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Mathematisches Seminar, Sommersemester 2020 Dr. Barbara Langfeld; M. Sc. Jan-Niclas Thiel Mathematik für die Informatik B

Präsenzaufgabenblatt 1 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 1.1 BBB-Tests Testen Sie in Ihrer Übungsgruppe die Möglichkeiten von BigBlueButton: Status setzen, Chat nutzen, Whiteboard zusammen nutzen, in Kleingruppen (Breakout-Räume) arbeiten usw. Präsenzaufgabe 1.2 Tipps zum Selbststudium Tauschen Sie Tipps aus, wie Sie sich in der eTeaching-Phase selbst organisieren. Stellen Sie Lernpläne auf, wie tauschen Sie sich untereinander aus, . . . ? Präsenzaufgabe 1.3 Rückfragen zu den Übungen im Skript Besprechen Sie Ihre Fragen zu den Übungen aus Kapitel 1.6, Kapitel 2.0. Wenn es bereits Rückfragen zu Kapitel 2.1 oder 2.2 gibt, klären Sie auch diese! Präsenzaufgabe 1.4 Rückfragen zu den Hausaufgaben Besprechen Sie Ihre Rückfragen zu Hausaufgabenblatt 1.

Infos zur Vorlesung: https://www.math.uni-kiel.de/go/sose20/matheB.

Mathematisches Seminar, Sommersemester 2020 Dr. Barbara Langfeld; M. Sc. Jan-Niclas Thiel Mathematik für die Informatik B

Präsenzaufgabenblatt 2 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 2.1 Frage klären Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 2.1 und 2.2 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Präsenzaufgabe 2.2 Erzeugendensysteme und lineare Unabhängigkeit Wir betrachten den R-Vektorraum R3 . Welche der folgenden Systeme bilden ein Erzeugendensystem von R3 , welche sind linear unabhängig?    0   1  1 1 , 1 , 0 ; 0 1 1  3     1  0 0 ; , 12 , 00 −1         1 2 0 0 1 , −1 , 0 , 0 . 1

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Präsenzaufgabe 2.3 Regeln in Vektorräumen Analysieren Sie nochmals den Beweis von Satz 2.2.17 / Folgerung 2.2.18. Wo und wie wurden die Regeln aus Lemma 2.1.2 und die Vektorraumeigenschaften genau genutzt?

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Präsenzaufgabenblatt 3 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 3.1 Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 2.3 und (dem ersten Teil von) 3.1 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Speziell: Wiederholen Sie, wie die Abbildung fA definiert ist und lösen Sie Übung 3.1.20. Präsenzaufgabe 3.2 Lineare Unabhängigkeit Sei f : W → V eine K-lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen W und V . Seien w1 , . . . , wn ∈ W . Zeigen Sie: Wenn (f (w1 ), . . . , f(wn )) linear unabhängig ist, dann ist (w1 , . . . , wn ) linear unabhängig. Nebenbei: Dieses Argument brauchen Sie im Beweis von Lemma 3.3.3 (a). Präsenzaufgabe 3.3 Zur Rolle von K bei Basen Betrachten Sie Z-Linearkombinationen von Elementen aus Z. (Das wurde in der Vorlesung nicht definiert – holen Sie das hier nach; siehe auch Definition und Beobachtung 4.1.2.) (a) Warum ist die Menge aller Z-Linearkombinationen von (2, 3) die Menge Z und warum ist dieses „Erzeugendensystem“ minimal? (b) Finden Sie es ein kürzeres „Z-Erzeugendensystem“ von Z. (c) Diskutieren Sie, was Ihre Beobachtungen mit Basen in Vektorräumen zu tun haben.

