R Pr MAEW104 przyklady calki podwojne lista 1 PDF

Preview

Summary

notatki...

Description

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 1: Całki podwójne Przykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach     ZZ π π π × 0, sin(x + y) dxdy, R = − , (a) 4 4 4 R

•

ZZ

sin(x + y) dxdy =

R

π

π

Z4

Z4

dx sin(x + y )dy = 0

−π 4

π

π

Z4

• =

π

−4

 π y= 4  (− cos(x + y ) dx 

=

y=0

• = (− sin(x + π4 ) +

Z4 π

−4

 π x=  4 sin x  π



ZZ R

ZZ

2

2

(x + y x) dxdy =

R

• =

x3 + y2 · 3

4 2 • = ·2= 3 3

•

ZZ

ex+y dxdy =

R

• =

Z1

dy (x2 + y 2 x)dx =

x=1 x2   2 

−1

dy =

x=−1

• = ZZ

ZZ

Z4  2

2 + 0 dy = 3 

ex ey dxdy =

R

   1  1 Z Z  ex dx ·  ey dy  0

0

R

2−1

ex+y dxdy , R = [0, 1] × [0, 1]

R

(d)

Z4 2

Z4 2

(c)

√

(x2 + y 2 x) dxdy, R = [−1, 1] × [2, 4]

•

ZZ



= − sin π2 + sin π4 + sin 0 − sin − 4π =

x=− 4

(b)

(− cos(x + π4 ) + cos x)dx =

2   x=1 ex   

x=0

2  1 Z =  ex dx 

=

0

= (e − 1)2

xy (x + y) dxdy , R = [−1, 1] × [−1, 1]

•

ZZ

xy(x + y) dxdy =

R

• =

ZZ

2

x y dxdy +

R

ZZ

xy 2 dxdy =

R

   1   1   1  1 Z Z Z Z  x2 dx  ·  ydy +  xdx ·  y 2 dy  −1

−1

−1

−1



=2

Z1

−1

   1 Z x2 dx ·  ydy = −1

0,

bo druga całka w iloczynie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale symetrycznym względem 0.

Przykłady do zadania 1.2 : Podane całki podwójne zamienić na całki iterowane i obliczyć. Narysować obszar całkowania. (a)

n 1 dxdy, gdzie D = (x, y) : 0 ¬ x ¬ 2, (1 + x + y)2

ZZ D

• rysunek

x 2

o

¬ y ¬ 2x

4.5

y

4

3.5

3

2.5

y=2x 2

1.5

1

0.5

y=x/2

0

0

−0.5 −0.5

•

ZZ D

= ZZ D

0.5

1

1.5

2

2x

x

2

2.5

y=2x 



Z Z Z  1 dy 1  −  dx =  = dxdy = dx (1 + x + y)2 (1 + x + y)2 1 + x + y y= x x 0

Z2 0

(b)

2

2 0

−

0

2

2



!

 x=2 3   x 2 

1 1 2  1 + dx = − ln |1 + 3x| + ln 1 + 3 3 3 1 + 3x 1 + 2 x 



exy dxdy , gdzie D = (x, y) : 1 ¬ x ¬ e, 0 ¬ y ¬ • rysunek

x=0

1 x

2 1 = − ln 7 + ln 4 3 3

1.5

y

1

y=1/x 0.5

0

1

−0.5 −0.5

•

ZZ D

=

xy

e dxdy =

Ze 1

1

dx

Zx

xy

e dy =

0

 x=e  (e − 1) ln |x| 

x=1

= e−1

Ze 1

0



0.5

1

y= 1 

e

y=0

1.5

2

e

Z 1  x  exy  dx = x y=0 1

2.5



x

3

1 1 e− dx = x x 

(c)

ZZ D

n

x dxdy, gdzie D = (x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ • rysunek

√

o

1 − x2 .

