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Regelung von Kälte- und Klimaanlagen

Grundbegriffe Regelungstechnik Reglertypen (P, PI, PD, PID) / Übertragungsverhalten

P-Glied (Proportionales Übertragungsglied):  

Eingangs- und Ausgangsgröße zu jedem Zeitpunkt proportional ideales P-Glied ist physikalisch nicht realisierbar, meist liegt 1-Verhalten vor, jedoch kann diese Verzögerung bei modellmäßigen Untersuchungen oft gegenüber weiteren Verzögerungen vernachlässigt werden

PD-Glied:  

Ausgangsgrößen der beiden Einzelglieder addieren sich zu neuer Ausgangsgröße Ideales PD-Glied wegen des D-Anteils physikalisch nicht realisierbar

Ideales PD-Glied

Reales PD-Glied

1

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen PI-Glied: Ausgangsgrößen der beiden Einzelglieder addieren sich zu neuer Ausgangsgröße

PID-Glied: Parallelschaltung P-, I- und D-Glied Ideales PID-Glied

Reales PID-Glied

LTI-Systeme   

linear time invariant system System, dessen Verhalten linear + zeitinvariant (unabhängig von zeitlichen Verschiebungen) ist besonders einfache Transformationsgleichungen

Linearität Linearitätsseigenschaft lineare Systeme S erfüllen das Superpositionsprinzip:

Linearisierung eines nichtlinearen Systems 

allgemeines System ist durch eine implizite Differenzialgleichung gegeben:

2

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen 

Arbeitspunkt AP finden, dazu das stationäre System ansetzen (Eingang und Ausgang konstant, alle Ableitungen gleich Null) und folgende Gleichung lösen:

 

die Lösung yAP = f(uAP) definiert die AP abhängig vom Eingang uAP die implizite Funktion wird um den AP als Taylorreihe entwickelt und nach dem ersten Koeffizienten abgebrochen für die Δ-Größen (beschreiben Abweichung vom AP) liegt eine lineare zeitinvariante Differenzialgleichung vor



Offener Kreis vs geschlossener Kreis

Stabilität Stabilität: 3

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen Ist das Eingangssignal eines Systems beschränkt, so ist auch das Ausgangssignal beschränkt (WENNDANN-Regel) Phasen- und Betragsreserve:  Der Abstand der Phase zur -180°-Linie beim 0-dB Durchtritt wird Phasenreserve genannt. Er ist positiv, wenn die Phase größer als -180° ist  Die Phasenreserve ist ein Maß für die Stabilität des Regelkreises  Üblicherweise wird sie zwischen 40° und 60° gewählt.  Bei 60° ist das Führungsverhalten besser, der Kreis folgt der Sollgröße mit einem gut gedämpften Verhalten  Bei 40° ist das Störverhalten besser, die Regelgröße wird durch Störsignale weniger beeinflusst, verliert aber an Dämpfung  45°-50° ist ein guter Kompromiss (Industrieerfahrung)  Der Abstand des Betrags zur 0dB-Linie beim -180°-Durchtritt wird Amplitudenreserve genannt. Er ist positiv, wenn der Betrag kleiner als 0dB ist

Stabilitätskriterien bei linearen Systemen:  BIBO Stabilität: o System ist stabil, wenn es auf beschränkte Eingangsgrößen mit beschränkten Ausgangssignal reagiert o Bedingung: Lage der Pole der Übertragungsfunktion rechnerisch bestimmen: alle Pole besitzen negativen Realteil  Nyquist-Kriterium: o Betrachtung des Frequenzgangs o Ausgangspunkt: offener Kreis gegeben durch Frequenzgang/Bodediagramm: o o o



offener Kreis muss stabil sein, darf aber 1 oder 2 Pole im Ursprung besitzen Totzeit als Faktor im offenen Kreis ist erlaubt! (in der Praxis häufig) geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn bei Durchtritt des Betrags des offenen Kreises im Bodediagramm durch die 0-dB-Linie, die Phase des offenen Kreises größer als -180° ist

Wurzelortskurve (WOK): 4

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen o

Betrachtung (grafische Darstellung) der Pollage(n) in Abhängigkeit der Regelkreisverstärkung

