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9.6

PROBLEMAS RESUELTOS HIDRODINÁMICA

DE vb =

1.-

Considérese una manguera de sección

circular de diámetro interior de 2,0 cm, por

AmVm G = Ab Ab

cm3 s = 316,5 cm vb = 3,14x0, 52 cm2 s 0,25x10 3

la que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la boquilla de la manguera es de 1,0 cm de diámetro interior. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua?

Este ejemplo es interesante,

puesto que

muestra el mecanismo mediante el cual al disminuir el diámetro de la boquilla, se logra que el agua salga con una velocidad que permite regar a distancias convenientes. Note que ha

Solución:

disminuido el diámetro a la mitad, sin embargo

Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lt/s, de tal manera

la velocidad ha aumentado 4 veces, debido a la relación cuadrática de las áreas.

que según la ec (27): 2.-

G=Av por lo que :

Por una tubería inclinada circula agua a

razón de 9 m3/min, como se muestra en la figura:

En a el diámetro es 30 cm y la presión

es de 1 Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto 3

 3 cm   0,25x10  s  G  cm vm = = = 79,6 2 2 A s ( 3,14x1 cm )

b sabiendo que el diámetro es de 15 cm y que el centro de la tubería se halla 50 cm más bajo que en a?

Ahora, la ecuación (18) permite calcular la velocidad de salida del agua por la boquilla, puesto que el flujo que pasa por la manguera es el mismo que pasa por la boquilla.

Es decir, se debe cumplir la relación:

Am vm = Ab vb

de donde se tiene:

266

Solución:

3.-

Un

tubo

que

conduce

un

fluido

Entre los puntos a y b se puede usar la

incompresible cuya densidad es 1,30 X 103

ecuación de continuidad, de manera tal que:

Kg/m3 es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba,

A A vA = A B v B = G

hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m.

El

tubo tiene área transversal constante. Si la

de donde se pueden calcular las velocidades en

presión en la sección inferior es P0 = 1,50 atm,

a y en b :

calcule la presión P1 en la parte superior.

3

9m G m cm 60s vA = = = 2,14 = 214 AA 3,14x0,152 m2 s s 9m3 G m cm 60s vB = = = 833 2 2 = 8,33 AB 3,14x0,075 m s s

También se puede ocupar la ecuación de Bernouilli para relacionar ambos puntos, de la que se puede calcular la presión en b:

PA + ρ g hA + ½ ρ vA2 = PB + ρ g hB + ½ ρ vB2

Solución: Según lo que predice la ecuación de continuidad, al tener área transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto:

En consecuencia, aplicando la ecuación de Bernouilli a puntos en la parte superior y la parte inferior, se tiene :

P0 + ρ g h0 + ½ ρ v2 = P1 + ρ g h1 + ½ ρ v2

PB = PA + ρ g [hA - hB] + ½ ρ [v2 - vB2]

Dinas g cm + 1 3 980 2 50cm + 2 cm cm s 1 g cm2  + 1 3 ( 45796 − 693889) 2  2  cm s 

PB = 10 6

PB = 724953,5

Dinas cm2

v0 = v 1 = v

P0 + ρ g h0

= P1 + ρ g h1

de donde :

P1 = P0 + ρ g [h0 - h1]

P1 = 1,5 [1,01 X 105 Pa] + [1,30X103 Kg/m3] [9,8 m/s2][0 m - 1.0 m]

P1 = 151 500 Pa - 12 740 Pa

267

Solución:

P1 = 138 760 Pa = 1,38 atm

La presión se puede encontrar mediante la ¡La presión bajó desde 1,5 atm hasta 1,38 atm!.

ecuación

de

previamente Esta

conclusión

parece

contradecir

lo

Bernouilli ;

sin

necesitaremos

embargo,

calcular

la

velocidad v1 con la ecuación de continuidad :

encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones eran inversamente proporcionales a las

velocidades.

Sin

embargo,

ha

de

A 0 v0 = A 1 v 1 de donde :

recordarse que aquel era cierto bajo la restricción de líneas de flujo horizontales, en

v1 = A0

las que no hubiera diferencias significativas en

v0 v v = π r0 2 02 = r0 2 02 A1 r1 π r1

la energía potencial del fluido en movimiento.

