Practica 7 Ejemplos Medidas de dispersión y Medidas de forma de la curva Estadistica PDF

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MEDIDAS DE DISPERSION Son valores que tratan de medir el grado de concentración y acercamiento de un conjunto de datos con respecto a una de las medidas de tendencia central, que generalmente es la media aritmética. Las principales medidas de dispersión o variabilidad son: a) Rango o recorrido b) Varianza c) Desviación estándar o desviación típica d) Coeficiente de variación MEDIDAS DE DISPERSION (Para datos no agrupados) RANGO El rango de variación o recorrido, “R”, de un conjunto de datos, es la diferencia entre el valor mayor y menor. Esto es:

R= X máx− X mín El uso del rango es muy limitado, porque depende únicamente de los valores extremos, lo que hace que sea una medida pobre de dispersión. Su ventaja principal es su simplicidad del cálculo. Ejemplo: Dado un conjunto de datos: 4, 7, 9, 2, 14, 13, 8, 16, 9, 11 Hallar el rango. Solución: R  X máx  X mín ....  .... .... Interpretación: El rango o recorrido de variación de los datos es …… . VARIANZA Es una medida que cuantifica el grado de dispersión o de variación de los valores de una variable cuantitativa con respecto a su media aritmética. Cuando el resultado de la varianza es un valor grande, se dice que los datos se encuentran bastante dispersos o alejados de la media aritmética; si el resultado es bastante pequeño los datos estarán bastante cercanos o concentrados alrededor de la media aritmética. Se denota: N

∑ ( X i−μ )2 - σ

2

: Varianza para una POBLACION.

σ 2=

i=1

N n

∑ ( X i −X )2 - S

2

: Varianza para una MUESTRA.

S 2 = i=1

n−1

La varianza se define como la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los datos con respecto a su media aritmética. La varianza se mide en unidades cuadradas, por ejemplo,

m2 , Km2 , Kg2 , etc. 1

Varianza ( S

2

) para una MUESTRA

La varianza de n valores, es X , es el número:

X 1 , X 2 ,. .. , X n de una variable cuantitativa X

cuya media aritmética

Fórmula abreviada n

n

∑ X 2i −n X 2

∑ ( X i −X )2 S 2 = i=1

n−1

ó

S 2 = i=1

n−1

Ejemplo: Los datos siguientes se refieren a las ventas (en miles de soles), de 10 vendedores de una Cía. de computadores. Calcular la varianza para los datos. 13, 6, 9, 2, 12, 4, 8, 16, 9, 11 Solución: n

∑ Xi

Hallando en primer lugar la media:

X = i =1 n

=

13 +6+. . .+ 11 = 10

....  .... ....

Reemplazando en la fórmula de la varianza para una muestra: n

∑ ( X i −X )2 S 2 = i=1

=

n−1

( −9 )2 +( −9 )2 +. ..+( −9 )2 = 10−1

Luego, la varianza es igual a ……..

Usando la fórmula abreviada para la varianza de una muestra: n

X

i

S 2  i 1

2

 nX

n 1

2



......  ......  ....

n

donde

∑ X i2=132 +62 +.. .+112 = i =1

2

DESVIACION ESTANDAR La desviación estándar de los datos, es la raíz cuadrada de la varianza. Se denota: σ

S

: Para una Población

: Para una Muestra

S=

√

n

∑ X2i −n X 2 i=1

n−1

(Desviación estándar)

La desviación estándar es uno de los estadísticos de mayor uso en el cual las unidades de la variable ya no están elevadas al cuadrado sino están en unidades originales, el cual representa una medida adecuada de dispersión. La desviación estándar representa el alejamiento promedio que tienen los datos con respecto a la media aritmética. Ejemplo: Del ejemplo anterior, de las ventas (en miles de soles), de 10 vendedores de una Cía. de computadores. 13, 6, 9, 2, 12, 4, 8, 16, 9, 11 Hallar la desviación estándar de los datos. Solución:

Utilizamos la fórmula de la desviación estándar:

S=

√

n

∑ X2i −n X 2 i=1

n−1

empleamos los resultados del ejemplo anterior y reemplazamos: n

X

i

S

2

 nX

i 1

n 1

2



....  .... ..... ....

Luego, la desviación estándar es igual a …….. . Interpretación: Las ventas en promedio se desvían (alejan) en … soles con respecto a la media aritmética.

3

COEFICIENTE DE VARIACION Es una medida de dispersión relativa (libre de unidades de medida), que se define como la desviación estándar dividido por la media aritmética. Esto es,

C . V .=

S X

Aplicaciones del Coeficiente de Variación 1) El coeficiente de variación se usa para saber si un conjunto de datos es homogéneo o heterogéneo, es decir, si los datos están concentrados o dispersos. Para esto, se utiliza el siguiente criterio:

C . V . 50 > 60 > 70 > 80 > 90 >

Total Solución: a) Hallando la varianza m

∑ xi f i X=

obteniendo primeramente la mediar,

i =1

n

=

50

=

Reemplazando en la fórmula para hallar la varianza de una muestra: m

∑ X i2 f i−n X 2

S 2 = i=1

n−1

=

Luego, la varianza es igual a ……… b) Hallando la desviación estándar m

S

X

2 i

f i  nX

2

i 1

n 1

utilizando la fórmula,

=…….

Interpretación: ……………….. c) Hallando el coeficiente de variación

C . V .= Se utiliza la fórmula,

S X

6

X =…...

obteniendo

C . V .= luego,

S = X

y

S =……

= ……

Interpretación: ……………………………….

MEDIDAS DE FORMA Son aquellas que permiten identificar la forma de la distribución del conjunto de datos, permitiendo identificar la forma en que se separan o agrupan los valores de acuerdo a su representación gráfica. Se presentan 2 fenómenos, conocidos como: - Asimetría - Curtosis ASIMETRIA Es el grado de inclinación que adopta la curva estadística respecto al centro de los datos. Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central (Media aritmética). La asimetría presenta tres estados diferentes. Asimetría negativa

Simetría

Asimetría positiva

Si la distribución es simétrica, entonces la media, la mediana y la moda coinciden. En contraposición, si éstos 3 promedios no coinciden la distribución tiene que ser asimétrica. Existen varias medidas de asimetría, una de ellas es el coeficiente de asimetría de Pearson.

As= El coeficiente de Asimetría de Pearson está dado por:

3( X −Me ) S

Clases de Asimetría 1) Si

2) Si

3) Si

As >0 : La distribución es Asimétrica negativa. Cuando la mayoría de los datos se encuentran por encima del valor de la media aritmética, indica que hay un predominio de valores mayores. As=0 : La distribución es Simétrica. Los datos se distribuyen aproximadamente en la misma cantidad de valores en ambos lados de la media. As 0 . 263 k =0 .263 k , 40 > , 50 > , 60 > , 70 > , 80 > , 90 > Total

Solución: a) Hallando el coeficiente de asimetría

As= utilizando la fórmula,

3( X −Me) S

obteniendo los valores de, X 

Me 

,

,

S

,

P90 ….

,

3( X  Me) 3(....  ....) As    ..... S …. reemplazando, Interpretación:………………….

b) Hallando el coeficiente de curtosis

k= utilizando la fórmula:

Q 3 −Q1 2( P90 −P 10 )

obteniendo, Q1 …. ,

Q3 ….

,

P10 ….

,

9

k

reemplazando,

Q3  Q1 .... ....  2( P90  P10 ) 2(....  ....) =….

Interpretación:………………….

10...