PROB Tarea 4 - Ejercicios de practica PDF

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL3 Considere la población de electores descrita en el Ejemplo 3. Suponga que hay N= 5000 electores en la población, 40% de los cuales están a favor de Jones. Identifique el evento está a favor de Jones como el éxito S. Es evidente que la probabilidad de S en el intento 1 es .40. ...

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 3.35 Considere la población de electores descrita en el Ejemplo 3.6. Suponga que hay N= 5000 electores en la población, 40% de los cuales están a favor de Jones. Identifique el evento está a favor de Jones como el éxito S. Es evidente que la probabilidad de S en el intento 1 es .40. Considere el evento B de que S suceda en la segunda prueba. Entonces B puede ocurrir en dos formas: las primeras dos pruebas son exitosas o bien la primera prueba es un fracaso y la segunda es un éxito. Demuestre que P(B) = .4. ¿Cuál es P(B|la primera prueba es S)? ¿Esta probabilidad condicional difiere marcadamente de P(B)?

3.37 En 2003, el promedio de calificación combinada del examen Scholastic Aptitude Test (SAT) (matemáticas y verbal) para estudiantes que van a la universidad en Estados Unidos fue 1026. Suponga que aproximadamente 45% de todos los graduados de preparatoria hizo este examen y que 100 egresados de preparatoria se seleccionan al azar de entre todos los egresados en Estados Unidos. De las siguientes variables aleatorias, ¿cuál tiene una distribución que puede ser aproximada por una distribución binomial? Siempre que sea posible, dé los valores para n y p. a) El número de estudiantes que hizo el SAT. b) Las calificaciones de los 100 estudiantes de la muestra. c) El número de estudiantes de la muestra que obtuvo calificaciones arriba del promedio del SAT. d) El tiempo necesario para que cada estudiante terminara el SAT. e) El número de egresadas (mujeres) de preparatoria de la muestra. a) De acuerdo con el enunciado, 45% de todos los graduados de preparatoria que van hacia la universidad en Estados Unidos presentan el examen SAT. Es decir, la variable aleatoria número de estudiantes que presentaron el SAT tiene una distribución Binomial. Por lo tanto, seleccionando un número de estudiantes al azar, se tendrá una probabilidad de éxito de 45% de saber cuántos de ellos presentaron el SAT.

b) La calificación de los 100 estudiantes en el SAT no tiene una distribución binomial porque el enunciado en ningún momento comenta que existe, por ejemplo, un cierto porcentaje de estudiantes con una calificación x. c) El número de estudiantes que calificaron arriba del promedio del SAT tampoco califica como una variable binomial porque el enunciado tampoco comenta el% de estudiantes que calificaron por encima del promedio. d) El tiempo que tomó a cada estudiante para completar el SAT, en ninguna parte del enunciado se comenta acerca del tiempo que tomó cada estudiante para completar el SAT. e) En ninguna parte del enunciado nos especifica cuantos egresados fueron hombres para poder saber cuántas fueron mujeres. 3.39 Se construye un complejo sistema electrónico con cierto número de piezas de respaldo en sus subsistemas. Un subsistema tiene cuatro componentes idénticos, cada uno con una probabilidad de .2 de fallar en menos de 1000 horas. El subsistema va a operar si dos de los cuatro componentes están operando. Suponga que los componentes operan de manera independiente. Encuentre la probabilidad de que a) exactamente dos de los cuatro componentes dure más de 1000 horas. b) el subsistema opere más de 1000 horas. a)

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 3.67 Suponga que 30% de los solicitantes para cierto trabajo industrial posee capacitación avanzada en programación computacional. Los candidatos son elegidos aleatoriamente entre la población y entrevistados en forma sucesiva. Encuentre la probabilidad de que el primer solicitante con capacitación avanzada en programación se encuentre en la quinta entrevista.