Führungs- und Störverhalten von Regelkreisen gutes Führungsverhalten und gutes Störverhalten widersprechen sich oft Führungsverhalten von Regelkreisen (nach Sollwertsprung):

Einstellregeln Einstellregeln für PID-Regler – Chien, Hrones & Reswick:  

anwendbar bei bekannter Verzugszeit Tu, Ausgleichszeit Tg und Streckenbeiwert KS der Regelstrecke Tu, Tg und KS aus Sprungantwort der Strecke

Einstellregeln für PID-Regler – Ziegler und Nichols  

anwendbar bei unbekannter Strecke Vorgehen: Regler nur als P-Regler verwenden (KI = KD = 0 bzw. TN → ∞, TV = 0) ↓ zunächst kleinen Übertragungsbeiwert des P-Reglers wählen (KR klein, bzw. XR =1(KR groß) ↓ KR langsam erhöhen bis Regelstrecke zu schwingen beginnt ↓ 5

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen man erhält: kritischer Übertragungsbeiwert: KR,krit Periodendauer der Schwingung: Tkrit ↓

PD/PI/PID-Regler – Einstellung Faustregeln 

Ziel: langsamste – aber stabile – Streckenpole mit den größten Zeitkonstanten kompensieren o PD-Regler und PI-Regler ermöglichen das Kompensieren (Herauskürzen) eines Streckenpols o PID-Regler ermöglichen das Kompensieren (Herauskürzen) zweier Streckenpole

 

kritische Verstärkung KRG finden, bei der der geschlossene Kreis instabil wird Einstell-Verstärkung 5-10% der kritischen Verstärkung KRG einstellen

PID-Regler Fehlersuche

Praktische Regelungsprobleme   

Anti-Wind-Up (siehe Anti-Wind-Up) Diskretisierung Totzeit bei PWM

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Regelung von Kälte- und Klimaanlagen

Numerische Implementierung von Regler 





Trapez-Regel (Tustin-Approximation): o falls möglich bei Reglerimplementierung verwenden o Transformation zwischen zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter Darstellung von Systemfunktionen o wichtige dynamische Eigenschaften (Dämpfung und Regler-Geschwindigkeit) bleiben am besten erhalten o Stabilitätseigenschaft bei linearen Systemen unverändert o Pre-Warping kann hilfreicher Trick sein, um mögliche Phasenverluste bei der Diskretisierung zu verhindern  durch Tustin-Trafo wird der Phasenverlauf verzerrt  Durchtritt durch die -180°-Linie im Phasenverlauf ändert sich  diese Änderung ist an der Stabilitätsgrenze möglicherweise kritisch  Trick: Pre-Wraping  genau bei der frei wählbaren Frequenz ω0 tritt keine Phasenverzerrung auf  daher wählt man ω0 als Durchtrittsfrequenz der zeitkont. Regelung Euler-Vorwärts: o am einfachsten umzusetzen o kann aber im Zeitdiskreten zur Instabilität führen, obwohl der kontinuierliche Regler stabil ist Euler-rückwärts

Digitale Implementierung eines Reglers   

Ein zeitkontinuierlicher Regler als zeitdiskretes System dargestellt werden, um auf einem Rechner implementierbar zu sein Dazu wird in der Übertragungsfunktion die Laplace-Variable s ersetzt durch einen Ausdruck mit der z-Variablen der z-Transformation Dadurch entsteht eine Differenzengleichung (Rekursionsgleichung)

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Forderungen an Regelkreis: stabil, stat. genau, schnell und gedämpft 



  

alle Pole links der imaginären Achse  lineares Modell stabil, aber schwach gedämpft  Arbeitspunkt stabil ein Pol rechts der imaginären Achse  lineares Modell instabil  Arbeitspunkt instabil ungedämpftes Schwingungsverhalten um den AP herum kann mit einer Regelung verbessert werden instabile AP lassen sich mit einer Regelung stabilisieren ein AP kann durch eine dauerhaft wirkende Stellgröße erzwungen werden

