑛 = 0

𝒃

𝒂

𝒄

; 𝒙𝟏 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒂

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA

4

 propiedades Como nos dice 𝛼 𝑦 𝛽 son las raíces de la ecuación .Por las de que las raíces se tendrá: 𝑎=1 𝑏 = −𝑚

𝑐 = −𝑛

𝛼+𝛽= −

𝛼 + 𝛽 = 𝑚 … … . (2)

;

3 + √𝑥 + 𝑦 √𝑥+𝑦 𝑥 2 − 𝑦 2 = −3

; 𝛼∗𝛽 =

1

−𝑛 1

)

𝛼 ∗ 𝛽 = −𝑛 … … . (3)

Reemplazamos (2) y (3) en (1) 𝛼 𝛽 (𝑚)2 − 2 ∗ (−𝑛 ) + = (−𝑛) 𝛽 𝛼

4.7. Resolver el siguiente sistema:

−𝑚

→

𝜶 𝜷 𝒎𝟐 + 𝟐𝒏 + = (−𝒏) 𝜷 𝜶

= 4 ……… (1)

………….. (2) Solución: Se hace un cambio de variable en (1) C.V.

𝑢 = √𝑥 + 𝑦 Reemplazamos en (1)

+ 𝑢 = 4 → 3 + 𝑢 2 = 4𝑢 → 𝑢2 − 4𝑢 + 3 = 0 𝑢 − 3 − 3𝑢 𝑢 −1 −𝑢 −4𝑢 Entonces: (𝑢 − 3)(𝑢 − 1) = 0 → 𝑢1 = 3 ; 𝑢 2 = 1 Volviendo al cambio de variable para 𝑢1 = 3

De (1) se tendrá:

3

𝑢

3 = √𝑥 + 𝑦 → 𝑥+𝑦=9 → 𝑥 = 9 − 𝑦 … … … . . (3) (3) en (2) se tendrá: (9 − 𝑦)2 − 𝑦2 = −3 → 81 − 18𝑦 + 𝑦 2 − 𝑦 2 = −3 14 𝑦1 = 𝑒𝑛 (3) 3 13 14 De (3) 𝑥 =9− → 𝑥1 = 3 3

Volviendo al cambio de variable para 𝑢2 = 1 1 = √𝑥 + 𝑦 → 𝑥 + 𝑦 = 1 → 𝑥 = 1 − 𝑦 … … … . . (4) (4) en (2) se tendrá: (1 − 𝑦)2 − 𝑦2 = −3 → 𝑦1 = 2 𝑒𝑛 (4) De (3) 𝑥 =1− 2 → 𝑥2 = −1 Por lo tanto las soluciones son: 𝒙𝟏 =

𝟏𝟑 𝟑

,

𝒚𝟏 =

1 − 2𝑦 + 𝑦 2 − 𝑦 2 = −3

𝟏𝟒 𝟑

;

𝒙𝟐 = −𝟏 , 𝒚𝟐 = 𝟐

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA 4.8. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

5

𝑥 2 𝑦 𝑧 = 6 ….........(1) 𝑥 𝑦2 𝑧 = 12 …….. ..(2) 𝑥 𝑦 𝑧 2 = 18 ………(3) Solución: Multiplicando las tres ecuaciones miembro miembro a miembro se tiene:

𝑥 4 𝑦 4 𝑧 4 = 1296

→

→

𝑥 𝑦 𝑧 = ±√1296 4

𝑥𝑦𝑧 = ± 6 … … (4)

Factorizamos x,y,z en las ecuaciones (1),(2) y (3) respectivamente, se tendrá: 𝑥 (𝑥𝑦𝑧) = 6 ….........(1) 𝑦 (𝑥𝑦𝑧) = 12 …….. ..(2) 𝑧 (𝑥𝑦𝑧) = 18 ………(3) Reemplazamos (4) en (1), (2) y (3) se tendrá: 𝑥 (𝑥𝑦𝑧) = 6 → 𝑥(±6) = 6 → 𝒙 = ±𝟏 𝑦 (𝑥𝑦𝑧) = 12 → 𝑦 (±6) = 12 → 𝒚 = ±𝟐 𝑧 (𝑥𝑦𝑧) = 18 → 𝑧 (±6) = 18 → 𝒛 = ±𝟑