( 20

2

4.- Un fluido incompresible fluye de izquierda a

v1 =

m x10 −4 m)  1, 5  m s =  10, 7 s 7,5x10− 4 m

derecha por un tubo cilíndrico como el que se muestra en la figura. La densidad de la

Ahora, según Bernouilli :

sustancia es de 105 utm/m3. Su velocidad en el extremo de entrada es v0 = 1,5 m/s,

y la

P0 + ρ g h0 + ½ ρ V02 = P1 + ρ g h1 + ½ ρ V12

presión allí es de P0 = 1,75 Kgf/cm2, y el radio de la sección es r0 = 20 cm. El extremo de salida está 4,5 m

abajo del extremo de

entrada y el radio de la sección allí, es r1 = 7,5 cm.

P1 = P0 + ρ g [h0 - h1] + ½ ρ [V02 - V12]

Encontrar la presión P1 en ese extremo.

Kf utm m + 105 3 9,8 2 4,5m + m2 m s 1 utm m2  + 105 3 (1,52 − 10,72 ) 2  2 m s  P1 = 1,75x10

4

PB = 16237,9

Kf Kf = 1,62 2 m2 cm

Note que si ponemos una válvula y cortamos el flujo de agua, P1 = 2,21 Kgf/m2 : sube !

268

5.- Un tanque cilíndrico de 1,80 m de diámetro

no

trata

de

conceptos

directamente

descansa sobre una plataforma de una torre a

considerado en la teoría aquí expuesta, contiene

6 m de altura, como se muestra en la figura.

otros elementos que son relevantes para los

Inicialmente, el tanque está lleno de agua,

alumnos.

hasta la profundidad h 0 = 3 m. Al soltar el tapón, se tiene una situación De un orificio que está al lado del tanque y en

regulada por la ec de Bernouilli; de tal manera

la parte baja del mismo, se quita un tapón que

que se puede calcular la velocidad con que sale

cierra el área del orificio, de 6 cm2.

inicialmente el agua por el orificio, como hemos

¿Con qué velocidad fluye inicialmente el agua

hecho hasta ahora :

del orificio?. ¿Cuánto

tiempo

necesita

el

tanque

para

P1 + ρ g h1 + ½ ρ V12 = P2 + ρ g h2 + ½ ρ V22,

vaciarse por completo?. Consideraremos

referencia

en

el

piso;

además tanto en 1 como en 2 la presión es la

P 1 v1

atmosférica, y V1 = 0,

dh h0

la

entre las áreas del tanque y del orificio permite despreciarlo

h

puesto que la relación

a

través

de

la

ecuación

de

continuidad.

P2 v2 2

(Note que:

H

π r1 A1 4239 , = 2 = A2 6cm

¡la velocidad en 2 será 4239 veces mayor que la velocidad en 1! ).

y=0

P3 v3

De lo anterior :

P0 + ρ g [H + H0] + ½ ρ [0]2 = P0 + ρ g H + ½ ρ V22

Solución: Este problema es muy importante, puesto que

de donde :

por una parte revisaremos numéricamente algunos conceptos y por otra parte, aún cuando

269

½ ρ V22 = ρ g [H + H0] - ρ g H

Hasta aquí, el problema es resuelto como ha predicho la teoría expuesta.

V22 = 2 g H0,

Sin embargo,

calcular el tiempo que demora el tanque en vaciarse requiere de consideraciones distintas,

tal como lo habíamos previsto según Torricelli.

puesto que la profundidad no será constante, como en los casos anteriores. Esto producirá

Es interesante esta expresión, puesto que la

que la velocidad con que baja el fluido en el

velocidad no depende de la densidad del

tanque, así como la velocidad con que sale el

líquido, tal como la caída de un objeto no

líquido por el orificio, no sean constantes en el

depende de su masa en ausencia de aire.

tiempo.