3.69 Unos seis meses después del segundo periodo de George W. Bush como presidente, una encuesta de Gallup indicó que un nivel (bajo) muy cerca del récord de 41% de adultos expresaron “mucha” o “bastante” confianza en la suprema corte de Estados Unidos (http://www.gallup.com./poll/content/default.aspx?ci=17011), junio de 2005). Supongamos que usted realizó su propia encuesta telefónica en ese tiempo y al azar llamó a personas y les pidió describieran su nivel de confianza en la suprema corte. Encuentre la distribución de probabilidad de Y, el número de llamadas hasta que se encuentre la primera persona que no exprese “mucha” o “bastante” confianza en la suprema corte de Estados Unidos.

3.73 Un contador público certificado (CPA, por sus siglas en inglés) ha encontrado que nueve de entre diez compañías auditadas contienen errores importantes. Si el CPA hace auditoría a una serie de cuentas de empresas, ¿cuál es la probabilidad de que la primera cuenta que contenga errores importantes a) sea la tercera en ser auditada? b) sea la tercera cuenta auditada la que le sigue?

a)

BINOMIAL NEGATIVO 3.90 Los empleados de una empresa que manufactura aislamientos están siendo examinados en busca de indicios de asbesto en sus pulmones. La empresa ha sido requerida para enviar tres empleados que tengan indicios positivos de asbesto a un centro médico para realizarles exámenes adicionales. Si 40% de los empleados tienen indicios positivos de asbesto en sus pulmones, encuentre la probabilidad de que diez empleados deban ser examinados para hallar tres positivos. Y = # de empleados evaluados hasta que se encuentren tres positivos. Entonces, Y es binomio negativo.

3.91Consulte el Ejercicio 3.90. Si cada examen cuesta $20, encuentre el valor y la varianza esperados del costo total de realizar los exámenes necesarios para hallar los tres positivos.

3.92Diez por ciento de los motores fabricados en una línea de ensamble son defectuosos. Si los motores se seleccionan al azar uno a la vez y se prueban, ¿cuál es la probabilidad de que el primer motor no defectuoso sea hallado en el segundo intento? Y = # de intentos hasta que se encuentre este primer motor no defectuoso. Entonces, Y es geométrico

3.93Consulte el Ejercicio 3.92. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer motor no defectuoso sea hallado a) en el quinto intento?, b) en el quinto intento o antes? a

3.95Consulte el Ejercicio 3.92. Dado que los primeros dos motores probados resultaron defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos motores más deban ser probados antes de hallar el primero no defectuoso?

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA 3.103 Un almacén contiene diez máquinas impresoras, cuatro de las cuales son defectuosas. Una compañía selecciona cinco de las máquinas al azar pensando que todas están en buenas condiciones. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco no sean defectuosas?

3.105 En el sur de California, un número creciente de personas que tratan de obtener credenciales de profesores están escogiendo internados pagados en vez de los programas tradicionales de enseñanza a estudiantes. Un grupo de ocho candidatos para tres plazas de enseñanza locales estaba formado por cinco que se habían inscrito en internados pagados y tres que se inscribieron en programas tradicionales de enseñanza a estudiantes. Los ocho candidatos parecen estar igualmente capacitados, de modo que se seleccionan tres al azar para ocupar las plazas abiertas. Sea Y el número de candidatos capacitados en internados que son contratados. a) ¿Tiene Y una distribución hipergeométrica o binomial? ¿Por qué? b) Encuentre la probabilidad de que sean contratados dos o más candidatos capacitados en internados. c) ¿Cuáles son la media y la desviación estándar de Y? a) Es una probabilidad hipergeométrica ya que se tiene una muestra de tamaño fijo cuando usted conoce el número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra y los eventos se moldean a esta población. Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles, en nuestro caso calificar o no a alguna de las tres posiciones posibles b)

c)

