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Física

Grau Enginyeria Industrial (Grup 4)

Problemas resueltos

Tema 5 DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

   5.1 Dadas las fuerzas A = (3,2,1), B = (0,−1,1) y C = (2,1, −1) cuyas lineas de acción pasan respectivamente por los puntos PA(0,0,2), PB(1,1,1) y PC(2,0,-1), determinar: a) Resultante y momento resultante respecto al punto O:(0,2,1) b) El ángulo que forman la resultante y el momento resultante en O. c) El momento del sistema respecto al eje que pasa por los puntos P:(1,0,1) y Q:(2,0,3) a) La resultante es la suma de las fuerzas

    R = A + B + C = (3, 2,1) + (0, −1,1) + (2,1, −1) = 5iˆ + 2 ˆj + kˆ Momento resultante respecto al punto O(0,2,1):

       M o = O PA ∧ A + OPB ∧ B + OPC ∧ C iˆ jˆ kˆ iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ  M o = 0 −2 1 + 1 −1 0 + 2 −2 −2 2 1 −1 0 −1 1 3 2 1  ˆ M o = (−4, 3, 6) + (−1, −1, −1) + (4, −2,6) = (− ˆi + 11k) b) El ángulo entre los vectores podemos encontrarlo a partir de su producto escalar:

    M o ·R = Mo R cosα (−1, 0,11)·(5, 2,1) = 1 + 121 25 + 4 + 1 cos α −5 + 0 + 11 = 122 30 cos α 6 cos α = = 0,1 → α = 84, 3º 3660 c) Para calcular el momento áxico respecto al eje que pasa por P y Q necesitamos en primer lugar calcular la expresión del eje:

uˆPQ

 1 P Q (1,0, 2) (1,0, 2) = =  = 5 1+ 4 PQ

Para poder determinar el momento áxico necesitamos conocer el momento en un punto del eje. Puesto que el punto O no pertenece al eje calcularemos el momento respecto al punto P o

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respecto al punto Q (el resultado es el mismo). Calcularemos el momento respecto a P utilizando la relación entre los momentos en dos puntos del espacio vista en teoría:

    M P = M o + PO ∧ R ˆi jˆ kˆ  M P = (−1, 0,11) + −1 2 0 = (−1, 0,11) + (2,1, −12) 5 2 1  M P = iˆ + jˆ − kˆ Momento áxico:

  1 ⎡ ⎤ 1 (1,0, 2) M uˆ PQ = (M P ·uˆ PQ )·uˆ PQ = ⎢ (1,1, −1)· (1,0, 2) ⎥ 5 ⎦ 5 ⎣  −1 ˆ 1 ˆ M uˆ PQ = (1 − 2)·(1,0, 2) = (i + 2 k) 5 5 (***) trabajo adicional propuesto: Calcula el momento respecto a Q y el momento áxico usando este valor del momento 5.2 Un disco homogéneo de 20 TM tiene un diámetro de 9 m. Despreciando el rozamiento, ¿qué velocidad angular le comunicará en 2 min un motor de 375 W actuando sobre su eje? Sabiendo la masa del disco m=20000kg y su diámetro D=9 m, podemos calcular su momento de inercia:

I=

1 1 mR2 = 20000·4, 5 2 = 202500Kgm 2 2 2

El teorema trabajo-energía aplicado al movimiento de rotación es:

Wtot = Ecf − Eci =

1 2 1 2 Iω f − I ωi 2 2

La potencia suministrada por el motor corresponde al trabajo realizado por unidad de tiempo, y por lo tanto, el trabajo total vale:

Wtot = P·t = 375·120 = 45000Julios Teniendo en cuenta que parte del reposo, la velocidad angular final del disco es:

ωf =

2Wtot = I

2·45000 = 0, 67rad / s 202500

5.3 Una anilla circular de radio 60 cm que cuelga de un clavo fijado en C, se gira hasta que el radio forma un ángulo de 30º con la horizontal. Se suelta desde esta posición. Determinar la aceleración angular de la anilla.