Modellbildung/Systemidentifikation     

gerätetechnische Darstellung einer Anlage ist oft sehr umfangreich und damit schwer zu überblicken Untersuchungen an einem Modell der Anlag, das nur noch die wesentlichen, für die Aufgabenstellung maßgeblichen Eigenschaften wiedergibt Schema, ein Schaltplan oder ein Wirkschaltbild aufstellen theoretische oder/und experimentelle Ermittlung der quantitativen Abhängigkeit der Ausgangsvon den Eingangsgrößen eines Systems System wird mit definierten Testsignalen (Sprung, Impuls, Rampe o.Ä.) angeregt und der Ausgang aufgezeichnet

Inneres Modell Prinzip (erklären und anwenden können) Inneres Modell-Prinzip: Ein Regelkreis kann ein Störsignal vollständig unterdrücken, wenn er ein „inneres Modell“ des Störsignals enthält → Modell der Störung wird in den Regler integriert 

um stationäre Genauigkeit zu erlangen, muss immer das Sollgrößenmodell betrachtet werden 8

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen  

Achtung: Stabilität wird hier nicht beachtet Regler kann nur dann einer Sollgröße exakt folgen, wenn Sollgrößenmodell im offenen Kreis enthalten ist  einfacher Pol bei Sollsignal Sprungfunktion  Doppelpol bei Sollsignal Rampenfunktion  konjungiert komplexer Pol bei sinusförmigem Sollsignal

Inneres-Modell-Prinzip gilt auch für die Unterdrückung von Störsignalen: Störgrößenmodell muss hierfür in offenem Kreis enthalten sein

Parameteridentifikation    

zuerst wird eine geeignete Modellstruktur gewählt, wobei physikalisches Vorwissen über den zu modellierenden Prozess sehr hilfreich ist Nach Festlegung der Modellstruktur (z.B. PT1-Modell mit Totzeit) sind die noch unbekannten Modellparameter zu identifizieren Dazu wird die Anpassung des Modells an Messdaten als Optimierungsproblem formuliert Parameteridentifikation ist also eine Extremwertsuche bei einer mehrdimensionalen Funktion, die als Gütemaßfunktion die Abweichungen des Modells von den Messdaten in Abhängigkeit der noch unbekannten Modellparameter beschreibt

Reglerentwurfsverfahren  

Aufbau des Regelkreises erfolgt zunächst im Signalflussplan Wenn die Kreisstruktur hergestellt ist, kann der Regler mit Hilfe eines Entwurfsverfahrens bestimmt werden

Wurzelortskurve   

In der Praxis wird die WOK rechnergestützt ermittelt und grafisch dargestellt Die WOK zeigt in Abhängigkeit des Parameters Kreisverstärkung die Lage aller Pole des geschlossenen Kreises wichtige Eigenschaften der WOK:

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Regelung von Kälte- und Klimaanlagen





kritisch ist es, wenn n-q ≥ 3 gilt. Dann streben drei Äste gegen unendlich und es wird bei hohen Verstärkungen Instabilität auftreten. (zwei Äste schneiden die imaginäre Achse) (n ist die Anzahl der Pole und q ist die Anzahl der Nullstellen) der offene Kreis darf keine Totzeitglieder enthalten (man nähert die Totzeit mit der Padé-Approxiation der Ordnung N an und verwendet dennoch die WOK-Methode)



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Bode-Diagramm 

Übertragungsfunktionen nur auf der imaginären Achse ausgewertet führen auf den Frequenzgang 11

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen 

   

Wird das System G(s) mit einem Eingangssignal u(t) = sin(ωt) angeregt, so tritt am Ausgang des Systems im stationären Fall (alle Übergangsvorgänge sind abgeschlossen) eine folgende Schwingung auf Der Frequenzgang ist eine komplexe Größe und durch Betrag und Phase charakterisiert Im Bode-Diagramm werden Betrag und Phase doppellogarithmisch dargestellt. Diese Darstellung ist auch bei Systemen mit Totzeit möglich Dynamische Eigenschaften (Dämpfung, Stabilität, stationäre Genauigkeit) sind aus dem Frequenzgang ablesbar

Smith-Prädikator (Ansatz/Entwurf)   

zur Regelung bei Totzeit Einsatz bei Totzeit, um bessere Regelungsziele zu erreichen Idee: Die störende Wirkung der Totzeit aus dem Regelkreis herausnehmen und dadurch leistungsfähigeren Regler entwerfen