3.107 Un grupo de seis paquetes de software que hay para resolver un problema de programación ha sido clasificado del 1 al 6 (del mejor al peor). Una firma de ingeniería, no informada de la clasificación, selecciona al azar y luego compra dos de los paquetes. Denote con Y el número de paquetes comprados por la empresa que están clasificados 3, 4, 5 o 6. Dé la distribución de probabilidad para Y. Hipergeométrica con:

DISTRIBUCIÓN POISSON 3.121 Denote con Y una variable aleatoria que tenga una distribución de Poisson con media

. Encuentre

a) P(Y = 4). b) P(Y ≥4). c) P(Y < 4). d) P(Y ≥4 |Y ≥ 2). a)

b)

c)

d)

3.123 La variable aleatoria Y tiene una distribución de Poisson y es tal que p(0) = p(1). ¿Cuál es P(2)?

3.125 Consulte el Ejercicio 3.122. Si se requieren alrededor de diez minutos para servir a cada cliente, encuentre la media y la varianza del tiempo total de servicio para clientes que lleguen durante un periodo de 1 hora. (Suponga que hay un número suficiente de dependientes para que el cliente no tenga que esperar ser atendido.) ¿Es probable que el tiempo total de servicio exceda de 2,5 horas? Llegan clientes a un mostrador de salida en una tienda de departamentos de acuerdo con una distribución de Poisson, a un promedio de siete por hora.

EXPONENCIAL 37. Los tiempos de espera para recibir la comida después de hacer el pedido en la tienda Subway local siguen una distribución exponencial con una media de 60 segundos. Calcule la probabilidad de que un cliente espere: a) Menos de 30 segundos. b) Más de 120 segundos. c) Entre 45 y 75 segundos. d) ¿Cincuenta por ciento de los clientes espera menos de cuántos segundos? ¿Cuál es la mediana?

a)

b)

La probabilidad de que un cliente espere más de 120 segundos es de 13%. c)

La probabilidad de que un cliente espere entre 45 y 75 segundos es del 18% c)

El 50% de los clientes esperan aproximadamente 41.59 segundos. 38. El tiempo de vida de los televisores de plasma y LCD sigue una distribución exponencial con una media de 100 000 horas. Calcule la probabilidad de que un televisor: a) Falle en menos de 10 000 horas. b) Dure más de 120 000 horas. c) Falle entre 60 000 y 100 000 horas de uso. d) Encuentre el 90. percentil. ¿Diez por ciento de los televisores duran más de cuánto tiempo? a)

La probabilidad de que un televisor falle en menos de 10.000 horas es de 9.5%. b)

La probabilidad de que un televisor dure más de 120.000 horas es de 30%. c)

La probabilidad de que un televisor falle entre 60.000 y 100.000 horas es del 18%. d)

Entonces el percentil 90 se obtiene a 10536 hora 39. La encuesta realizada por The Bureau of Labor Statitics’ American Time mostró que el tiempo que se pasa en Estados Unidos utilizando una computadora para entretenimiento varía mucho según la edad. Los individuos de 75 años en adelante promediaron 0.3 horas (18 minutos) por día. Los de 15 a 19 años pasaban 1.0 hora al día. Si estos tiempos siguen una distribución exponencial, encuentre la proporción de cada grupo que pasa: a) Menos de 15 minutos al día usando la computadora para entretenimiento. b) Más de dos horas. c) Entre 30 y 90 minutos. d) Encuentre el 20. percentil. ¿Ochenta por ciento pasan más de cuánto tiempo? a)

; donde,

PARA EL PRIMER GRUPO

PARA EL SEGUNDO GRUPO

b) Primero hallaremos la probabilidad de que dure menos de 120 minutos, en el primer grupo

ahora hallaremos la probabilidad de que dure menos de 120 minutos, en el segundo grupo

c) PARA EL PRIMER GRUPO:

 PARA EL SEGUNDO GRUPO:

d)

10. (GALINDO) El tiempo de duración, en meses, de un tipo de resistencia eléctrica se expresa mediante una variable aleatoria X que sigue una ley exponencial

(0,5)

a) Cuál es la probabilidad de que una de tales resistencias eléctricas dure más de 4 meses? b) Si se prueban 10 resistencias eléctricas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna dure más de 4 meses? c) ¿Cuántas resistencias se probarían para que con probabilidad igual a 0,9 se tenga al menos una resistencia que dure más de 4 meses? d) Si el costo de producción de una resistencia es esperado de cada resistencia?