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Präsenzaufgabenblatt 4 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 4.1 Fragen klären Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 3.1 und 3.2 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Speziell: Wiederholen Sie, wie man eine darstellende Matrix konstruiert und besprechen Sie Übung 3.2.13. Präsenzaufgabe 4.2 Lineare Abbidungen Gibt es eine lineare Abbildung f : R2 → R2 mit (a) f (( 23 )) = ( 22 ), f (( 20 )) = ( 11 ), f (( 63 )) = ( 43 )? (b) f (( 13 )) = ( 21 ), f (( 20 )) = ( 11 ), f (( 53 )) = ( 43 )? Präsenzaufgabe 4.3 Transponierte Matrizen (a) Besprechen Sie Übung 3.2.21. (b) Beweisen Sie Definition und Lemma 3.2.20 (b): Ist A ∈ Mn (K) bezüglich · invertierbar, so ist auch AT invertierbar und es gilt (AT )−1 = (A−1 )T . Sie dürfen dabei Lemma 3.2.20 (a) nutzen (oder zusätzlich beweisen, wenn Sie mögen).

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Präsenzaufgabenblatt 5 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 5.1 Fragen klären Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 3.3 und 3.4 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Präsenzaufgabe 5.2 Dimensionsformel  a+b  ? Welche Dimension haben Kern und Bild der linearen Abbildung f : R2 → R2 , f (( ba )) = a+b

Präsenzaufgabe 5.3 Lineare Gleichungssysteme Geben Sie Gleichungssysteme Ax = b über R mit folgenden Eigenschaften an: (a) es gibt 5 Unbekannte, ker(A) hat Dimension 3 und 0R5 ∈ / L (A, b). (b) es gibt 4 Unbekannte und keine Lösung. (c) es gibt 4 Unbekannte und genau eine Lösung. Kann man in allen Fällen mit 10 linearen Gleichungen arbeiten?

Sie dürfen für den Start gerne mit Zeilenstufenformen arbeiten. Überlegen Sie auch, wie Sie aus Ihren Lösungen andere Aufgaben konstruieren können, die nicht so „offensichtlich“ sind. Präsenzaufgabe 5.4 Lineare Gleichungssysteme Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b über R mit     −3 9 −14 −19 −5  2 −6 9   13  6   A :=  , b :=   1 −3 5   7 2  2 −6 5 6 5

Sie haben in verschiedenen Teams eine Lösung erarbeitet und an der Tafel stehen folgende Vorschläge für L (A, b):          −3 + 3λ + µ 6 0     * 3 +          −2     −3 + µ  λ, µ ∈ R . 0  ,   +  1 ,   −5   −5   0 −5          3   0 3 3

Welche davon stimmen (ggf. teilweise), welche nicht?

       

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Präsenzaufgabenblatt 6 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 6.1 Fragen klären Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 4.1 und 4.2 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Präsenzaufgabe 6.2 Determinanten Bestimmen Sie det(A) für Beispielmatrizen aus M2 (Z), M3 (Z), M4 (Z). Sie können dabei SAGE als Beispielgenerator verwenden. Präsenzaufgabe 6.3 Lemma 4.2.11 (a) Seien (R, +, ·, 0, 1) ein kommutativer Ring mit Eins und n ∈ N≥1 . Für A = (αij )i,j ∈ Mn (R) gelten: Ist A eine sogenannte obere Dreiecksmatrix so folgt det A = α11 · α22 · · · · · αnn . (Sie können anhand dieser Aufgabe auch Induktion üben.)

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Präsenzaufgabenblatt 7 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 7.1 Fragen klären Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 4.3 und 4.4 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Besprechen Sie insbesondere Übung 4.3.20. Präsenzaufgabe 7.2 Eigenwerte und Eigenräume Erinnern Sie, (a) wie Eigenwerte einer Matrix bestimmt werden, (b) wie Eigenräume einer Matrix bestimmt werden, (c) wie Diagonalisierbarkeit einer Matrix entschieden wird. Testen Sie das  −15  18  −10 38

Verfahren (jedenfalls teilweise) mit der Matrix  −1 0 −6 1 0 7   ∈ M4 (Q) 0 −1 −5  2 0 16

Zur Selbstkontrolle: Es gilt χA (X) = (X − 4) · (X + 1)3 . Präsenzaufgabe 7.3 Eigenwerte Seien n ∈ N≥1 , K ein Körper und A ∈ Mn (K) und λ ∈ K ein Eigenwert von A. Beweisen Sie: (a) Wenn λ = 0 gilt, folgt det(A) = 0; die Umkehrung dieser Implikation ist i. A. falsch. (b) Ist A invertierbar, so ist λ1 ein Eigenwert von A−1 .

