Projeto de Extensão de Escoamento PDF

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Projeto de extensão tratando sobre escoamento em caixas d'água e barragens...

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UNIVERSIDADE DE SANTO AMARO

PROJEEDO – PROJETO DE EXTENSÃO DAS APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS NA ENGENHARIA CIVIL

Teresina – PI 2018

USO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS EM EDIFICAÇÕES E CAIXA D’ÁGUA Pré-projeto de extensão de aplicação de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) na engenharia civil.

Teresina – PI 2018

I - INTRODUÇÃO O cálculo, além das utilidades conhecidas como ferramenta necessária a todas as atividades de engenharia, serve para disciplinar nossas mentes a desenvolver um raciocínio lógico acentuando sua capacidade para rápida resolução de problemas cotidianos de forma organizada. O Cálculo e a Equação Diferencial Ordinária é uma cadeira obrigatória em quase todos os cursos de engenharia hoje, durante esta estudamos diversos métodos de integração, derivação ou resolução de EDO’s, desenvolvendo habilidades que são essenciais para um bom engenheiro. As Equações Diferenciais Ordinárias possuem um amplo leque de aplicações dentro da engenharia civil e as demais áreas da tecnologia. Elas estão relacionadas com diversos fenômenos físicos, tais como: mecânica dos fluidos, fluxo de calor, vibrações, circuitos elétricos, reações químicas, dentre vários outros. Na engenharia civil, as Equações Diferenciais Ordinárias possuem diversas aplicações que são utilizadas no dia-a-dia, como o cálculo de deflexão de uma viga, os efeitos da temperatura em uma estrutura, os cabos que suspendem uma ponte, o fluxo da água em uma área, o escoamento de um fluido em um reservatório dentre outras, são inúmeras as possíveis aplicações dentro da área. O foco desde projeto será o escoamento da água em um reservatório para edificações, no desenvolvimento deste será usado métodos e conceitos aprendidos previamente em sala de aula, como a definição de EDO de primeira ordem, e o método de separação de variáveis, que consiste em separar as variáveis do mesmo tipo no mesmo membro da equação, colocando o x junto ao dx e o y junto ao dy, que pode ser resolvida integrando os dois membros da equação.

II - DESENVOLVIMENTO O presente trabalho visa demonstrar, através de equações diferenciais ordinárias, o tempo para escoamento de água até certo nível, para tal, partiremos do Teorema de Torricelli, este que é uma aplicação do princípio de Bernoulli, que se refere ao fluxo de líquido em um recipiente que escoa através de um pequeno orifício sob a ação da gravidade, calcularemos então a velocidade com que o líquido escoa. Partindo da equação de Torricelli, analisaremos a seguinte situação problema: Supondo que haja um recipiente contendo um líquido, abre-se a torneira que há na base do recipiente, com que velocidade o líquido sai?

A equação de Torricelli nos diz que: 2

2

V =V o +2 gh

Substituindo os dados, teremos:

√

V = 2 ∙ g ∙(h+

V o2 ) 2∙g

Onde: V , é a velocidade teórica do líquido à saída do orifício;

V o , é a velocidade de aproximação; h , é a distância desde a superfície do líquido ao centro do orifício; g , é a aceleração da gravidade; Quando esta velocidade não exige um valor preciso, na maioria dos casos, desconsidera-se a velocidade de aproximação do fluido, transformando a expressão em:

V r =√2 ∙ g ∙ h

(1)

Onde: V r , é a velocidade real média do líquido na saída do orifício.