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La anilla colgada de un clavo en C, queda en equilibrio en el punto en que la línea de acción del peso (que pasa por el centro de la anilla) pasa por el punto C porque en este punto el momento resultante es cero y el peso queda compensado por la fuerza de reacción en C. Cuando separamos el anillo de esta posición, la línea de acción del peso ya no pasa por C y esta fuerza ejerce un momento que es el que hace girar la anilla. Puesto que la anilla gira respecto al eje perpendicular a C se cumplirá la ecuación fundamental de la dinámica de rotación:

M C = IC α El momento lo calcularemos a partir de la figura:

M C = Fd = mgR cos θ Para determinar el momento de inercia respecto al punto C utilizamos el Teorema de Steiner teniendo en cuenta que, para un anillo, el momento de inercia respecto a un eje perpendicular al plano del anillo que pasa por su centro de masas es ICM=mR

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I C = I cm + mD 2 = mR2 + mR2 = 2 mR2 Sustituyendo estos valores obtenemos la aceleración angular:

M C mgR cos θ g cosθ = = IC 2mR2 2R 9, 81cos 30 = 7, 07rad / s2 α= 2·0, 6

α=

5.4 Calcular el momento de inercia de un cilindro hueco de radio externo R, radio interno r, altura H y masa m, respecto a un eje paralelo a su altura que pase por el centro del cilindro. El momento de inercia de un cilindro hueco podemos calcularlo como la diferencia del momento de inercia de un cilindro macizo de radio R menos el momento de inercia de un cilindro de radio r Respecto al eje que pasa por su centro el momento de inercia vale:

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I cm =

1 1 M RR2 − M r r 2 2 2

donde MR y Mr son las masas de los cilindros de radio R y r respectivamente. Ahora tenemos que obtener una expresión en función de los datos conocidos que son R, r y la masa m del cilindro hueco. Si suponemos que el cilindro tiene una densidad ρ, podemos escribir las masas de la siguiente forma:

M R = ρVR = ρπ R 2 H M r = ρ Vr = ρπ r2 H

(

)

m = ρV = ρπ R 2 − r 2 H → ρπH =

m 2 R −r 2

donde V corresponde al volumen del cilindro hueco. Sustituimos las masas en la expresión del momento de inercia y obtenemos:

I cm =

1 1 1 1 R4 − r 4 2 2 2 2 4 4 ρπ R H R − ρπr H r = ρπ H R − r = m 2 2 2 2 2 R − r2

(

)

(

)

(

)

El numerador puede escribirse de otro modo teniendo en cuenta que es una diferencia de cuadrados: 2

2 2

( ) −(r ) = (R

R 4 − r 4 = R2

2

)(

+ r2 R 2 − r 2

)

De modo que la expresión para el momento de inercia puede expresasrse finalmente como:

I cm =

1 m(R2 + r2 ) 2

5.5 Una rueda de bicicleta tiene un piñón de diámetro 8 cm. Cuando la rueda está en el aire (sin contacto con el suelo), realizamos sobre la cadena una tracción constante de F=10 N y observamos que, partiendo del reposo, la primera vuelta la realiza en 4 s. Determinar: (a) La aceleración angular de la rueda. (b) El momento de inercia del conjunto rueda-piñón respecto al eje de rotación. (a) La fuerza F genera un momento sobre el eje de giro de la rueda que da lugar a la aceleración angular. Puesto que la fuerza es constante, la aceleración angular también lo será. El momento generada vale:

M = Fr = 10·0.04 = 0.4 Nm

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Podemos calcular la aceleración angular sabiendo que da una vuelta en 4 s. Puesto que es movimiento de rotación uniformemente acelerado se cumple:

1 1 π ϕ (t) = ϕ (0) + ω(0)t + α t 2 → 2 π = α16 → α = rad / s 2 4 2 2 b) El momento de inercia de la rueda lo obtenemos a partir de la ecuación fundamental de la dinámica de rotación

M = Iα→ I =

0.4 1.6 M = = = 0.51kgm 2 α π /4 π

5.6 Un volante de 1m de diámetro gira sobre un eje horizontal fijo sin rozamiento. Su 2

momento de inercia respecto a este eje es de 5 kg·m . Mantenemos una tensión constante de 20 N sobre una cuerda enrollada alrededor del volante, de manera que este se acelera. Si el volante estaba en reposo en t = 0, calcular: (a) aceleración angular (b) velocidad angular en t = 3 s. (c) energia cinética en t = 3 s. (d) La longitud de la cuerda desenrollada en los primeros 3 s. (a) Ecuación fundamental dinámica de rotación:

M = Iα→α =

M Fr 20·0.5 = = = 2rad / s 2 I I 5

b) Velocidad angular para un movimiento de rotación uniformemente acelerado:

ω (t) = ω (0) + α t = 2t → ω (3) = 6rad / s c) Energía cinética de rotación:

E cr =

1 2 1 I ω = 5·6 2 = 90Julios 2 2

d) Longitud de la cuerda desenrollada: Ángulo girado: ϕ (t) = ϕ (0) + Longitud de la cuerda: L

1 1 ω (0)t + α t 2 = 2·32 = 9rad 2 2

= Rϕ = 0.5·9 = 4.5m

7 Un cilindro macizo y homogéneo de r=0,2 m de radio y M=50 kg de masa puede girar sin rozamiento alrededor de un eje horizontal que coincide con su eje de revolución. Se

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enrolla una cuerda al cilindro, fijando uno de los extremos. Del otro extremo colgamos un cuerpo de masa m=50 g. (a) Calcular el momento de inercia del cilindro respecto de su eje. (b) Calcular la aceleración del cuerpo que desciende. (c) Determinar la tensión en la cuerda. (a) El momento de inercia del cilindro homogéneo respecto al eje que pasa por su centro de masas:

1 1 Mr 2 = 50·0.2 2 = 1 kgm 2 2 2

I=

b) A partir del diagrama de fuerzas del sistema podemos escribir el conjunto de ecuaciones que nos relacionan el movimiento de traslación de la masa que desciende con el movimiento de rotación del cilindro:

m → mg − T = ma cilindro → M = I α → Tr = Iα relación a − α → a = αr De estas ecuaciones podemos obtener la aceleración de la masa m:

T=

Iα Ia = 2 r r

Ia = ma r2 g 9.81 = 0.0196m / s 2 a= = I 1 1+ 1+ mr 2 0.05·0.2 2 mg − T = ma → mg −

c) Tensión en la cuerda:

T=

Ia 1·0.0196 = = 0.49N r2 0.2 2

8 En el dispositivo de la Figura 5 la masa m1=15 kg asciende bajo la acción de la masa m2 de 100 kg. La polea está formada por dos cilindros macizos unidos entre sí de radios R1=50 cm y R2=10 cm y de masas M1=40 kg y M2=20 kg respectivamente. Los objetos están conectados por cuerdas a las poleas tal y como se ve en la Figura. Calcular: a) Aceleración angular de la polea b) Aceleración lineal de las masas m1y m2 c) Tensiones en las dos cuerdas

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a) Las fuerzas que intervienen en el problema son los pesos y las tensiones en las cuerdas. La aceleración angular es única y cada masa tiene una aceleración lineal diferente puesto que se encuentran a distancias diferentes del eje de rotación. Las ecuaciones del movimiento para cada elemento pueden obtenerse directamente:

polea → M = Iα 1 ⎛1 ⎞ T2 R 2 − T1 R1 = ⎜ M 1 R12 + M 2R22 ⎟ α ⎝2 ⎠ 2 m1 → T1 − m1 g = m 1a1 m2 → m2 g − T2 = m2 a 2 relación a − α → a1 = α R1 ; a2 = α R2 A partir de estas relaciones obtenemos la aceleración angular:

T1 = m1a1 + m1g = m1α R1 + m1g T2 = m2 g − m2 a2 = m2 g − m2α R2 1 ⎛1 ⎞ T2 R2 − T1 R1 = ⎜ M 1 R12 + M 2 R22 ⎟ α ⎝2 ⎠ 2 1 ⎛1 ⎞ m2 gR2 − m2α R22 − m1gR1 − m1α R12 = ⎜ M 1 R12 + M 2 R22 ⎟ α ⎝2 ⎠ 2 g(m2 R2 − m1 R1 ) α= ⎞ 2 ⎛ M2 ⎞ 2 ⎛ M1 ⎜⎝ 2 + m1⎟⎠ R1 + ⎜⎝ 2 + m2 ⎟⎠ R2 Sustituyendo valores obtenemos:

α = 2.49rad / s 2 b) Aceleraciones lineales de las masas:

a1 = α R1 = 1.24m / s 2 a2 = α R2 = 0.25m / s 2 c) Tensiones de las cuerdas:

T1 = m1a1 + m1g = 165.75N T2 = m2 g − m2 a2 = 956N

9 Un avión de 5000 kg de masa vuela paralelamente a la superficie de la tierra a una altura de 8 km y con velocidad constante de 200 m/s respecto al suelo. Determinar: (a) El momento angular del avión para un observador terrestre situado bajo su vertical. (b) Cambia este valor a medida que el avión se desplaza a lo largo de una recta?

