Practica 6 Ejemplos Clase Medidas de tendencia central datos agrupados y Medidas d eposicion Estadistica Clase PDF

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (Datos agrupados) Media aritmética o promedio para Datos agrupados Si

n

valores de alguna variable están tabulados en una distribución de frecuencias de

intervalos, donde x 1 , x 2 , . .. , x m son las marcas de clase y frecuencias absolutas simples, entonces la media aritmética es:

m

f 1 , f 2 , .. . , f m son las

m

∑ xi f i X=

i =1

n

Esta fórmula se desarrolla utilizando la tabla de distribución de frecuencias. [ Linf

,

[ [

, , . . . ,

[

Lsup 

xi

fi

xi f i

 

x1 x2

f1 f2

x1 f 1 x2 f 2

. . .

. . .

. . .

xm

fm

xm f m



m

n=∑ f i

Total

i=1

m

∑ xi f i i=1

Ejemplo: Se tiene la siguiente información de las edades de 50 visitantes, en una distribución de frecuencias. Hallar la media aritmética. [ L inf , L sup 

xi

fi

xi f i

[ 20 [ 30 [ 40 [ 50 [ 60 [ 70 [ 80

25 35 45 55 65 75 85

1 2 5 15 19 6 2

25 70 225 825 1235 450 170

---

50

3000

, 30 > , 40 > , 50 > , 60 > , 70 > , 80 > , 90 > Total

Solución: m

X

x j1

n

j

fj 

3000 60 50 1

Interpretación: La edad promedio de los visitantes es de 60 años.

Mediana Mediana para Datos agrupados Cuando los datos se encuentran agrupados en una tabla de distribución de frecuencias la mediana se encuentra utilizando la siguiente fórmula:

Me =Linf

n −F ) ( 2 +c i−1

fi

Donde

Linf c n

: Limite inferior del intervalo que contiene a la mediana : Amplitud del intervalo : Número total de datos

Fi  1

: Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana

fi

: Frecuencia absoluta simple de la clase mediana.

Lugar de la Mediana, Me :

n 2

. Fi-1 Linf

fi

n 2

Me fi

Lsup

c

n  Fi  1 2

Me  Linf

n −F ) ( 2 +c i−1

Me=Linf

fi

Ejemplo: Del ejemplo anterior de las edades de 50 visitantes. Hallar la mediana. [ L inf , L sup 

[ 20 [ 30 [ 40 [ 50 [ 60 [ 70 [ 80

, 30 > , 40 > , 50 > , 60 > , 70 > , 80 > , 90 > Total

xi

fi

Fi

1 2 5 15 19 6 2

1 3 8 Fi-1=23 Fi=42 48 50

50

Solución: 2

i) Ubicamos la clase mediana (intervalo que contiene a la mediana)

n

50 =25

=2 Lugar de Me: ( 25 avo. Lugar ) 2 Analizando, la Mediana está en la 5ta. Clase . ii) Utilizando la fórmula:

n −F ) ( 2 +c i−1

Me =Linf

fi

 50   23   20  2  Me  60  10  60   60  1.05  61.05 19 19

50%

Me=61.05

Interpretación: El 50% de los visitantes son menores o iguales a 61.05 años.

3

Moda Moda para Datos agrupados La moda para datos agrupados se encuentra utilizando la siguiente fórmula:

Mo =Linf + c

(

Δ1 Δ1 + Δ2

)

Donde

Linf c

: Limite inferior del intervalo que contiene a la moda : Amplitud del intervalo

con

Δ 1=f i −f i−1

Δ 2=f i −f i+1

;

Ejemplo: Del ejemplo anterior de las edades de 50 visitantes. Hallar la moda. [ L inf , L sup 

Mo

[ 20 [ 30 [ 40 [ 50 [ 60 [ 70 [ 80

xi

fi 1 2 5 15 19 6 2

, 30 > , 40 > , 50 > , 60 > , 70 > , 80 > , 90 > Total

Solución: i) Ubicamos la clase modal ( intervalo que contiene a la moda ), que estará en la fila donde se encuentra la mayor frecuencia absoluta simple. Analizando, la Moda está en la 5ta. Clase. ( ii) Utilizando la fórmula:

Mo =Linf + c

f 5 =19 ).

(

Δ1 Δ1 + Δ2

)

hallando

Δ 1=f i −f i−1 = 19-15=4 Δ 2=f i −f i+1 = 19-6=13 40  4  Mo 60 10  60  2.35 62.35  60  17  4 13 

Interpretación: La edad más frecuente es de aproximadamente 62 años.

4

MEDIDAS DE POSICION (Datos agrupados) Las medidas de posición son valores que dividen a la serie de datos ordenados en un cierto número de partes iguales. Los más usuales son: Las medidas o valores que dividen a una serie de datos ordenados en 4, 10, ó 100 partes iguales. Estas medidas son: 1) Los Cuartiles (

Q1 ,Q2 , Q3

)

2) Los Deciles ( D1 , D2 ,.. . , D9 ) P , P ,...,P99 ) 3) Los Percentiles ( 1 2

25% 25% 25%

25%

1 Q1 Q2 Q3

Los Cuartiles Son valores que dividen a la serie de datos ordenados en 4 partes iguales. Dividen la distribución en cuatro partes iguales (tres divisiones): Q 1, Q2, Q3, . Por ejemplo, el 1º cuartil tiene un 25% de los datos menores o iguales a él, el segundo cuartil es la mediana, etc.

