Quasi convexité concavité courbe PDF

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Facult´e d’Economie et de Gestion

Semestre 3

Aix-Marseille Universit´e

Vers la notion de quasi-concavit´ e/quasi-convexit´ e Soit U un sous-ensemble convexe de Rn et f : U → R une fonction. On a les propri´et´es suivantes : Proposition 1. 1. Si f est concave sur U alors pour tout a ∈ R, l’ensemble Ca+ = {x ∈ U | f (x) > a} est un ensemble convexe. 2. Si f est convexe sur U alors pour tout a ∈ R, l’ensemble Ca− = {x ∈ U | f (x) 6 a} est un ensemble convexe. C’est tr`es facile a` montrer en utilisant la d´efinition de la convexit´e/concavit´e de la fonction. Cette propri´ et´e est tr`es utile aux ´economistes car elle a un lien direct avec la notion de pr´ef´erences convexes du consommateur par exemple. C’est pourquoi on a d´efini la notion de fonctions quasi-convexes (resp. quasi-concaves). D´ efinition 2. 1. Une fonction f est dite quasi-concave sur U si ∀a ∈ R, C + a est un ensemble convexe. 2. Une fonction f est dite quasi-convexe sur U si ∀a ∈ R, C a− est un ensemble convexe. Il y a d’autres d´ e finitions ´equivalentes de ces notions, je vous renvoie `a l’ouvrage de Simon & Blume pour les d´etails. La propri´ et´e 1 nous dit qu’une fonction convexe (resp. concave) est quasi-convexe (resp. quasi concave). La r´eciproque est fausse (cf ci-dessous), la notion de quasi-concavit´e(convexit´e) est donc beaucoup plus g´en´erale. Exemples : Cette fonction n’est pas convexe mais est quasi-convexe (pourquoi ?)

Celle-ci n’est pas quasi-convexe car l’ensemble C a− (r´eunion des deux segments rouges) n’est pas convexe.

Dans le probl` e me du consommateur si U (x, y) est l’utilit´e associ´ee au panier de bien (x, y), soit (x0 , y0 ) un panier et a = U (x0 , y0 ) l’utilit´e associ´ee. Si on suppose que U est une fonction concave alors l’ensemble Ca+ = {(x, y) | U (x, y) > a} repr´esente l’ensemble des paniers de biens faiblement pr´ef´er´es au panier (x0 , y0 ) et d’apr`es la propri´et´e c’est un ensemble convexe ! C’est de l` a que vient la notion de ”pr´ef´erences convexes” du consommateur.

Nous venons de voir que les fonctions d’utilit´e qui poss`edent cette propri´et´e, appartiennent `a la classe plus large des fonctions qu’on appelle ”quasi-concaves”. On peut montrer par exemple que si toutes les fonctions de Cobb-Douglass ne sont pas concaves (il faut que ”les rendements d’´echelle soient d´ecroissants”), elles sont toutes quasi-concaves (cf Simon-Blume).

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