1.5

y

1

y=(1−x2)1/2

0.5

0

0

−0.5 −0.5

•

ZZ

x dxdy =

Z1

dx

0

xdy =

0

0

D

√ Z1−x2

Z1 0

 y=0



1

0

0.5

  √ y= 1−x2  xy  dx  

x

1

=

y=0

1.5

Z1 0



 √ x 1 − x2 dx =   

1 1Z √ 1 y 3/2   = =− · −  ydy = 2 3/2  y=1 3 2 1

y = 1 − x2 dy = −2xdx x 0 1 y 1 0

Przykłady do zadania 1.3 :

Obszar D ograniczony jest krzywymi o podanych równaniach. Całke podwójną

ZZ

D

(gdzie f (x, y) jest ciągła na D) zamienić na dwa rodzaje całek iterowanych. (a) x = 0, y = 1, y = x • rysunek

1.5

1

0.5

y

y=1

1

x=0 y=x

0

−0.5 −0.5

0

1

0

0.5

• D to obszar normalny względem osi 0x, bo D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, x ¬ y ¬ 1} • Stąd

ZZ

f (x, y) dxdy =

Z1 0

D

Z1

dx f (x, y )dy x

• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ x ¬ y} • Stąd

ZZ D

f (x, y) dxdy =

Z1 0

Zy

dy f (x, y )dx 0

1

x

1.5

f (x, y ) dxdy

    

=

√ (b) y = x2 , y = x • rysunek

2.5

y 2

1.5

1

1

y=x1/2 0.5

y=x2 0

−0.5 −1.5

0 −1

−0.5

1 0

0.5

x

1

1.5

• szukamy √ punktów wspólnych podanych krzywych: x2 = x x4 = x, x  0 , x(x3 − 1) = 0, x  0 x=0 ∨ x=1 dla x = 0 mamy y = 02 = 0, dla x = 1 mamy y = 12 = 1 • D to obszar normalny względem osi √ 0x, bo D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬ x} • Stąd

ZZ

f (x, y) dxdy =

Z1

√

dx

0

D

Zx

f (x, y )dy

x2

• rysunek

2.5

y 2

1.5

1

1

x=y2 0.5

x=y1/2

0

−0.5 −1.5

0 −1

−0.5

1 0

• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo √ D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, y 2 ¬ x ¬ y} • Stąd

ZZ D

f (x, y) dxdy =

Z1 0

√

dy

Zy

f (x, y )dx

y2

0.5

1

x 1.5

(c) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 4 • krzywa to okrąg o środku (1, −2) i promieniu 2

• wyznaczenie dolnej i górnej funkcji: (x − 1)2 +q(y + 2)2 = 4 y + 2 = ± 4 − (x − 1)2 y = −2 ±

q

4 − (x − 1)2 , −1 ¬ x ¬ 3

d(x) = −2 −

• rysunek

q

4 − (x − 1)2 , g (x) = −2 + 0.5

y

0

−1

q

4 − (x − 1)2 , −1 ¬ x ¬ 3

y=−2+(4−(x−1)2)1/2 3

0

x

−0.5

−1 −1.5

−2

(1,−2) −2.5

−3 −3.5

y=−2−(4−(x−1)2)1/2

−4

−4.5 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

• D to obszar normalny względem osi 0x, bo n

D = (x, y) : −1 ¬ x ¬ 3, −2 − • Stąd

ZZ

f (x, y) dxdy =

D

Z3

−2+

dx

−1

q

4 − (x − 1)2 ¬ y ¬ −2 +

√

√

−2−

q

4 − (x − 1)2

2

4−(x−1) Z

f (x, y )dy

4−(x−1)2

• wyznaczenie lewej i prawej funkcji: (x − 1)2 + (y + 2)2 = 4 q

x − 1 = ± 4 − (y + 2)2 x= 1±

q

l(y) = 1 −

• rysunek

4 − (y + 2)2 , −4 ¬ y ¬ 0

q

4 − (y + 2)2 , p(y) = 1 + 0.5

q

4 − (y + 2)2 , −4 ¬ y ¬ 0 y

0

x

−0.5

−1.5

(1,−2) −2.5

x=1−(4−(y+2)2)1/2 −3.5

x=1+(4−(y+2)2)1/2 −4

−4.5 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo n

D = (x, y) : −4 ¬ y ¬ 0, 1 − • Stąd

ZZ D

f (x, y) dxdy =

Z0

−4

q

1+

dy

√

√

1−

4 − (y + 2)2 ¬ x ¬ 1 + 2 4−(y+2) Z

f (x, y )dx

4−(y+2)2

q

4 − (y + 2)2

o

o

(d) y = −1, y = 1, x = 2 −

√

1 − y 2 , x = −1 +

√

1 − y2

• dwie ostatnie krzywe to półokręgi: √ x= 2− √ 1 − y2 x − 2 = − 1 − y2 (x − 2)2 = 1 − y 2 (x − 2)2 + y 2 = 1, x ¬ 2 lewy półokrąg o środku (2, 0) i promieniu 1 √ 2 x = −1 + √ 1 −2y x+1= 1−y (x + 1)2 = 1 − y 2 (x + 1)2 + y 2 = 1, x  1 prawy półokrąg o środku (−1, 0) i promieniu 1 • rysunek