√𝑦 − √𝑥 = −1

4.9. Resolver el siguiente sistema: 3

3

𝑦 − 𝑥 = −7

……………(1) ………….. (2)

Solución: Hacemos cambios de variables para x, y

C. V. 𝑦 = 𝑢 3 ; 𝑥 = 𝑣 3 Reemplazamos los cambios de variable en el sistema de ecuaciones se tendrá: 3 √𝑦 − √𝑥 = −1 →

3

𝑦 − 𝑥 = −7

→

√𝑢 3 − √𝑣 3 = −1 →

3

3

𝑢 − 𝑣 = −7 3

3

𝑢 − 𝑣 = −1 ……. (1)

→

𝑢 3 − 𝑣 3 = −7

Despejando 𝑢 𝑑𝑒 (1) 𝑢 = 𝑣 − 1 reemplazando en (2) (𝑣 − 1)3 − 𝑣 3 = −7 → 𝑣 3 − 3𝑣 2 + 3𝑣 − 1 − 𝑣 3 = −7 −3𝑣 2 + 3𝑣 − 1 = −7 →

𝑣2 − 𝑣 − 2 = 0 → 𝑣1 = 2 ; 𝑣2 = −1

Reemplazando 𝑣1 = 2 ; 𝑣2 = −1 en (3) 𝑢1 = 2 − 1 𝑢1 = 1 𝑢1 = 𝑣1 − 1 Con 𝑣1 = 2 𝑢2 = 𝑣 2 − 1 𝑢2 = −1 − 1 Con 𝑣1 = −1 3 3 Pero 𝑦 = 𝑢 ; 𝑥 = 𝑣 , luego tenemos:

……. (2)

(𝑣 − 2)(𝑣 + 1) = 0

𝑢1 = −2

𝑢1 = 1 ; 𝑣 1 = 2 𝑦1 = 𝑢1 3 = 13 = 1 , 𝑥1 = 𝑣1 3 = 23 = 8 𝑢2 = −2 ; 𝑣2 = −1 𝑦2 = 𝑢2 3 = (−2)3 = −8 , 𝑥2 = 𝑣2 3 = (−1)3 = −1

Por lo tanto se tendrá: 𝒙𝟏 = 𝟖 ,

𝒚𝟏 = 𝟏 ;

𝒙𝟐 = −𝟏 , 𝒚𝟐 = −𝟖

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA

6

4.10. En el sistema de ecuaciones: Hallar 𝐸 =

1

Solución:

2

𝑢2 𝑣 + 𝑢 𝑣 2 = 13 ……………(1) 𝑢3 + 𝑣 3 = 25 ………….. (2)

(𝑢 + 𝑣 + 3𝑢+𝑣 + 15)

(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑

Sabemos que: Aplicando al ejercici

(𝑢 + 𝑣)3 = 𝑢3 + 3𝑢2 𝑣 + 3𝑢𝑣 2 + 𝑣 3 (𝑢 + 𝑣)3 = 𝑢3 + 𝑣 3 + 3(𝑢2 𝑣 + 𝑢𝑣 2 ) … … … … … (3)

Reemplazando las ecuaciones (1) y (2) en (3)

(𝑢 + 𝑣)3 = 25 + 3 ∗ 13

→

𝑢 + 𝑣 = √64 3

→

𝑢 + 𝑣 = 4 … … … . . (4)

1 1 (𝑢 + 𝑣 + 3𝑢+𝑣 + 15) → 𝐸 = (4 + 34 + 15) → 2 2

Reemplazando (4) en la ecuación donde nos pide “E”

𝐸=

𝑬 = 𝟓𝟎

CAP 5. INECUACIONES (Aux. Univ. Gonzales Pedregal Geraldine) 5.1. Resolver:

𝒙

𝒙−𝟏

−

𝒙−𝟖 𝒙−𝟔 𝒙−𝟐 − ≥ 𝒙−𝟑 𝒙−𝟕 𝒙−𝟓

Solución: Realizando operaciones a cada miembro:

𝑥(𝑥 − 3) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (𝑥 − 8)(𝑥 − 5) − (𝑥 − 6)(𝑥 − 7) ≥ (𝑥 − 7)(𝑥 − 5) (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)

𝑥 2 − 3𝑥 − (𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 𝑥 2 − 13𝑥 + 40 − (𝑥 2 − 13𝑥 + 42) ≥ (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) (𝑥 − 7)(𝑥 − 5) 𝑥 2 − 3𝑥 − 𝑥 2 + 3𝑥 − 2 𝑥 2 − 13𝑥 + 40 − 𝑥 2 + 13𝑥 − 42 ≥ (𝑥 − 7)(𝑥 − 5) (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) −2 −2 ≥ (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) (𝑥 − 7)(𝑥 − 5)

Multiplicamos a cada miembro por (− 2): 1

−2

(𝑥−1)(𝑥−3)

≥(

−2

𝑥−7)(𝑥−5)

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|| (− 2) 1

PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA 1

Llevamos todo a un solo (𝑥 miembro: − 1)(𝑥 − 3) 1

≤

7

(𝑥 − 7)( 1 𝑥 − 5)

1 ≤0 − (𝑥 − 7)(𝑥 − 5) (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) (𝑥 − 7)(𝑥 − 5) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) ≤0 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 5)

Desarrollamos:

𝑥 2 −12𝑥+35−(𝑥 2 −4𝑥+3) (𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−7)(𝑥−5)

≤0

𝑥 2 − 12𝑥 + 35 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 ≤0 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 5) 32 − 8𝑥 ≤0 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 5)

Multiplicamos a cada miembro por (− ): 1

8

1 32 − 8𝑥 ≤ 0 || (− ) (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 5) 8 𝑥−4 ≥0 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 5)

Entonces los puntos críticos serán:

𝑥=4 𝑥=1 𝑥=3 𝑥=7 𝑥=5

Damos un valor arbitrario para los intervalos: Si x=100 100 − 4 ≥0→ (100 − 1)(100 − 3)(100 − 7)(100 − 5) +≥0

(𝑽)

96 ⏟ 99 ∗ 97 ∗ 93 ∗ 95

𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑃𝑂𝑆𝐼𝑇𝐼𝑉𝑂

Llevando a la recta real, entonces designamos V y F intercaladamente comenzando desde el +∞ siendo V:

≥0

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA F

V

−∞

0

1

2

F 3

V 4

F 5

6

8

V 7

El conjunto solución será los intervalos que sean verdaderos, tomando en

+∞

cuenta que si estos están cerrados o abiertos:

5.2. Resolver:

∴ 𝐶. 𝑆. ]1,3[∪ [4,5] ∪]7, +∞[

𝟖𝒙 + 𝟏𝟎 𝟖𝒙 + 𝟔 𝒙 + 𝟐 ≤ 𝟐 𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟔

𝒙𝟐

Solución: Llevando todo a un solo miembro:

8𝑥 + 10 8𝑥 + 6 𝑥 − + ≤0 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑥 2 + 3𝑥 + 2

Realizando operaciones:

8𝑥 + 10 8𝑥 + 6 𝑥 − + ≤0 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1) (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) (8𝑥 + 10)(𝑥 + 2) + 𝑥(𝑥 + 1) − (8𝑥 + 6)(𝑥 + 3) ≤0 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 8𝑥 2 + 26𝑥 + 20 + 𝑥 2 + 𝑥 − 8𝑥 2 − 30𝑥 − 18 ≤0 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)

𝑥 2 − 3𝑥 + 2 ≤0 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)

Entonces los puntos críticos serán:

→

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ≤0 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)

