Medidas DE Tendencia Central Y Dispersión PDF

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QUÍMICA ANALÍTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN Alumno: Cecile Mariel González Vences Matricula:2080342 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central nos ayudan a organizar los datos estadísticos que se presentan en las diferentes áreas de aplicación de la probabilidad y estadística. Existen diversos tipos de medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una colección de datos. Con estas medidas se busca encontrar un valor que de cierta manera este en el centro de los datos, esa cierta manera es el sentido que determina cada medida. Media aritmética o promedio: se puede definir como la suma de todos los valores divida entre el numero de valores. Usando por así decir l siguiente expresión. x 2+… +¿ x n 1 x 1+ ´x = ∑ x i que prácticamente es igual a n n i=1 ´x =¿ n

Ejemplo 1. Pon la fábrica de productos eléctricos probó 20 focos de 75 Watts hasta que se fundieron todos. La siguiente tabla muestra el número de horas que funcionó de cada foco: 689 790 723 847 952 805 619 808 558 780 723 803 568 679 835 637 764 734 937 632 Solución. Podemos calcular el número promedio de horas que los focos duraron encendidos, sumando las horas que funcionó cada uno y dividiendo el total resultante entre los números de focos ´x =

689+ 790 + 723 + …+734 + 937 + 632 20

´x =

14 883 20

´x =744.15

Por lo que, ahora sabemos que el promedio de horas que funcionaron los focos es de 744.15 horas. Ejemplo 2. Encuentra la media aritmética de los siguientes datos 43, 25, 67, 83, 12, 67, 49.

Solución. Debemos sumar todos los datos y dividido el resultado entre el número 43+ 25 + 67 + 83 + 12 + 67+49 ) de datos, es decir, entre siete. ( ´x = 7 ´x =49.429 Ejemplo 3. Encontrar la media aritmética partir de la siguiente tabla de frecuencias. Solución. Un error común es pensar que solo son Valor Frecuencia cuatro datos, cuando en realidad el número 12 se repite 12 5 5 veces, el 35 se repite 13 veces, etcétera. 35 13 56 4 Para encontrar la media aritmética conviene 80 2 complementarla tabla añadiendo una columna con los productos Valor x Frecuencia y un renglón que con la sumatoria de la frecuencia sí la suma de la última columna: Valor 12 35 56 80 Suma: Tenemos de esta manera 899 ´x =

Frecuencia 5 13 4 2 24 que la cantidad de datos

Valor x Frecuencia 60 455 224 160 899 son 24 y cuya sumatoria es

899 =37.458 24

Mediana: Dada una colección de datos ordenados de menor a mayor consideremos el número que está en el centro de estos, en caso de que el número de datos sea impar o qué el promedio de los 2 datos centrales si es impar este número se denomina mediana de los datos y tiene como particularidad de qué hay tantos números a la izquierda con la derecha de él Ejemplo 1. Encuentra la mediana de 4,6, 2,10, 2,7, 3. Solución. Ordenamos los números: 2,2,3,4,6,7,10. Tomamos el valor de en medio que es el 4, por lo que se expresa que el 4 es la mediana. Ejemplo 2. Encuentra la mediana De 6,4, 7,8, 2,3, 3, 1. Solución. Ordenamos los números 1,2,3,3,4,6,7,8. Cómo el número de elementos es par, tomamos en promedio de los 2 números de en medio.

m=

3+4 =3.5 2

Por lo tanto, la mediana es 3.5.