Por lo tanto :

Para resolver esto, consideraremos que la altura h del líquido disminuye en dh durante un

m m v2 = 2  9,8 2  (3m ) = 7,7 s  s 

intervalo de tiempo dt (ver figura). Entonces, la velocidad con que baja el fluido en el tanque V1, queda determinada por la expresión:

Luego, aplicando nuevamente Bernouilli para los puntos 2 y 3, podemos calcular la velocidad con

v1 = −

que llega el agua al suelo :

P2 + ρ g h2 + ½ ρ V22 = P3 + ρ g h3+ ½ ρ V32

dh dt

negativa puesto que h disminuye en el tiempo.

Adicionalmente, se tiene que

con P2 = P3 = P0 :

P0 + ρ g H + ½ ρ V22 = P0 + ρ g [0]+ ½ ρ V32

V1 A1 = V2 A2

como ya sabemos, expresión que es cierta para

de donde :

todo t, de donde : V32 =

V22 + 2 g H v1 = v2

V3 = √ 58.8 m2/s2 + 2 [9,8 m/s2][ 6 m]

A2 A1

V3 = 13,3 m/s

al igualar ambas expresiones, se tiene: 270

−

1   1 −2A1 h2 − h02    t=  2g  A2  

dh A = v2 2 dt A1

además, según torricelli como hemos visto :

cuando el tanque se vacíe, h = 0, por lo que :

v2 = 2gh

1

− 2A1 − h0 2    t= 2gA2

por lo que : −

dh A =  2gh  2 A dt  1

1 2 2πr1  −h0 2    t= 2gA2

que se puede expresar como : remplazando valores :

−

dh

A =  2g 2 dt   A1 h

t=

2( 3,14)( 0,9m)

2

1

( 3m) 2

m 2 2 9,8 2  ( 0, 0006m ) s  

integrando la expresión para el intervalo entre t = 0, donde la profundidad es h0 y el tiempo

t = 3 263,3 segundos

t = t, donde la profundidad es h, se tiene : Se recomienda revisar con especial cuidado la 1 − A −∫h 2dh =  2g  2 ∫ dt A1

lógica seguida en la solución de este problema.

integrando :

1  A  1 −2 h2 − h02  =  2g 2 t A1  

despejando t :

271

6.- Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro

Justo al ser soltado la cantidad de movimiento

se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua.

del líquido es cero, pero dt segundos más tarde,

El espacio encima del agua está ocupado con

habrá sido expulsado un elemento de líquido de

aire, comprimido a la presión de 2,026 X 105

masa dm, que tendrá una velocidad v2 en

2

N/m . De un orificio en el fondo se quita un

dirección hacia abajo.

tapón que cierra un área de 2,5 cm3 . Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a través de este orificio.

En consecuencia:

Encontrar la fuerza

vertical hacia arriba que experimenta el tanque

dp = v2 dm = v2 [ρ dv] = v2 ρ [A2 dy]

cuando se quita el tapón. dp = v2 ρ A2 [v2 dt] = v22 ρ A2 dt

P 1 v 1 A1

Esta cantidad de movimiento dirigida hacia arriba será la comunicada al tanque, la que debe ser igual al impulso de la fuerza que actúa sobre él, de modo que :

h P2 v 2

F dt = v22 ρ A2 dt

A2 de donde :

F = v22 ρ A2

Solución:

La velocidad de salida puede calcularse con la

Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al

ecuación de Bernouilli:

tercer principio de Newton, reacciona con una fuerza hacia arriba sobre el tanque de igual

P1 + ρ g h1 + ½ ρ v12 = P2 + ρ g h2 + ½ ρ v22

magnitud, pero de dirección opuesta a la fuerza con que es expulsado.

pero podemos suponer v1 = 0 por continuidad

Por otro lado, el segundo principio de Newton

h2 = 0, usándola como referencia :

y

establece que el impuso que recibe el fluido expulsado, debe ser equivalente al cambio en

de aquí :

su cantidad de movimiento.

272

2 v2 =

2 ( P1 − P2 ) ρ

+ 2gh1

por lo que :

2 (P1 − P2 )  + 2gh1  F = ρA2  ρ  

reemplazando :

2 (2, 026x106 − 1, 013x106 )  + 2( 980)( 30)  F = ( 1)( 2,5)  1  

F = 5 212 000 D = 52,12 Newton

Cuando

la

presión

P1

es

suficientemente

grande, este es básicamente el mecanismo de propulsión de un cohete

273...