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Präsenzaufgabenblatt 8 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 8.1 Konvergenz n−2 Wir betrachten die reelle Folge (an )n∈N≥2 mit an = n+1 für alle n ∈ N≥2 . Bestimmen Sie (a) für ε = (b) für ε =

1 , 10 1 100

eine Zahl n0 ∈ N so, dass |an − 1| < ε gilt. Präsenzaufgabe 8.2 Konvergenz Welche der folgenden Aussagen sind wahr? (a) (b) (c) (d)

Eine Folge konvergiert, wenn Sie monoton und beschränkt ist. Eine konvergente Folge ist monoton und beschränkt. Wenn eine Folge nicht monoton ist, kann sie nicht konvergieren. Wenn eine Folge nicht beschränkt ist, kann sie nicht konvergieren.

Präsenzaufgabe 8.3 Beschränktheit, Konvergenz, Divergenz, Häufungspunkte Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 5.1 und 5.2 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Besprechen Sie insbesondere (a) Ihre Rückfragen zu Übung 5.1.29 bzw. zur Lösung im Skript, (b) Ihre Rückfragen zu Übung 5.1.30.

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Präsenzaufgabenblatt 9 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 9.1 Reihen und Konvergenzkriterien Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 5.3 und 5.4 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Besprechen Sie insbesondere (a) Ihre Rückfragen zu Übungen 5.3.28 bzw. zur Lösung im Skript, (b) Ihre Rückfragen zu Übungen 5.3.29 bzw. zur Lösung im Skript. Präsenzaufgabe 9.2 Konvergenzkriterien Diskutieren Sie (etwa im Kontext von Übung 5.3.29) auch, (a) wie Lemma 5.3.27 einen verkürzten Aufschrieb ermöglicht und (b) wie man einer Reihe (hoffentlich) „ansehen kann“, welches Konvergenzkriterium funktionieren könnte.

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Präsenzaufgabenblatt 10 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 10.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Klären Sie Ihre Fragen zu Kapitel 6.1 und dem ersten Teil von 6.2 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Besprechen Sie insbesondere (a) Ihre Rückfragen zu Übung 6.1.24 bzw. zur Lösung im Skript, (b) Ihre Rückfragen zu Übung 6.1.25. (c) Ihre Rückfragen zu Übung 6.2.19. Präsenzaufgabe 10.2 Differenzierbarkeit Wenn es schon passt, besprechen Sie (a) Ihre Rückfragen zu Übung 6.2.20 bzw. zur Lösung im Skript, (b) Ihre Rückfragen zu Übung 6.2.21 bzw. zur Lösung im Skript. Präsenzaufgabe 10.3 Klausurvorbereitungen Gibt es Rückfragen zu den vorherigen Kapiteln oder Übungsaufgaben?

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Präsenzaufgabenblatt 11 Aufgaben für die Übungen; keine Abgabe Präsenzaufgabe 11.1 Differenzierbarkeit Klären Sie Ihre Fragen zum zweiten Teil von Kapitel 6.2 und Kapitel von 6.3 sowie zu den dort angegebenen Übungsaufgaben. Besprechen Sie insbesondere (a) (falls nicht schon geschehen) Ihre Rückfragen zu Übungen 6.2.20/21 bzw. zur den Lösungen im Skript, (b) Ihre Rückfragen zu Übung 6.3.9 bzw. zur Lösung im Skript. Präsenzaufgabe 11.2 Differenzieren; Extrema Tragen Sie nochmals zusammen, welche Rezepte es für (a) die Bestimmung des Wachstumsverhalten, (b) die Bestimmung von Extrema von Funktionen f : D → R gibt (mit D ⊆ R). Diskutieren Sie auch, welche Fallstricke es gibt (insb.: Intervallgrenzen, „hinreichend, aber nicht notwendig“). Präsenzaufgabe 11.3 Klausurvorbereitungen Gibt es Rückfragen zu den vorherigen Kapiteln oder Übungsaufgaben?

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