Ejemplo 3. Calcular la mediana Correspondiente al siguiente conjunto de datos. La tabla muestra el sueldo de 42 personas. 36 231 240 246 246 309 321 348 402 435 534 534 579 582 588 636 696 774 780 804 870 879 1080 1116 1131 2241 2769 3006 3756 4503 (los datos ya están ordenados de menor a mayor)

264 486 603 804 1182 4536

303 510 618 843 1428 4722

Podemos ver qué hay 20 de datos menores que 618y 20 datos mayores que 636 por este motivo consideramos que 618 y 636 son los datos centrales como el número de datos es par consideremos que el promedio de ambos datos como la mediana. m=

618+636 = 627 2

Este número es particularmente el numero que esta a la mitad de lo numero menores y los numero mayores. Moda: es aquel o aquellos datos que más se repiten del conjunto de datos. Ejemplo 1. ¿Cuál es la moda de la siguiente colección de datos? 3,5, 2,6, 7,5, 5,3, 4,8, 7,6,6,2,3. Los números que mas se repitieron son 3,5 y 6, tres veces cada uno, por que la moda son los tres valores, 3,5 y 6.

Ejemplo 2. ¿Cuál es la moda de los siguientes nombres? Ana, Carlos, Roberto, Carlos, Pedro, Cristina, Carlos, Ana, Jorge, Carlos. El nombre que más se repite Es Carlos. Por lo tanto, Carlos Es la moda en esa colección de datos

Ejemplo 3. La Organización Mundial de la Salud reporta los 10 valores más altos de Esperanza de vida de varios países. Los datos se muestran en la siguiente tabla.

79.7

80

80

80.2

80.2

80.2

80.2

80.5

80.7

81.29

Vemos que 80.2 se repite 4 veces por lo que es la moda. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Cómo vimos anteriormente Las medidas de tendencia central no sirve para analizar los datos asociados a un fenómeno estadístico, pero no son suficientes pues también se necesita saber cuánta variación presentan dichos datos. Es ahí qué se presentan Las medidas de dispersión. Las medidas de dispersión son aquellas que nos ayudan a la cuantificación de las variaciones que presentan los datos asociados a un fenómeno estadístico. En otras palabras, nos indican que tanto varían los datos con respecto a su valor medio. Rango: Qué es la diferencia entre los datos máximo y mínimo dentro, de un grupo de datos Ejemplo 1. Encontrar el rango de los siguientes valores 57 -59 45 -8 -93 92 43 -62 77 66 Solución. El número mínimo es 93 y el máximo es 92 así que el rango es el intervalo entre esos dos valores, cuya extensión se mide: r=92−(−93 )=185 Ejemplo 2. Encontrar el rango de los siguientes valores. 54 5 99 61 50 12 1895 31 26 62 Solución. En este caso observamos que el rango es muy grande debido a un solo dato todos los números son menores a 100 excepto el 1895. r=1895−5=1890

Varianza: La varianza de un conjunto de datos es el promedio de los cuadrados de sus desviaciones respecto a la media la media, esto es: v=

(x 1− x´ ) +…+(x n− x´ ) n

Desviación Estándar: La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza de estos

Ejemplo 1. La Organización Mundial de la Salud reporta los 10 valores más altos de Esperanza de vida de varios países. Los datos se muestran en la siguiente tabla. 79.7

80

80

80.2

80.2

80.2

80.2

80.5

80.7

81.29

Solución. Primero calculamos la media aritmética ´x =

80.5+ 80.2 + 81.2 + 80.2 + 80 + 79.7+80.2+ 80.2 + 80 + 80.7 10

´x =80.29

Ahora calculamos la varianza v=

1 [ ( 80.5− 80.29 )2+ ( 80.2 −80.29 ) 2 +( 8 1. 2−80.29 )2+ ( 80.2 −80.29 )2 +( 80− 80.29 ) 2+ ( 71.9−80.29)2 +( 80. 10

v=

1.589 10

v =.1589

La desviación estándar es: s=√ 0.1589 s=0.3986

Referencia  



de Oteyza, E., Lam, E., Hernández, C. y Carrillo, A. (2015). Probabilidad y estadística (Primera Edicion ed.). Pearson. Calcular la media (artículo) . (Dakota del Norte). Academia Khan. Obtenido el 19 de octubre de 2020 de https://es.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc6th-data-statistics/mean-and-median/a/calculating-the-mean M. (2019, 20 de septiembre). Ejercicios y problemas de la varianza | Superprof . Material Didáctico - Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejer cicios-y-problemas-de-la-varianza.html...