Anti-Wind-Up Wind-up-Effekt bei Großsignalverhalten: tritt auf, wenn beim I-Regler die Stellgröße u(t) durch die Regelstrecke begrenzt wird Integration des Reglers arbeitet weiter, ohne dass die Stellgröße zunimmt wird die Regelabweichung e(t) kleiner, entsteht beim Rücklauf von u(t) eine ungewollte Verzögerung der Stellgröße und damit der Regelgröße y(t)  Begrenzung der Integration auf die Stellgrößen-Grenzen = Anti-wind-up

  

Anti-Windup-Maßnahmen:   

Reglerausgangssignal ist zu groß für das Stellglied, in der Praxis sind alle Stellgrößen begrenzt integrierende Regler geben immer größeres Signal aus, das nicht wirksam auf die Strecke wirken kann Integrierer verhält sich in diesem Fall nicht modellgemäß (nichtlineares Verhalten durch Sättigung) → Reglerperformance wird verringert, im schlimmsten Fall wird Regler instabil → Gegenmaßnahmen: Anti-Windup-Maßnahmen



muss bei allen integrierenden Reglern in der Praxis beachtet werden

Totzeit Totzeit 

Zeitspanne zwischen Signaländerung am Systemeingang und der Signalantwort am Systemausgang einer Regelstrecke

effektive Totzeit bei einer PWM:  

PWM verursacht Signalverzögerung um beim Reglerentwurf muss diese zusätzliche Totzeit TPWM/2 berücksichtigt werden 12

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen

Padé-Approximation Totzeit-Annäherung   

Pole und Nullstellen sind spiegelbildlich zur imaginären Achse angeordnet eine höhere Ordnung approximiert bei höheren Frequenzen das ideale Totzeitverhalten besser für Analyse des Stabilitätsverhaltens reicht häufig die Approximationsordnung n=1 bis 3 aus

Regelungsstrukturen/Regelkreisstrukturen Kaskadenregler

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Regelung von Kälte- und Klimaanlagen  

In der industriellen Praxis weit verbreitet, wenn mehrere Messgrößen der Strecke vorliegen Entwurf von innen nach außen mit den bekannten Verfahren.

Vorsteuerung

   

Trennung von Führungs- und Störverhalten durch Vorsteuerung möglich Vorsteuerung führt die Regelgröße und die Regelung unterdrückt Störungen Bei perfekter Vorsteuerung muss der Regler bei Führungsgrößenänderungen nicht eingreifen Führungsübertragungsverhalten ist durch folgende Übertragungsfunktion insgesamt gegeben:

Vorfilter   

Systeme mit Totzeit lassen sich nicht invertieren für kleine Frequenzen ist eine Inversion möglich, für hohe Frequenzen wird ein Filter in die Vorsteuerung hinzugefügt bei Verwendung des Vorfilters zur Vorsteuerung ist keine Systeminversion notwendig

Beispiel einer Vorsteuerung V(s) mit Vorfilter F(s):

Wenn der Regelfehler verschwindet, bestimmt nur die Vorsteuerung das Führungsverhalten

 

 Vorfilter für Symmetrierung: F(s) = G(s) V(s) Vorfilter verändert die von außen kommende Führungsgröße und erzeugt eine neue Führungsgrößensprünge können so abgemildert werden 14

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen  

Stationäre Genauigkeit kann durch Vorfilter verbessert werden Integrierer im offenen Kreis ist trotzdem besser (zum Erreichen stationärer Genauigkeit), da er auch bei Modellfehlern und unbekannten konstanten Störgrößen wirkt

Störgrößenaufschaltung 

durch eine Aufschaltung gemessener Störgrößen kann die Wirkung dieser Störung auf die Regelgröße reduziert werden

Kältekreislauf

Temperaturverlauf bei Trockenexpansion: höhere Effizienz des Verdampfers, wenn ein Phasenübergang des Kältemittels stattfindet, die Überhitzungsstrecke möglichst klein ist 15

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen

Expansionsventile Füllungen für thermostatische Ex-Ventile:

Thermostatische Expansionsventile mit Gasfüllung:  

nur sehr wenig Flüssigkeit (wenig Tröpfchen) im Fühler reagiert aufgrund der sehr kleinen Füllmengen sehr schnell auf Temperatur Änderungen

Thermostatische Expansionsventile mit Gas-MOP-Füllung: 





MOT = Maximum Operation Temperature = Temperatur in der Saugleitung, bei der die Thermokopffüllung in den überhitzten Zustand übergeht MOP = Maximum Operation Pressure, der zur MOT gehört im überhitzten Bereich steigt der Druck nur noch sehr langsam an (Druckbegrenzung) → vorteilhaft bei Anlaufvorgängen, bei denen der Verdampfer noch warm ist. Der Druck im Thermokopf reicht in diesem Fall nicht aus, um das Ventil gegen den hohen Saugdruck zu öffnen. Der Verdichter wird so in den ersten Sekunden entlastet, bis sich ein entsprechend niedriger Saugdruck aufgebaut hat. sehr verbreitet bei Fahrzeugklimaanlagen (hier nur zum Schutz des Thermokopfes vor zu hohen Drücken) 16

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen Thermostatische Expansionsventil- weitere Füllungen:  

Gas-Ballast-Füllungen Ballast hat dämpfende Eigenschaften auf das Regelverhalten Adsorptionsfüllungen (z.B. Aktivkohle + CO2) Adsorber (z.B. Aktivkohle) im Thermokopf adsorbiert je nach Temperatur unterschiedliche Mengen Gas → fast lineare Druckänderung langsames Ansprechverhalten

Regelcharakteristik:  

Thermostatisches Expansionsventil regelt streng genommen nicht die Überhitzung als Sollwert wird nämlich die Federvorspannkraft und nicht die Überhitzung vorgeben aufgrund der Charakteristik der Steuerfüllung ergibt sich jedoch ein Regelbereich, der indirekt zu einer entsprechenden Anpassung der Überhitzung führt

Minimal Stabiles Signal – MSS –Kennlinie:  

veränderter Wärmeübergang am Verdampfer (z.B. Vereisung) führt zu einer Variation der MSS-Kennlinie in diesem Fall kann es zu „Hunting“ (stochastische Schwingung der Überhitzung) kommen

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Regelung von Kälte- und Klimaanlagen Vorteile elektronisches Expansionsventil + elektr. Regelung:

Beispiel Reglerentwurf für Überhitzungsregelung       

  

Überhitzung aus gemessenem Druck und gemessener Temperatur bestimmbar Ziel: Reglerentwurf (PI-Regler) für Überhitzungsregelung Führungsgröße muss so gewählt werden, dass die Überhitzung an der MSS-Kennlinie des Verdichters im „stabilen Betrieb“ liegt Überhitzung darf nicht in den instabilen Bereich der MSS eintreten → Überschwingen der Regelung vermeiden! Modell experimentell bestimmt (Systemidentifikation) Besser wäre physikalisch hergeleitetes (nichtlineares) Modell, das von nachvollziehbaren Parametern abhängt Physikalisches Modell dann bei Bedarf um den Arbeitspunkt linearisieren

PT3-Glied (enthält auch die Sensordynamik) und Totzeit in Reihe negative Verstärkung ist physikalisch plausibel, stört aber bei der Regelung → Signal invertieren (mit -1 multiplizieren, geht elektrisch/programmtechnisch immer) Totzeit kann mit Padé-Approximation nachgebildet werden

Empirische PID-Reglereinstellung Ausgangspunkt: Sprungantwort des Regelkreises (Modell nicht bekannt/nötig) 

abwechselndes Erhöhen von KP und KD (Ki = 0 belassen): o KP erhöhen bis Überschwingung auftritt 18

Regelung von Kälte- und Klimaanlagen

      

o KD erhöhen bis Überschwingung wieder weg/geringer Wiederholen bis Grenze erreicht Reduktion von KP und KD (z.B. 50%) danach Erhöhung von Ki garantiert stationäre Genauigkeit Optimierung bis gewünschtes Verhalten erreich Zeilkonflikt: Überschwingung versus Ausregelzeit abschließende Feinjustierung der Parameter die Stellsignale des P-, I- und D-zweigs sollten in einer ähnlichen Größenordnung liegen

19...