Producto de estadistica Final Medidas de Forma-Curtosis y Asimetría PDF

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Producto de estadistica Final Medidas de Forma-Curtosis y Asimetría...

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DEPARTAMENTO CIENCIAS DE LA VIDA CARRERA DE INGENIERÍA AGRONÓMICA

ASIGNATURA:

Estadística

NIVEL:

Tercero “B”

FECHA:

11/07/2018

GRUPO:

5

TEMA: Medidas de Forma-Curtosis y Asimetría Período Abril – Agosto 2018

I.

INTRODUCCIÒN

Las medidas de distribución permiten identificar y caracterizar la forma en que se separan o se aglomeran los valores de acuerdo a su representación gráfica. Estas medidas describen la manera de cómo los datos se tienen de agrupar en relación con la frecuencia que se halle dentro de la información. Su utilidad radica en la posibilidad de identificar las características de la distribución si la necesidad de generar un gráfico. Sus principales medidas son asimetría y curtosis. Asimetría es la medida que indica la simetría de la distribución de una variable respecto a la media aritmética, los coeficientes de asimetría indican si hay el mismo número de elementos a izquierda y derecha de la media; existen 3 tipos de curva según su asimetría: negativa, simétrica y positiva. Curtosis es una medida de forma, más precisamente de apuntamiento de las distribuciones determina la mayor o menor concentración de las frecuencias alrededor de la media en la zona central de la distribución. Las medidas de simetría y curtosis son aquellos números que indican la morfología de una distribución de datos, se puede decir de la simetría tiene la variable en estudio mediante un histograma, estas medidas se pueden calcular en escala de intervalo y de razón (Dr. Apaza, 2013).

II.

OBJETIVOS

II.1.

Objetivo General

Plantear problemas demostrativos de la distribución de datos mediante el empleo de la curtosis y los tipos de coeficientes asimétricos en base al proceso correspondiente para así comprender mejor su temática. II.2.

Objetivo Especifico



Resolver los problemas planteados como demostración de conocimientos respecto a la curtosis y asimetría de distribuciones.



Determinar los tipos de distribuciones de la curtosis empleados en los ejercicios demostrativos y las distintas distribuciones de los coeficientes asimétricos.

III.

MARCO TEÒRICO

3.1. Medidas de forma Las medidas de forma permiten comprobar si una distribución de frecuencia tiene características especiales como simetría, asimetría, nivel de concentración de datos y nivel de apuntamiento que la clasifiquen en un tipo particular de distribución[ CITATION Eum02 \l 3082 ]. Las medidas de forma son necesarias para determinar el comportamiento de los datos y así, poder adaptar herramientas para el análisis probabilístico. [ CITATION Eum02 \l 3082 ] Dos principales medidas de forma: 

Coeficiente de asimetría



Curtosis

3.2. Asimetría Es una medida de forma de una distribución que permite identificar y describir la manera como los datos tiende a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la distribución. Permite identificar las características de la distribución de datos sin necesidad de generar el gráfico[ CITATION Nav06 \l 3082 ]. 3.2.1. Tipos de asimetría La asimetría presenta las siguientes formas: 3.2.2. Asimetría Negativa o a la Izquierda.- Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte izquierda de la media. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la izquierda, es decir, la distribución de los datos tiene a la izquierda una cola más larga que a la derecha. También se dice que una distribución es simétrica a la izquierda o tiene sesgo negativo cuando el valor de la media aritmética es menor que la mediana y éste valor de la mediana a su vez es menor que la moda, en símbolos

[ CITATION Nav06 \l 3082 ].

Nota: Sesgo es el grado de asimetría de una distribución, es decir, cuánto se aparta de la simetría. 3.2.3. Simétrica.- Se da cuando en una distribución se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de los datos a ambos lados de la media aritmética. No tiene alargamiento o sesgo. Se representa por una curva normal en forma de campana llamada campana de Gauss (matemático Alemán 1777-1855) o también conocida como de Laplace (1749-1827).También se dice que una distribución es simétrica cuando su media aritmética, su mediana y su moda son iguales, en símbolos Md=Mo [ CITATION Nav06 \l 3082 ]. 3.2.4. Asimetría Positiva o a la Derecha.- Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte derecha de la media aritmética. Este tipo de distribución

presenta un alargamiento o sesgo hacia la derecha, es decir, la distribución de los datos tiene a la derecha una cola más larga que a la izquierda[ CITATION Nav06 \l 3082 ]. También se dice que una distribución es simétrica a la derecha o tiene sesgo positivo cuando el valor de la media aritmética es mayor que la mediana y éste a valor de la mediana a su vez es mayor que la moda, en símbolo

3.2.5. Medidas de asimetría formulas

3.2.6. Coeficiente de Karl Pearson

Dónde: = media aritmética. Md = Mediana. s = desviación típica o estándar. Nota: El Coeficiente de Pearson varía entre -3 y 3 Si As < 0 ? la distribución será asimétrica negativa. Si As = 0 ? la distribución será simétrica. Si As > 0 ? la distribución será asimétrica positiva. 3.2.7. Medida de Yule Bowley o Medida Cuartílica

Dónde: = Cuartil uno;

= Cuartil dos = Mediana;

= Cuartil tres.

