Probeklausur 3 Aufgaben PDF

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Probeklausur FEM1...

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TU Chemnitz, Institut für Mechanik und Thermodynamik Professur Festkörpermechanik

Prüfung zur Methode der Finiten Elemente I Name:

Matr.-Nr.:

Datum: 18.02.2014

Aufgabe 1: Fragen a) Wie lautet die FEM Gleichung für ein statisches, linearelastisches, strukturmechanisches Problem?

b) Wie lautet der FEM-Ansatz für das Verschiebungsfeld?

c) Kreuzen Sie alle für die lineare FEM zutreffenden Aussagen an! □ Die Steifigkeitsmatrix ist immer symmetrisch. □ Die Berechnung von Verschiebungen an den Knoten findet im Postprozessor statt. □ Modelle mit Elementen mit Kantenmittenknoten liefern bei gleicher Elementzahl meist genauere Ergebnisse. □ Die Formfunktionen können im Element auch negative Werte annehmen. □ Durch den Einbau von Kraftrandbedingungen reduziert sich die Größe des Gleichungssystems. □ Die Elementsteifigkeitsmatrix eines 4-Knoten Viereckelements im ebenen Spannungszustand hängt von den Knotenverschiebungen ab. □ Beim Turner-Dreieck ist die Verzerrung im kompletten Element konstant. □ Bei Balkenelementen können auch Momente als Randbedingungen vorgegeben werden. □ Bei einem 8-Knoten Viereckelement werden 4 Gaußpunkte für eine vollständige Integration benötigt. □ Bei der Berechnung thermischer Probleme mit der FEM werden Temperaturen als Knotenfreiheiten verwendet. d) Unterstreichen sie in folgender Liste alle Elementtypen, bei denen ein einzelnes Element eine gekrümmte Außenkontur aufweisen kann! 3-Knoten-Dreieck, 8-Knoten-Viereck, 8-Knoten-Hexaeder, 4-Knoten-Viereck, 20-Knoten-Hexadaeder

Aufgabe 2: Stabwerk

Das abgebildete Stabwerk soll mit Hilfe der FEM untersucht werden. Der E-Modul E und die Querschnittsfläche A ist für alle Stäbe gleich, die Länge ist der Abbildung zu entnehmen. Gegeben:

E, A,l ,F

a) Stellen Sie die Elementsteifigkeitsmatrizen für die drei Stäbe sowie die Gesamtsteifigkeitsmatrix auf. b) Stellen Sie das reduzierte Gleichungssystem nach Einbau der Randbedingungen auf und berechnen Sie damit die unbekannten Knotenverschiebungen. c) Geben Sie die Spannung im Stab III an.

Aufgabe 3: Formfunktionen

Für das abgebildete 3-Knoten-Stabelement sollen Formfunktionen gemäß dem Ansatz G K =a K ξ2+b K ξ+c K gefunden werden. Der Knoten 2 befindet sich bei ξ=1 , die anderen Knotenpositionen sind unbekannt (Skizze ist nicht maßstabsgerecht). a) Geben sie zwei generelle Eigenschaften an, welche die Formfunktionen erfüllen müssen. 3 2 1 b) Für Knoten 2 sei bekannt: G 2=a 2 ξ + ξ+ . Berechnen Sie a2 . 2 4 c) Berechnen Sie die Positionen der Knoten 1 und 3. d) Berechnen Sie die Formfunktionen G 1 und G 3 .

Aufgabe 4: Cholesky-Zerlegung Von der Cholesky-Zerlegung einer symmetrischen Matrix [ K ] in [ D ] und [ L] sind einige Komponenten gegeben:

[

K 11

[ K] = 6

K 31

6 K 22 2

K 31 2 K 33

]

[

D 11 0 0 4 0 0 0 2

[ D ]= 0

]

Berechnen Sie die fehlenden Komponenten aller drei Matrizen.

[

1

[ L]= 3 −1

0 0 1 0 L32 1

]

Aufgabe 5: 4-Knoten-Viereck Gegeben ist das abgebildete 4-Knoten-Viereck:

a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix des Elements und die Jacobi-Determinante. b) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix und ihr Inverses am Knoten 1. c) Berechnen Sie die partielle Ableitung G 1, y am Knoten 1....