A partir desse teorema, Torricelli afirma que a velocidade do fluxo de água, que passa por um pequeno orifício, que parte do nível demarcado no recipiente até uma altura h é igual à velocidade de um corpo em queda livre, caído de uma altura h em que o corpo sofre uma aceleração através da gravidade g. Portanto, considerando que o cano de saída da água possui uma área A 0 (V (h))

, se o volume total de água velocidade

‘ v’

contida no recipiente está escoando com

por um dreno de área

A 0 , quando o equilíbrio for atingido,

teremos a seguinte equação: dV (h) =− A0 V r ( h )=−A 0 √2 gh dT

(2)

Onde: dV , dT A0 ,

é a derivada de volume em relação ao tempo; área do cano de saída da água na caixa, em m ² ;

g, é a gravidade

m/s ² ;

h, é altura da caixa em m. Chegaremos à seguinte equação a ser resolvida. Que consiste em determinar o nível ‘y’ de água que depende do tempo. S

dy =− A 0 √ 2 gh dt

(3)

Onde: S , é a área da base do recipiente.

Criaremos então duas situações onde faremos uso das equações obtidas: Problema 01: Um condomínio residencial possui dezoito apartamentos, cada apartamento consome cerca de 450 litros de água diariamente, o que resulta em um total de 8.100 litros diários. Para o consumo dito, se prevê necessário um reservatório que contenha 10.000 litros de água disponível para os moradores. O tipo de residencial é classificado como sendo A-2, sistema do Tipo 1. De acordo com a NBR-13714 – “Sistema de hidrantes e de mangotinhos para combate a incêndio”, é obrigatório que haja um reservatório permanente de 9.600 litros de

água para o caso de uso emergencial, dentro do plano PPCI – Plano de Prevenção e Proteção contra Incêndios. Usa-se então um reservatório de 20.000 litros de água, sendo que destes, 10.000 litros permanecem sempre na caixa, sendo renovados a cada acionamento da bomba de enchimento. Para que nunca seja usado o limite de 10.000 litros a disposição para consumo, a bóia de acionamento fora colocada na marca de 2.000 litros acima do nível de consumo. Portanto, a situação crítica a ser calculada será o tempo necessário para escoar 8.000 litros de água da caixa mantendo a vazão constante com a saída da caixa de 1 in (uma polegada). O que se pede é o tempo de acionamento dessa bomba, determinado por uma equação diferencial ordinária. Memória de Cálculo Dimensões do reservatório: Volume da caixa :20.000l=20 m³ Diâmetro da caixa :2,5 m

Raio :1,25 m Supondo que o reservatório tenha o formato cilíndrico, com estes dados é possível calcular à altura h do reservatório: 2 V cil=π ∙ (1,25 ) ∙ h ⇒hcaixa =4,076 m

Cano: 1∈¿ 2,54 cm=0,0254 m 2

−4

A 0=πR ² ⇒A 0=π ∙ ( 0,0127 ) ⇒A 0=5,064 ∙ 10 m ² Altura do cano de saída (da qual a água nunca irá baixar) = 2,035 m Altura para o nível de 12.000l=2,44 m

A altura para calcular o tempo de escoamento de

8.000 l

de água é a

2,44 m :

altura do nível de 12.000l , ou seja,

h=2,44 m

Altura do cano (medida da qual nunca irá baixar, 10.000l ) = 2,035 m . Sabendo agora os valores de

h , A 0 e adotando

g=9,8 m/ s

2

, partiremos

para a resolução da Equação Diferencial Ordinária, partindo da equação (2) :

√ 2 ∙9,8 ∙ 2,44 ⇒V =−( 3,502 ∙10−3 ) ∙ t + C −4 dV dV =− A0 √ 2 gh ⇒ =−( 5,064 ∙ 10 ) ∙¿ dt

dt

Para o volume máximo ( V =20.000 l ¿ ,

t=0 , logo o valor da constante

C=V =20.000 l=20 m ³ , logo: V =−(3,502 ∙ 10−3 )∙t +20 Por fim, para saber o tempo de escoamento de 8.000 l , calcularemos onde V =20.000 l =20 m ³ e V =8.000 l =8 m ³ , atribuindo os valores obtidos, temos:

−12=−(3,502 ∙ 10−3 )∙ t t=3.712,164477 seg ⇒t ≅ 1hr 1 min 52 seg Teremos então determinado o tempo necessário para o escoamento de 8.000 l

de água para que a bomba de enchimento seja ativada sem que seja gasto

os 10.000l

destinados ao consumo.