¿cuál es el costo

a)

b)

c)

d)

DISTRIBUCIÓN UNIFORME 4.45 Al estudiar bajas cotizaciones para contratos de embarques, una empresa fabricante de microcomputadoras encuentra que los contratos interestatales tienen bajas cotizaciones que están uniformemente distribuidas entre 20 y 25, en unidades de miles de dólares. Encuentre la probabilidad de que la baja cotización en el siguiente contrato interestatal a) esté por debajo de $22,000. b) sea de más de $24,000.

b)

4.48 Si un punto se localiza al azar en un intervalo (a, b) y si Y denota la ubicación del punto, entonces se supone que Y tiene una distribución uniforme en (a, b). Una experta en eficiencia de la planta selecciona al azar un lugar, a lo largo de una línea de ensamble de 500 pies, desde el cual observa hábitos de los trabajadores de la línea. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto que ella seleccione se encuentre a) no más de 25 pies del final de la línea? b) a no más de 25 pies del principio de la línea? c) Más cerca del principio de la línea que al final de la línea?

a)

b)

c)

4.53 El número de tarjetas de circuito defectuosas que salen de una máquina soldadora sigue una distribución de Poisson. Durante un día específico de ocho horas, se encontró una tarjeta defectuosa. a) Encuentre la probabilidad de que haya sido producida durante la primera hora de operación durante ese día. b) Encuentre la probabilidad de que haya sido producida durante la última hora de operación durante ese día.

c) Dado que no se produjeron tarjetas defectuosas durante las primeras cuatro horas de operación, encuentre la probabilidad de que la tarjeta defectuosa se fabricara durante la quinta hora. a)

b)

c) como se descarta 4 horas del total del día de operación entonces la función de densidad está dada por:

5. En una escuela el tiempo que los niños emplean diariamente el laboratorio de computación sigue una ley uniforme cuya media es 3h y su desviación estándar es 0,9h. a) Encuentre los parámetros de la distribución b) Halle la probabilidad de que un día se utilice el laboratorio menos de 2h. c) el 25% de las veces que menos se utiliza el laboratorio, ¿Entre que tiempos se encuentra?

a)

b)

c)

DISTRIBUCIÓN NORMAL 4.63 Una compañía que manufactura y embotella jugo de manzana usa una máquina que automáticamente llena botellas de 16 onzas. Hay alguna variación, no obstante, en las cantidades de líquido que se ponen en las botellas que se llenan. Se ha observado que la cantidad de líquido está normalmente distribuida en forma aproximada con media de 16 onzas y desviación estándar de 1 onza.

a) Use la Tabla 4, Apéndice 3 para determinar la proporción de botellas que tendrán más de 17 onzas.

Valor en tabla z= 0.8413 Como puede que sea más 1.00 – 0.8413 = 0.1587

4.66 Una operación de maquinado produce cojinetes con diámetros que están normalmente distribuidos con media de 3.0005 pulgadas y desviación estándar de .0010 pulgadas. Las especificaciones requieren que los diámetros de los cojinetes se encuentren en el intervalo 3.000 ± .0020 pulgadas. Los cojinetes que estén fuera de este intervalo son considerados de desecho y deben volver a maquinarse. a) Con el ajuste de la máquina existente, ¿qué fracción de la producción total se desechará? a) Los diámetros de los cojinetes deben ser 2.998 a 3.002 y como se desechará lo que esté por debajo y por arriba de ese intervalo:

Los valores de tablas son: para z= -2.5 entonces, 0.0062 y es lado izquierdo es decir por debajo Para z= 1.5 entonces, 0.9332 pero me da lado izquierdo y requiero el derecho para estar por arriba 1-0.9332 =0.0668 Sumando estos resultados será: 0.0062 + 0.0668 =0.073 4.71. Se especifica que los cables manufacturados para usarse en un sistema de computadora deben tener resistencias entre .12 y .14 ohm. Las resistencias medidas reales de los cables producidos por la compañía A tienen una distribución de probabilidad normal con media de 0.13 ohm y desviación estándar .005 ohm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cable seleccionado al azar de la producción de la compañía A satisfaga las especificaciones?

b) Si cuatro de estos cables se usan en el sistema de cada computadora y todos son seleccionados de la compañía A, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro en un sistema seleccionado al azar satisfagan las especificaciones?

a) b)

38(Galindo). Una fábrica de pernos ha recibido un pedido de 10000 pernos al ser colocadas con un ajuste bastante aceptable en orificios que tiene un comportamiento normal con media 2cm de diámetro y desviación estándar de 0.02 cm. Las especificaciones de fabricación son 1,97cm y 2,05cm. Se desechan los pernos con diámetros menores que la especificación menor y se retrabajan los pernos con diámetros mayores que la especificación mayor. a) Cuantos pernos se desechan b) Cuantos pernos se retrabajan. c) La máquina se puede ajustar para producir con el nivel que se desee. ¿Cuál debe ser la media (con 3 decimales) para desechar 100 pernos y, en este caso, cuantos se retrabajan? d) La máquina se puede ajustar para producir con la variabilidad que se desee. ¿Cuál debe ser la desviación estándar (con 3 decimales) para desechar 100 pernos y, en este caso, cuantos se retrabajan? e) Si no es posible bajar el valor de la desviación estándar hasta el valor calculado en d), pero se acepta desechar 150 y retrabajar 150 pernos, ¿Cuál debe ser la media y la desviación estándar con las que se debe trabajar? a)

c)

d)

e)

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL 3. Los clientes de cierto banco efectúan depósitos con media 157.92 dólares y desviación estándar 30.20 dólares. Aparte de esto no se sabe nada más acerca de la distribución de estos depósitos. Como parte de un estudio, se eligieron al azar e independientemente 75 depósitos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de estos 75 depósitos sea 12 750 dólares o mayor?

8. Suponiendo que la resistencia de un cable es igual a la suma de las resistencias de los hilos que lo forman. a) Calcule la probabilidad de que un cable de 100 hilos sostenga 280 kg b) Cuantos hilos se necesitan para que el cable se sostenga 300kg con 99% de seguridad?

b)

12. En una fábrica microcircuitos se ha comprobado que el 4% de estos son defectuosos. Un cliente compra un paquete de 500 microcircuitos procedentes de la fábrica. Determine: a) el número esperado de microcircuitos no defectuoso; b) la probabilidad de que se encuentre más de 25 microcircuitos defectuosos;

c) la probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 16 y 30. a) El número esperado de microcircuitos no defectuosos es de 20. b)

c)

La probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 16 y 30 es de 0,8335 13. Se conoce, por estudios previos, que la proporción de vacas que enfermarán después de suministrarles la vacuna contra la fiebre aftosa es del 2%. Una granja tiene 600 vacas que son vacunadas. Determine: a) el número esperado de animales que no enfermarán; b) la probabilidad de que el número de reses que enferman sea, como máximo, 17; c) la probabilidad de que el número de reses que no enferman sea, como mínimo, 590. a) Esto es animales enfermos, para los que no enferman: Entonces el número esperado de animales que no enfermarán es de 588 b) Entonces podemos aproximar la probabilidad así:

La probabilidad de que el número de reses que enferman sea, como máximo, 17 es de 0,9452 c)

La probabilidad de que el número de reses que no enferman sea, como mínimo, 590 es de 0,33...