Nota: La Medida de Bowley varía entre -1 y 1 Si As < 0 ? la distribución será asimétrica negativa. Si As = 0 ? la distribución será simétrica. Si As > 0 ? la distribución será asimétrica positiva. 3.2.8. Medida de Fisher Para datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula:

Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguiente fórmula:

Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:

Dónde: = cada uno de los valores; n = número de datos; = media aritmética; f = frecuencia absoluta

= cubo de la desviación estándar poblacional; xm = marca de clase Nota: Si As < 0 ?Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte izquierda de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica negativa Si As = 0 ? la distribución será simétrica Si As > 0 ? Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte derecha de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica positiva [ CITATION Nav06 \l 3082 ]

4.1.

CURTOSIS

La curtosis (o apuntamiento) es una medida de forma que mide cuán escarpada o achatada está una curva o distribución.[ CITATION Tor08 \l 3082 ] Este coeficiente indica la cantidad de datos que hay cercanos a la media, de manera que, a mayor grado de curtosis, más escarpada (o apuntada) será la forma de la curva. [ CITATION Tor08 \l 3082 ]

La curtosis se mide promediando la cuarta potencia de la diferencia entre cada elemento del conjunto y la media, dividido entre la desviación típica elevada también a la cuarta potencia. Sea el conjunto X =(x 1, x 2 , … , xN ), entonces el coeficiente de curtosis será: N

Curtosis=

4 ( x i− x´ ) ∑ i=1

Siendo ´x

Ns

4

−3

la media y s la desviación típica.

Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. [ CITATION Tor08 \l 3082 ] 4.2.

TIPOS DE CURTOSIS

Según [ CITATION Mar \l 2058 ], la curtosis determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Así puede ser: Leptocúrtica: Existe una gran concentración. Mesocúrtica: Existe una concentración normal. Platicúrtica: Existe una baja concentración.

4.3.

MEDIDAS DE CURTOSIS

4.3.1. MEDIDA DE FISHER Para datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula: α=

∑ (x i− x´ )4 nσ4

Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguiente fórmula: α=

∑ f ( xi − ´x)4 n σ4

Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula: α=

∑ f ( xm−x´ )4 n σ4

Dónde: x i=¿ cada uno de los valores; n=¿ número de datos; ´x =¿ aritmética; σ 4=¿ Cuádruplo de la desviación estándar poblacional; frecuencia absoluta; xm=¿ marca de clase

media f =¿

Nota: Si a ¿ 3

la distribución es platicútica

Si a=3

la distribución es normal o mesocúrtica

Si a>3

la distribución es leptocúrtica

IV.

RESULTADOS

Ejercicio: Con la siguiente información obtenida en la recolección de pesos en gramos de las semillas de cacao de aroma fino realizado en el producto integrador de estadística primer parcial, determine el Coeficiente de Asimetría. Se sabe: ´ =1,643 g . ; Md=1,641 g .; S=0,388. X

Histograma 25 21 20

17

16 15 10

7 5

5

3 1

0 1.064

1.370

1.676

1.983

2.289

2.595

2.901

Peso de granos de cacao de aroma fino Lim.

Lim.

Inferior

Superior

0,457

0,729

0,729 1,002

Frecuencia

Frec *

Frecuencia acumulada

Marca de clases

Marca

1

1

0,593

0,593

1,002

3

4

0,865

2,596

1,274

7

11

1,138

7,964

1,274

1,546

16

27

1,41

22,56

1,546

1,818

21

48

1,682

35,328

1,818

2,091

17

65

1,955

33,228

2,091

2,363

5

70

2,227

11,134

70

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA. Formula: Ca=

3(X´ −Md) S

1. Para calcular la asimetría, necesitamos la mediana, la media aritmética y la Desviación Estándar. 2. Una vez calculada la Desviación Estándar, procedemos a sustituir datos en la fórmula del Coeficiente de Asimetría. Ca=