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Consideremos un sistema de coordenadas con origen en la posición del observador en la superfície de la Tierra. Si el avión se desplaza paralelamente a la superficie de la Tierra tendrá una altura constante, como indica la figura. La posición del avión en un instante cualquiera es r y su cantidad de movimiento, p=mv.

Podemos calcular el momento angular usando la definición:

    Lo = r ∧ p → Lo = rpsin α = dp = mvd Por lo tanto, el momento angular respecto a un punto O de un objeto que se desplaza con movimiento rectilíneo es igual a su cantidad de movimiento por la distancia de la recta de movimiento al punto O. 10 Una persona aguanta dos masas de 10 kg. Si estira los brazos horizontalmente, los pesos quedan a 1 m del eje de rotación, y gira a 3 rad/s. El momento de inercia de la 2

persona junto con la plataforma es de 8 Kg·m , y se supone constante. Si mueve los pesos horizontalmente hasta 0,3 m del eje de rotación, calcular: (a) La velocidad angular final del sistema. (b) El cambio en su energía mecánica. (a) En este problema el movimiento de giro de la persona con los pesos cambia cuando ésta mueve los brazos cambiando su distancia respecto al eje de rotación. Si suponemos que el sistema está rotando sin rozamiento, no hay momento externo aplicado al sistema y por lo tanto el momento angular total del sistema se debe conservar. El momento angular inicial es la suma del momento angular de la persona más el de los pesos que se encuentran inicialmente a una distancia de 1 m del eje de giro:

Lin = Linpersona + Linpesos = I pω in + mrin2 ωin = (I p + mrin2 )ω in Lin = (8 + 20·12 )·3 = 84Kgm 2 / s

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Al mover los pesos, cambiará el momento de inercia y para que el momento angular se conserve la velocidad angular debe cambiar. Puesto el enunciado dice que consideremos constante el momento de inercia de la persona, el momento angular final será: 2 2 )ω fin L f = I p ω fin + mrfin ω fin = (I p + mrfin

L f = (8 + 20·0.32 )ω fin = 9.8ω fin Aplicando el principio de conservación del momento angular:

Lin = L fin 84 = 9.8ω

fin

→ω fin = 8.57rad / s

(b) Para calcular la variación de energía mecánica, tenemos en cuenta que la persona mueve los brazos horizontalmente y por lo tanto no hay variación de energía potencial ene ste problema. Toda la variación de energía mecánica será debida al cambio de energía cinética de rotación:

ΔEmec = ΔU + ΔEc = Ecrfin − Ecrin = ΔEmec =

1 1 2 )ω 2fin − (I p + mrin2 )ω 2in (I p + mrfin 2 2

1 1 9.8·8.67 2 − 28·32 = 242.3Julios 2 2

11 Un disco sólido uniforme y un anillo también uniforme se colocan juntos en el punto más alto de un plano inclinado rugoso de altura h. Si los soltamos desde el reposo y ruedan sin deslizar: (a) Encontrar sus velocidades en el punto más bajo del plano. (b) ¿Cual de los dos llegará antes? (a) La condición de rodamiento sin deslizamiento nos permite, según lo visto en teoría, aplicar dos condiciones importantes al problema: (i) Podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. (ii) La relación entre la velocidad del centro de masas y la velocidad angular: vcm=R ω

Energía mecánica inicial:

Einmec = mgh

Energía mecánica en el punto más bajo de la trayectoria: fin rot E mec = E cm = c + Ec

1 2 1 mvcm + Icmω 2 2 2

Teniendo en cuenta la relación entre velocidades comentada anteriormente: fin Emec =

1⎛ I 1 2 1 v2 ⎞ 2 mvcm + I cm cm2 = ⎜ cm2 + m ⎟ vcm ⎠ R 2⎝R 2 2

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Aplicando el principio de conservación de la energía: fin E inmec = E mec

mgh =

m ⎛ I cm 2gh ⎞ 2 v → vcm = ⎜⎝ 2 + 1⎟ cm I ⎠ 2 mR 1 + cm2 mR

Teniendo en cuenta el valor de los momentos de inercia obtenemos:

2gh 2gh 4gh = = 3.61 h disco = 1 3 I cm 2 mR 1+ mR2 1+ 2 2 mR 2gh 2gh 2gh = = = 3.13 h anillo = 2 2 I cm mR 1+ 1+ mR2 mR2

disco = vcm

anillo vcm

(b) Llegará antes el disco porque se desplaza más rápido. 12 Una esfera hueca tiene por radios r = 5 cm y R = 7 cm y su masa es de m = 500 g. (a) Encontrar su momento de inercia respecto a un eje diametral. (b) La soltamos desde el punto más alto de un plano inclinado 30º y de longitud 4 m. El rozamiento es el suficiente para evitar que la bola deslice. ¿Cual será su energía cinética en el punto más bajo del plano?. (c) Encontrar la velocidad del c.m en dicho punto. (a) Podemos calcular el momento de inercia de la esfera hueca del mismo modo que en el problema 5.4

2 2 M R R2 − M r r 2 5 5 2 4 8 2 4 = ρ π R 3 R 2 − ρ π r 3r 2 = ρπ R 5 − r 5 5 3 15 5 3

I tot = I R − I r = I tot

(

)

la densidad de la esfera la obtenemos a partir de su masa y volumen:

ρ=

m m = 4 3 3 V π (R − r ) 3

Sustituyendo en la expresión del momento de inercia:

I tot =

8 3 2 R5 − r5 m 5 5 m ) = − r π (R 5 R3 − r3 15 4 π (R3 − r 3 )

I tot =

0.075 − 0.05 5 2 0.5 = 1.26·10 −3 kgm 2 5 0.07 3 − 0.05 3 10

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(b) Comobaja rodando sin deslizar, se conserva la energía mecánica del sistema y por lo tanto la energía cinética en el punto más bajo será igual a la energía potencial en el punto inicial. fin E inmec = E mec

mgL sin α = E cfin E cfin = 0.5·9.81·4·sin 30 = 9.81Julios c) La velocidad del cm en el punto más bajo viene dada por la expresión que hemos obtenido en el problema anterior:

vcm =

2gh = I cm 1+ mR2

2gL sin α = I cm 1+ mR2

2·9.81·4·sin 30 = 5.1m / s −3 1.26·10 1+ 0.5·0.072

13 Un embrague sencillo está formado por dos discos, de momentos de inercia IA y IB. Inicialmente el disco A gira con velocidad angular ω , y el B está en reposo. Si los ponemos en contacto: (a) ¿qué valor tendrá la velocidad angular del conjunto? (b) ¿Qué cantidad de energía se perderá? (c) Determina el momento de fricción que actúa sobre los discos, teniendo en cuenta que el sistema tarda un tiempo Δ t en alcanzar su velocidad de rotación final

(a) Cuando ponemos los dos discos en contacto el rozamiento entre ambos da lugar a un momento que hace girar el disco B. La velocidad del disco B aumentará y la del disco A disminuirá hasta que ambos queden girando a una velocidad común. Puesto que el cambio de velocidades es debido al momento de las fuerzas de rozamiento, que son fuerzas internas al sistema formado por los discos A y B, podemos aplicar el principio de conservación del momento angular:

    d Ltot → M ext = 0 → Ltot = cte M ext = dt

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Linicial = I Aω A + I Bω B = I A ω A L final = I A ω fin + I Bω fin = (I A + I B )ω fin Linicial = L final → ω fin =

I Aω A IA + IB

(b) Para calcular la cantidad de energía que se perderá tenemos en cuenta que los discos no cambian de altura al ponerse en contacto y, por lo tanto, su energía potencial no cambia.

ΔE = ΔU + ΔE c = Ecfin − Ecin =

1 1 IA + IB ) ω 2f − I Aω 2A ( 2 2

2

⎡ I ω ⎤ ⎡ I 2A ⎤ 1 1 1 ΔE = (I A + IB ) ⎢ A A ⎥ − IA ωA2 = ω 2A ⎢ − IA ⎥ 2 2 ⎣ I A + IB ⎦ 2 ⎣ IA + I B ⎦ ΔE = −

ω 2A I A IB 2 ( I A + IB )

c) Para calcular el momento debido a la fricción entre los discos tenemos que considerar una parte del sistema y no el sistema en conjunto porque si consideramos el sistema total el momento de fricción de A sobre B y el de B sobre A se cancelan para dar un mmento resultante cero. Consideremos el disco A: Inicialmente su momento angular vale:

LAin = I A ω A

Tras un tiempo Δt, el momento angular del disco A ha cambiado y vale:

LAfin = I A ω fin

Este cambio de momento angular se debe al momento de fricción que actúa sobre el disco y por lo tanto se cumplirá: A in

I Aω fin − I AωA dL A L − L = = = dt Δt Δt I I ω =− A B A Δt(I A + I B )
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