𝑥=1 𝑥=2 𝑥 = −3 𝑥 = −1 𝑥 = −2

Damos un valor arbitrario para encontrar los intervalos de solución: Si x=100 (100 − 1)(100 − 2) ≤0 (100 + 3)(100 + 1)(100 + 2)

→

99 ∗ 98 ≤ 0 → +≤ 0 (𝑭) ⏟ ∗ 101 ∗ 102 103 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑃𝑂𝑆𝐼𝑇𝐼𝑉𝑂

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA

9

Llevando a la recta real, comenzando desde el +∞ siendo F:

−∞

V

F

-3

V

-2

F

-1

V

0

1

F

2

+∞

3

El conjunto solución será los intervalos que sean verdaderos, tomando en cuenta que si estos están cerrados o abiertos:

5.3. Resolver:

∴ 𝐶. 𝑆. ] − ∞, −3[∪] − 2, −1[∪ [1,2] 𝟏 𝒙𝟑 + 𝟐 ≤ 𝟒 𝒙 −𝟏 𝒙−𝟏

Solución: Llevamos todo a un solo miembro y luego realizamos operaciones:

(𝑥 2

𝑥3 + 2 1 − ≤0 𝑥4 − 1 𝑥 − 1

𝑥3 + 2 1 ≤0 − 2 − 1)(𝑥 + 1) 𝑥 − 1

𝑥3 + 2 1 ≤0 − (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) 𝑥 − 1 𝑥 3 + 2 − (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) ≤0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1)

𝑥 3 + 2 − (𝑥 3 + 𝑥 + 𝑥 2 + 1) ≤0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) 𝑥3 + 2 − 𝑥3 − 𝑥 − 𝑥2 − 1 ≤0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) −𝑥 − 𝑥 2 + 1 ≤0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1)

Multiplicamos por (-1) a ambos miembros:

−𝑥−𝑥 2 +1

(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥 2 +1)

𝑥2 + 𝑥 − 1 ≥0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1)

Analicemos a 𝑥 2 + 𝑥 − 1 mediante su discriminante:

≤0

|| (−1)

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA

10

∆= 12 − 4 ∗ 1 ∗ (−1) = 5

Como la discriminante es > 0 entonces tiene soluciones: −1 − √5

−1 + √5 ≅ 0.618033 ≅ −1.618033 ; 𝑥 = 2 2 Ahora analicemos a 𝑥 2 + 1: Cuando tengamos a 𝑥 2 + 1 siempre es positivo, así que podemos mandar a dividir o multiplicar al otro miembro; entonces no lo tomamos en los puntos críticos. Entonces: 𝑥=

(𝑥 +

−1 + √5 1 + √5 ) (𝑥 − ) 2 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

≥0

Entonces los puntos críticos serán: −1 − √5 ≅ −1.618033 𝑥= 2 −1 + √5 ≅ 0.618033 𝑥= 2 𝑥=1 𝑥 = −1

Damos un valor arbitrario para encontrar los intervalos de solución: Si x=100 (100 +

1 + √5 −1 + √5 ) (100 − ) 2 2 (100 − 1)(100 + 1)

≥0 →

101.61 ∗ 99.4 ≥ 0 → +≥ 0 (𝑽) ⏟ 99 ∗ 101

𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑃𝑂𝑆𝐼𝑇𝐼𝑉𝑂

Llevando a la recta real, comenzando desde el +∞ siendo V:

−∞

V

F −1−√5 2

V -1

0

F −1+√5 2

V 1

+∞

El conjunto solución será los intervalos que sean verdaderos, tomando en cuenta que si estos están cerrados o abiertos: ∴ 𝐶. 𝑆. ] − ∞,

−1 + √5 −1 − √5 ] ∪] − 1, ] ∪]1, +≤ ∞[ 2 2

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA 5.4. Resolver:

𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗

𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙

𝑥 3 +5𝑥2 +3𝑥−9

𝑥4 +6𝑥3 +13𝑥 2 +10𝑥

≥0 →

11

≥𝟎

𝑥 3 +5𝑥2 +3𝑥−9

𝑥(𝑥3 +6𝑥 2 +13𝑥+10) Factorizamos el numerador y el denominador por Ruffini:

Solución:

1 1 1

5

3

-9

1

6

9

6

9

0

1 -2

(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 6𝑥 + 9)

1

≥0

6

13

10

-2

-8

-10

4

5

0

(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)

(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) ≥0 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)2 ≥0 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)

Analizamos a 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 mediante la discriminante: ∆= 42 − 4 ∗ 1 ∗ 5 = −4 La discriminante nos da negativo eso implica que tendremos soluciones imaginarias, entonces no lo tomamos en cuenta en los puntos críticos. (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)2 ≥0 𝑥(𝑥 + 2)

Analicemos a (𝑥 + 3)2 ya que se encuentra elevado a un exponente par: Si x+3 =0 –> x=-3 (−3 − 1)(−3 + 3) 0 ≥0 → ≥ 0 → +≥ 0 (𝑽) −3(−3 + 2) 3 Entonces el punto x=-3 pertenece al conjunto solución. (𝑥 − 1) ≥0 𝑥(𝑥 + 2)

𝑥=1 𝑥=0 𝑥 = −2 Damos un valor arbitrario para encontrar los intervalos de solución: Si x=100

Entonces los puntos críticos serán:

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA

12

(100 − 1)

≥ 0 → +≥ 0 (𝑽) 99 ∗ 102 ≥ 0 → 100 Llevando a la recta real,+comenzando desde el +∞ siendo V: 100(100 2)

−∞

F

V

-2

F

-1

0

V

+∞

1

El conjunto solución será los intervalos que sean verdaderos, tomando en cuenta que, si estos están cerrados o abiertos, no olvidemos al punto x=-3 que también pertenece a la solución: ∴ 𝐶. 𝑆. ] − 2,0[∪ [1, +∞[∪ {−3}

5.5. Resolver:

𝒙+𝟒 𝒙 < 𝒙−𝟕 𝒙+𝟏 Solución: Llevamos todo a un solo miembro:

𝑥+4 𝑥 𝑥+4 𝑥 (2 − 𝑥)2 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 > 4 − 4𝑥 − 𝑥 2

−∞

⟹ 𝑥>2

2

+∞

El conjunto solución será la intersección del radicando y la inecuación original: ∴ 𝐶. 𝑆. ]2; +∞[

UMSA, FACULTAD DE INGENIERIA – CURSO PREFACULTATIVO 2021

PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA 5.10. Resolver:

(𝒙 − 𝟏)𝟏𝟐 (𝒙 − 𝟑)𝟏𝟑

𝒙𝟕 (𝒙 + 𝟏)𝟏𝟎 (𝒙 + 𝟐)𝟏𝟓

≤𝟎

16

Solución: Como ya está factorizado tendríamos que llevar los puntos críticos a la recta real, los puntos críticos serán aquellos que tengan exponentes impares y los que son pares llevaremos a analizar: 𝑥=3 𝑥=0 𝑥 = −2 Damos un valor arbitrario para encontrar los intervalos de solución: (100 − 1)(100 − 3) ≤0 100(100 + 1)(100 + 2) ⏟

Si x=100

→ +≤ 0 (𝑭)

𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑃𝑂𝑆𝐼𝑇𝐼𝑉𝑂

Analicemos para los exponentes pares: Para (𝑥 − 1)12

(1 − 1)(1 − 3) ≤0 1(1 + 1)(1 + 2) Entonces será parte de la solución x=1. Para (𝑥 + 1)10

Si x=1:

→ 0 ≤ 0 (𝑽)

(−1 − 1)(−1 − 3) ≤0 −1(−1 + 1)(−1 + 2)

Si x=-1:

→ ∄

No será parte de la solución x=-1 ya que no existirá (división entre 0). Llevando a la recta real los puntos críticos:

−∞

-2

-1

0

El conjunto solución será:

1

2

3

∴ 𝐶. 𝑆. ] − ∞, −2[∪]0,3]

+∞

*NOTA: el x=1 ya está incluido en la solución (intervalo de 0 a 3).

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