Aplicaciones: Los Cuartiles se usan con frecuencia en los datos de ventas y encuestas para dividir las poblaciones en grupos. Por ejemplo, si se tiene datos de los ingresos de personas, el Cuartil tres, Q 3 , indica que a partir de este valor, se encuentra el 25 por ciento de ingresos más altos de las personas. Cuartiles para Datos agrupados Son valores que dividen a la serie de datos ordenados en 4 partes iguales.

j(n) −F ) ( 4 +c i−1

Q j =Linf Fórmula para hallar los cuartiles:

Lugar de los cuartiles,

Qj :

( j )n 4

,

fi

;

j=1,2,3.

j=1,2,3.

OTRA FORMA

5

 j( n) / n  F / n    i 1 4  Qj  Linf  c  fi / n

 j H   i 1  4  Q j  Linf  c  hi

Ejemplo: De la información de las edades de 50 visitantes. Hallar el primer cuartil, Edades [ 20 [ 30 [ 40 [ 50 [ 60 [ 70 [ 80

Q1

, 30 > , 40 > , 50 > , 60 > , 70 > , 80 > , 90 > Total

xi

fi

Fi

1 2 5 fi=15 19 6 2

1 3 Fi-1=8 Fi=23 42 48 50

Q1 .

50

Solución: i) Ubicamos el intervalo que contiene al primer cuartil Lugar de Q1 :

( j )n (1 )50 = =12 .5 4 4

Q1

( 12.5 avo. Lugar )

Analizando, el primer cuartil está en el 4to. intevalo .

ii) Utilizando la fórmula:  j( n)   Fi 1   4  50  10 (12.5  8) 50  45 53 Q1 L inf  c  fi 15 15

25%

Q1=53 Interpretación: El 25% de los visitantes tienen edades menores o iguales a 53 años.

6

Los Deciles Son valores que dividen a la serie de datos ordenados en 10 partes iguales. Dividen la distribución en 10 partes iguales (9 divisiones). D1, D2, ... , D9, .

Deciles para Datos agrupados Son valores que dividen a la serie de datos ordenados en 10 partes iguales.

D j=Linf

j(n) −F ) ( 10 +c i−1

fi

Fórmula para hallar los deciles:

;

j=1,2,...,9 .

( j )n

D j : 10 Lugar de los Deciles

,

j=1,2,...,9.

Ejemplo: Del ejemplo anterior de las edades de 50 visitantes. Hallar el octavo decil Edades

D8

[ 20 [ 30 [ 40 [ 50 [ 60 [ 70 [ 80

, 30 > , 40 > , 50 > , 60 > , 70 > , 80 > , 90 > Total

xi

fi

Fi

1 2 5 15 19 6 2

1 3 8 23 42 48 50

50

-----

D8 .

Solución:

D

8 i) Ubicamos el intervalo que contiene al octavo decil ( j )n (8 )50 =40 = D 10 Lugar de 8 : 10 ( 40 avo. lugar ) Analizando, el octavo decil está en el 5to. intervalo .

ii) Utilizando la fórmula: 7

 j (n)  F   i 1  10  60  10 (40  23)  60  170 60  8.95 68.95 D8  Linf  c  fi 19 19

80%

D8=69

Interpretación: El 80% de los visitantes tienen edades menores o iguales a aprox. 69 años.

8

Los Percentiles Son valores que dividen a la serie de datos ordenados en 100 partes iguales. Dividen a la distribución en 100 partes (99 divisiones). P 1, P2, ... , P99 . Por ejemplo, el valor correspondiente al percentil 65, tiene un 65% de los datos menores o iguales a él.

Aplicaciones: El percentil permite establecer un umbral de aceptación. Por ejemplo, podrá examinar a los candidatos cuya calificación sea superior al percentil noventa, es, el altas.

P90 . Esto

P90 indica que a partir de este valor se encuentra el 10% de las calificaciones más

Percentiles para Datos Agrupados Son valores que dividen a la serie de datos ordenados en 100 partes iguales.

j ( n) −F ) ( 100 +c i−1

P j =Linf Fórmula para hallar los percentiles: ( j )n P 100 Lugar de los Percentiles, j :

,

fi

;

j=1,2,...,99.

j=1,2,...,99.

Ejemplo: Del ejemplo anterior de las edades de 50 visitantes. Hallar el percentil 92, . Edades

P92

[ 20 [ 30 [ 40 [ 50 [ 60 [ 70 [ 80

, , , , , , , Total

30 > 40 > 50 > 60 > 70 > 80 > 90 >

xi

fi

Fi

1 2 5 15 19 6 2

1 3 8 23 42 48 50

P92

50

Solución: 9

i) Ubicamos el intervalo que contiene al percentil 92 , P92 ( j )n ( 92 ) 50 =46 P = 100 Lugar de 92 : ( 46 avo. lugar ) 100 Analizando, el percentil 92 está en el 6to. intervalo. ii) Utilizando la fórmula:  j( n)   Fi 1   (46  42) 40  100  Pj  Linf  c  70  10 70  70  6.67  76.67 6 6 fi Interpretación: El 92% de los visitantes tienen edades menores o iguales a aprox. 77 años.

10...