3(1,643−1,641 ) =0,015 =0,02 0,388

Interpretación: Se contrasta el resultado con la tabla: Si Coeficiente de Asimetría es igual a: 0,01 a 0,10

Ligeramente Sesgada

Cero 0 0,11 a 0.30 0,31 a 1

Simétrica Moderadamente Sesgada Marcadamente Sesgada

Por lo tanto 0,02 es Ligeramente Sesgada hacia la derecha. El signo – o + indica si el sesgo es para la izquierda (-) o para la derecha (+). Ejercicio:

Con la siguiente información obtenida en la recolección de pesos en gramos de las semillas de cacao ramilla realizado en el producto integrador de estadística primer parcial, determine el Coeficiente de Asimetría. Peso de granos de cacao ramilla Se sabe: ´ =2,014 g .; Md =2,027 g . ; S=0,418. X

Histograma 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

18

18 16

7 5

5

1 1.064

1.370

1.676

1.983

2.289

2.595

2.901

Marca de

Frec *

Lim. Inferior

Lim. Superior

Frecuencia Frecuencia acumulada

clases

Marca

0,758

1,064

1

1

0,911

0,911

1,064

1,370

5

6

1,217

6,085

1,370

1,676

7

13

1,523

10,661

1,676

1,983

18

31

1,83

32,940

1,983

2,289

18

49

2,136

38,448

2,289

2,595

16

65

2,442

39,072

2,595

2,901

5

70

2,748

13,740

70

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA. Formula: Ca=

3(X´ −Md) S

Para calcular la asimetría, necesitamos la mediana, la media aritmética y la Desviación Estándar.

Ca=

3(2,014 −2,027 ) =−0,093 =−0,09 0,418

Interpretación: Se contrasta el resultado con la tabla: Si Coeficiente de Asimetría es igual a: 0,01 a 0,10

Ligeramente Sesgada

Cero 0 0,11 a 0.30 0,31 a 1

Simétrica Moderadamente Sesgada Marcadamente Sesgada

Asimetría negativa: La cola de la distribución se alarga para valores inferiores a la media. La curva es asimétricamente negativa por lo que los valores se tienden a reunir más en la parte derecha de la media.

Ejercicio: En una finca se midió el diámetro de una muestra de 20 tomates, donde se obtuvo la siguiente distribución. Li – Ls (cm) 5.0 - 6.0 6.0 - 7.0 7.0 - 8.0 8.0 - 9.0 9.0 - 10.0 10.0 - 11.0

Frecuencia 2 3 6 4 4 1

Ls (cm)

Xi

Fi

F.acu

Xi*Fi

5,0

6,0

5,5

2

2

11

6,0

7,0

6,5

3

5

19,5

7,0

8,0

7,5

6

11

45

8,0

9,0

8,5

4

15

34

9,0

10,0

9,5

4

19

38

10,0

11,0

10,5

1

20

20

x−x ¿ ¿

2

2

x−x ¿ ∗fi ¿

147,5

4 xi−x ¿ ∗fi ¿

165,8

331,6

24,983967

2301,1

6903,3

5355,1875

3061,1

18366,6

18984,375

3993,5

15974

20880,25

4915,4

19661,6

32580,25

6004,1

6004,1

12155,063

61237,1

77825,046

Clave: Xi= Marca de clase Fi= Frecuencia X= Media o promedio Calculo de la media X=

=

10,5

∑ xi fi N

147,5 20

= 7,38 Calculo de la mediana fi−1 = frecuencia acumulada anterior ai=¿ amplitud del intervalo la diferencia entre el Ls y Li

Me =

N −fi−1 2 ∗ai Li+ fi

Me =

7+

10−5 ∗1 6

Me = 7,83 Calculo de la moda fi−1 = Frecuencia anterior

fi+1 = Frecuencia posterior Mo = Li+

Mo = 7+

fi− fi−1 ∗ai ( fi− fi−1 )+(fi−fi+1)

6−3 ∗1 ( 6− 3 ) +(6−4)

Mo = 7,6 Calculo de la variancia y desviación estándar

v

2

=

v2 =

x−x ¿ ¿ ¿ ∑¿ ¿

2

61237,1 20

v 2 = 3061,8 Desviación estándar

√ 3061,8 S = 55,33 Calculo de la asimetría formula de Karl Pearson As

3 (x−Me) = S

As =

3 (7,38−7,83 ) = -0,024 Asimétrica negativa sesgada hacia la izquierda 55,33

Calculo de la curtosis

4

55,33 ¿ ¿ 20 ¿ 77825,046 Curtosis= ¿ Curtosis=

77825,046 −3 187444489.1

Curtosis=−2.99 Curtosis

< 0 Distribución platicurtica

Ejercicio: Coeficiente de Curtosis: Fórmula para datos agrupados:

1 ´ )4∗f (Mi− X n∑ g 2= (S)4 Dónde: n= número total de datos. Mi=marca de clase ´ = media (aritmética) X f= frecuencia S=desviación estándar Planteamiento del problema Tenemos nuestra tabla con los datos a analizar:

Figura 1: Tabla datos semilla cacao “Ramilla”

Figura 2: Tabla datos semilla cacao “Aroma Fino”

Empezamos a calcular lo requerido en nuestra fórmula para poder reemplazar los datos y obtener el valor de curtosis:

Figura 3: Operación entre marca de clase y media, conjuntamente con su desviación estándar elevada a su potencia, semillas cacao “Ramilla”

Figura 4: Operación entre marca de clase y media, conjuntamente con su desviación estándar elevada a su potencia, semillas cacao “Aroma fino” Obteniendo el cálculo indicado procedemos a reemplazar en nuestra fórmula para encontrar la curtosis de nuestras dos clases de semillas a analizar: Curtosis Semilla Ramilla: 1 (5,910) 70 CU = 0,031 CU=2,724

Nota: Si a ¿ 0 la distribución es platicútica Si a=0

la distribución es normal o mesocúrtica

Si a> 0 la distribución es leptocúrtic

Curtosis Semilla Aroma Fino:

1 (3,552) 70 CU 2= 0,023 CU=2,206 Si a ¿ 0

la distribución es platicútica

Si a=0

la distribución es normal o mesocúrtica

Si a> 0 la distribución es leptocúrtica Ejercicio: Las calificaciones en estadística del curso 3”B” del año 2018 son: 10, 07, 12, 05, 07, 10, 11, 02, 10, 10, 10, 07, 11, 11, 10, 10, 12, 07,10, 10, 05, 05, 05, 10, 10, 10, 07, 02, 02, 11. Se pide:

a) ¿Poseen simetría los datos? Xi

02 05 07 10 11 12

Fi

3 4 5 12 4 2

XiFi

6 20 35 120 44 24

(Xi− x´ )²

39.69 10.89 1.69 2.89 7.29 13.69

´ Fi( Xi− X

119.07 43.56 8.45 34.68 29.16 27.38

(Xi−X´ )4

1575.30 118.59 2.86 8.35 53.14 187.42

´X Xi−¿ ¿ Fi¿ 4725.90 474.36 14.30 100.20 212.56 374.84

Σ

30

249

76.14

262.30

1945.66

5902.16

Método de Karl Pearson As=

3(X´ −Med) 3(8,3−10) = =−1.72 S 2.96

Los datos son asimétricos negativos. ´ = ΣXiFi = 249 =8.3 puntos X n 30 Med=

30 =15 Mo=10 2

√

√

2 Xi− X´ ) 262.30 c s= ΣFi ( =2.96 = 30 n

b) Curtosis ´ ¿ Xi− X ¿ Σ¿ Curtosis=¿ 2

Los datos presentan ligeramente un apuntamiento, es decir, de manera sutil los datos son PLATICURTICOS. V.

CONCLUSIONES

Se planteó ejercicios sobre la distribución continua de curtosis respecto a un comportamiento normal. Se resolvió los ejercicios en base a los conocimientos respecto a curtosis y asimetría. Se determinó los diferentes tipos de distribuciones empleados en ejercicios demostrativos con distintas distribuciones asimétricas. VI.

RECOMENDACIONES

Se recomienda aplicar las formulas correspondientes para cada tipo de ejercicio, ya sea para determinar la simetría o la curtosis. En de suma importancia llevar a cabo un orden al realizar los ejercicios, de caso contrario se puede excluir un dato y la respuesta no sería la correcta.

Es necesario saber interpretar las respuesta para poder concluir adecuadamente. VII.

BIBLIOGRAFIA

Eumed.ne. (2 de mayo de 2002). http://www.eumed.net. Recuperado el 2018, de http://www.eumed.net/libros-gratis/2007a/239/7.htm Ibujes, M. O. (s.f.). Monografia.com. Obtenido de Medidas de Forma: Asimetría y Curtosis: http://www.monografias.com/trabajos87/medidas-forma-asimetriacurtosis/medidas-forma-asimetria-curtosis.shtml Navarro. (2 de Enero de 2006). http://navarrof.orgfree.com. Recuperado el 2018, ...