Problema 02: Em uma usina hidrelétrica funcionam 4 turbinas geradoras de Energia. O conduto forçado possui

8m

de diâmetro, e a base da entrada d’água está

localizada a uma profundidade de

30 m

abaixo do nível da superfície. Sua área

alagada tem 200 km². Supondo que aconteça um período de seca na região que dure 30 dias, calculamos a altura do nível da água em relação à base da tomada d’água após este tempo de seca.

Memória de Cálculo Área alagada=200.000 .000 m ²

A 0=50,26 m² g=9,8 m/ s ²

h=30 m t=30 dias=2.592 .000 seg

Utilizando a equação (3) , temos: S

dy =− A 0 √ 2 gh dt Resolvendo essa EDO utilizando o método da separação de variáveis,

obteremos: Sy=−A 0 √ 2 gh t Atribuindo os valores da questão: 200000000 y=−50,26 √ 2∙ 9,8 ∙ 30 ∙ 2592000 Teremos que

y=−15,79 m . Para calcularmos a altura em 30 dias,

diminuiremos este dos 30 m iniciais: 30−15,79 =14,21 m Sendo assim, a altura após 30 dias de seca é de 14,21m .

III - CONCLUSÃO Após a definição, aplicação e análise das equações diferenciais ordinárias no escoamento de fluidos, poderemos concluir a sua fundamental importância dentro da engenharia. Usando fórmulas conhecidas como a equação de Torricelli junto a algumas manipulações de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, chegamos a resultados que podem ser usados desde o dimensionamento e escoamento da água em uma caixa d’água até mesmo prever um período de seca em uma barragem, podendo maximizar seu desempenho da forma mais eficiente. No problema da caixa d’água, partimos de uma situação hipotética em que um condomínio dispõe de uma caixa d’água para o abastecimento dos moradores, mas também precisa atender às normas do PPCI. Com o uso de equações diferenciais ordinárias, chegamos a um resultado em que poderemos utilizar esta mesma caixa d’água para o abastecimento dos moradores e para a reserva técnica para combate a incêndio, sendo possível a redução de custos, dispensando a instalação de cisterna ao nível do solo ou subsolo, bem como a instalação de dois ou mais reservatórios sobre a cobertura do edifício com estas finalidades, além de manter qualidade da água armazenada, visto que estará em constante renovação, ao contrário, ao contrário do que ocorreria caso fosse usado um reservatório exclusivo para esta técnica. No problema da barragem, partimos da situação em que a mesma passe por um período de seca, com o uso das equações diferenciais ordinárias, poderemos prever a possível diminuição do nível de água e fazer um melhor planejamento da água do reservatório da barragem, para que a mesma não se esgote. Toda a análise e resolução dos problemas demonstram a importância do cálculo para a obtenção de respostas dentro de situações reais do cotidiano da engenharia, sendo as equações diferenciais ordinárias ferramentas de suma importância.

IV - BIBLIOGRAFIA MARSCHALL, C.E. Equações diferenciais aplicadas no escoamento de fluidos . 2006. Disponível em: . Acesso em: 21 de Setembro de 2018. BATTISTI, A.J. Equações diferenciais aplicadas em escoamento de fluidos. 2002. 53f. TCC (graduação) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Curso de Matemática. Florianópilis-SC, 2007. GOMES, R.A. As aplicações da equação de Bernoulli na dinâmica de fluidos . 2005. 33f. TCC (graduação) – Universidade Federal de Uberlândia, Curso de Licenciatura em Física. Uberlândia, 2005. MARIANI, R.S.; RIBOLI, A.A.; STOCKER, G.A.; DOS SANTOS, M.K.; IMMICH, T.B.; DI DOMENICO, C.N.B. O uso de equações diferenciais ordinárias no cálculo de escoamento de água. Universidade Regional Integrada Câmpus de Frederico Westphalen. ZILL, D.G.; CULLEN, M.R. Equações Diferenciais. V.1, 3.ed. São Paulo: Makron, 2008...