2

y

1.5

1 1

x=2−(1−y2)1/2

0.5

x=−1+(1−y2)1/2 0

(−1,0)

(2,0)

x

−0.5

−1

−1

−1.5

−2 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

• D to obszar normalny względem osi 0y, bo n o √ √ D = (x, y) : −1 ¬ y ¬ 1, −1 + 1 − y 2 ¬ x ¬ 2 − 1 − y 2 • Stąd

ZZ D

f (x, y) dxdy =

Z1

−1

√

2−

dy −1+

Z 1−y

√

2

1−y 2

f (x, y )dx

• D nie jest obszarem normalnym względem osi 0x, ale jest sumą takich obszarów o rozłącznych wnętrzach D = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4 ∪ D5

n

q

o

gdzie D1 = (x, y) : −1 ¬ x ¬ 0, −1 ¬ y ¬ − 1 − (x + 1)2 n

q

o

D2 = (x, y) : −1 ¬ x ¬ 0, 1 − (x + 1)2 ¬ y ¬ 1 D3 = n [0, 1] × [−1, 1] q o D4 = (x, y) : 1 ¬ x ¬ 2, −1 ¬ y ¬ − 1 − (x − 2)2 n

D5 = (x, y) : 1 ¬ x ¬ 2,

q

o

1 − (x − 2)2 ¬ y ¬ 1

• rysunek

2

y 1.5

y=1 1

y=(1−(x−2)2)1/2

0.5

y=(1−(x+2)2)1/2 0

−1

−0.5

0

2

1

2 1/2

x

y=−(1−(x−2)2)1/2

y=−(1−(x+2) ) −1

y=−1

−1.5

−2 −1.5

• Stąd

ZZ

f (x, y) dxdy =

D

Z1

+ dx 0

Z0

√

−

dx

f (x, y)dy +

−1

−0.5

0

2 1−(x+1) Z

Z2 1

√

−

dx

0.5

1

1.5

f (x, y)dy +

2

Z0

−1

−1

−1

Z1

−1

2 1− Z (x−2)

f (x, y)dy +

−1

2.5

dx √ Z2 1

Z1

f (x, y)dy +

1−(x+1)2

dx √

Z1

1−(x−2)2

f (x, y )dy

(e) x = y 2 , y = x − 2 • D to obszar między parabolą x = y 2 a prostą x = y + 2 • rysunek

2.5

y

2 1.5

x=y2 0.5

x=y+2 x

−0.5

−1 −1.5

−2.5 −0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

• szukamy punktów wspólnych tych krzywych: y2 = y + 2 y2 − y − 2 = 0 ∆=9 =2 y1 = 1−3 = −1, y2 = 1+3 2 2 • D to obszar normalny względem osi 0y, bo D = {(x, y) : −1 ¬ y ¬ 2, y 2 ¬ x ¬ y + 2 } • Stąd

ZZ

f (x, y) dxdy =

D

Z2

dy

y+2 Z

f (x, y )dx

y2

−1

• D jest też obszarem normalnym względem osi 0x, wygodniej przedstawić go jako sumę takich obszarów o rozłącznych wnętrzach D = D1 ∪ D2 √ √ gdzie D1 = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, − x ¬ y ¬ x } √ D2 = {(x, y) : 1 ¬ x ¬ 4, x − 2 ¬ y ¬ x } • rysunek

2.5

y

y=x1/2

1.5

y=x−2

0.5

0

4

1

x −0.5

y=−x1/2 −1.5

−2.5 −0.5

• Stąd

ZZ D

f (x, y) dxdy =

Z1 0

dx

√ Zx

√ − x

0

0.5

1

1.5

f (x, y)dy +

2

Z4 1

2.5

3

dx

3.5

4

√ Zx

x−2

4.5

f (x, y )dy

(f) x = 0, y = e2 , y = ex • rysunek

8

7

y=e2

y

e2

6

5

x=0

4

3

x=ln(y) y=ex

2

1

0

−1 −0.5

1 2

0 0

0.5

1

1.5

x

2

• D to obszar normalny względem osi 0x, bo D = {(x, y) : 1 ¬ y ¬ e2 , 0 ¬ x ¬ ln y} • Stąd

ZZ

f (x, y) dxdy =

Ze2 1

D

dy

ln y Z

f (x, y )dx

0

• x = ln y ⇐⇒ y = ex

• Zatem D to także obszar normalny względem osi 0y, bo D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 2, ex ¬ y ¬ e2 } • Stąd

ZZ D

f (x, y) dxdy =

Z2 0

Ze2

dx f (x, y )dy ex

2.5

(g) y = 0, y = sin x, przy czym 0 ¬ x ¬ π • rysunek

1.5

y

y=sin(x) 1

0.5

0

y=0

0

−0.5 −0.5

0

0.5

1

1.5

x

2

2.5

3

3.5

• D to obszar normalny względem osi 0x, bo D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x} • Stąd

ZZ

f (x, y) dxdy =

Zπ

dx

f (x, y )dy

0

0

D

sin x Z

• y = sin x, 0 ¬ x ¬ π2 ⇐⇒ x = arc sin y, 0 ¬ y ¬ 1 y = sin x, π2 ¬ x ¬ π ⇐⇒ x = π − arc sin y, 0 ¬ y ¬ 1 • rysunek

1.5

y

1

1

x= −arcsin(x)

x=arcsin(x)

0.5

0

−0.5 −0.5

0

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

• Zatem D to także obszar normalny względem osi 0y, bo D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, arc sin y ¬ x ¬ π − arc sin y} • Stąd

ZZ D

f (x, y) dxdy =

Z1 0

dy

π−arc Z sin y arc sin y

f (x, y )dx

3.5

Przykłady do zadania 1.4 : Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: (a)

ZZ

2

e−(x

+y 2 )

dxdy , gdzie D to obszar ograniczony krzywą x2 + y 2 = 2

D

• D = {(x, y) : x2 + y 2 ¬ 2} - koło o środku (0, 0) i promieniu

√

2

2

y 1.5

1

0.5

21/2 0

x −0.5

−1

−1.5

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

• D we współrzędnych biegunowych odpowiada ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 0 ¬ ρ ¬ •

ZZ

−(x2 +y 2 )

e

dxdy =

D

−ρ2

e

ρ dρdϕ =

Z2π

dϕ

2

e−ρ ρ dρ

  2π   √2 Z Z 2   =  dϕ ·  e−ρ ρ dρ

√2

 1 2 = 2π · − e−ρ  = π(1 − e−2 )  2 0

2}

=

0

0

0

0

∆



(b)

ZZ

√ Z2

√

dxdy , gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + y 2 = 9 i x2 + y 2 = 25 x2 + y 2 − 1

ZZ D

• D = {(x, y) : 9 ¬ x2 +y 2 ¬ 25} - pierścień kołowy o środku (0, 0) i promieniu wewnętrznym 3, zewnętrznym 5 6

y

4

2

3

5

0

x −2

−4

−6 −6

−4

−2

0

2

4

6

• D we współrzędnych biegunowych odpowiada ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 3 ¬ ρ ¬ 5} •

ZZ D

dxdy = 2 x + y2 − 1 

= 2π · 

1 2

ZZ ∆

 5  2 ln |ρ − 1|  3

2π

5

 2π

  5



Z Z Z Z ρ ρ 1  dϕ  ·  ρ dρdϕ = dρ = dϕ dρ = 2 2 2 ρ −1 ρ −1 ρ −1 0

3

= π(ln 24 − ln 8) = π ln 3

0

3

(c)

ZZ

y dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4, y = x, y = 0,

D

(x, y  0) • D = {(x, y) : 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 4, 0 ¬ y ¬ x} - wycinek pierścienia kołowego o środku (0, 0) i promieniu wewnętrznym 1, zewnętrznym 2 3

y

2

y=x 1

1

0

2 y=0

x

−1

−2

−3 −3

−2

−1

0

1

2

3

n

o

• D we współrzędnych biegunowych odpowiada ∆ = (ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 4π, 1 ¬ ρ ¬ 2 π

•

ZZ

y dxdy =

D

(d)

D

(ρ sin ϕ) ρ dρdϕ =

 π   ρ=2   ϕ=4 ρ3     ·   = − cos ϕ 3 ϕ=0

Z4

dϕ

0

∆



ZZ

ZZ

ρ=1

Z2<...