Relatório 3 - Estudo do movimento de uma esfera em queda livre PDF

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Relatório da aula prática sobre uma esfera em queda livre...

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Estudo do movimento de uma esfera em queda livre.

¹ Engenharia de Alimentos Maio de 2016

Resumo Nesta prática, serão estudados conceitos do movimento de queda livre, como posição, tempo e velocidade. Serão obtidas ainda, através de gráficos, as dependências temporais da posição no estudo do movimento retilíneo uniformemente variado (participação da gravidade), além da compreensão e aplicação da linearização de gráficos para facilitar a observação dos dados coletados.

1 Introdução Dá-se o nome movimento de queda livre ao movimento que sofre ação da aceleração da gravidade. Através de estudos e experiências, averiguou-se que a velocidade de qualquer corpo independente do seu peso, em queda livre, aumenta sempre de quantidade iguais em cada 1s. Esse aumento medido é igual a 9,81m/s. Todo corpo abandonado em uma altura h em relação ao solo estará sujeito a aceleração gravitacional terrestre. A aceleração da gravidade varia em módulo, direção e sentido conforme a latitude, portanto não é constante. A linearização trata-se do procedimento para tornar-se uma curva que não é uma reta em uma reta. É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta. A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva. O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados.

Neste trabalho, serão estudados o movimento de um corpo em queda livre e estimada o valor da aceleração gravitacional local.

2 Métodos 2.1 Modelo Teórico A velocidade em um dado instante de tempo pode ser calculada indiretamente, através da relação entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrer esse dado espaço. v =v m =ΔY / ΔT

(Equação 1)

onde, v = velocidade; ΔX = variação do espaço; ΔT = variação do tempo. A função horária do espaço é descrita por: 1 Y ( t ) =Y o+V o∗t+ ∗g∗t ² 2 (Equação 2) onde,

Y ( t ) = posição atual;

Y o = posição inicial; V o = velocidade inicial; t = tempo; g = aceleração da gravidade.

Uma vez que na presente prática, a esfera de metal foi solta de um ponto muito próximo ao primeiro sensor de movimento, pode-se considerar que nesse dado instante sua velocidade fosse nula. Logo, a equação 1 pode ser simplificada a: 1 Y ( t ) = ∗g∗t ² 2

2 Y (t ) t²

(Equação 4)

Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares, usando papéis mono e di-log. É um método aplicado quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida.

Uma maneira de linearizar a função é aplicando o logaritmo na base 10 em ambos os lados da expressão. Tem-se: log Y (X )=log λBNX (Equação 5.1) ⇒logY ( X )=log λ+ log B NX (Equação 5.2) ⇒logY ( X )=log λ+ NX log B (Equação 5.3)

f (x)=log y ( x )=ax +b

(Equação 6)

onde, a = coeficiente angular; b = coeficiente linear. Pode-se observar que f ( x ) =log y ( x ) é uma função polinomial do primeiro grau, cujo gráfico é uma reta.

(Equação 3)

Deste modo conhecida a posição do objeto em um dado instante, pode-se estimar a aceleração da gravidade para um dado local. Esta será dada por: g=

Tomando b = log e a = N log B e substituindo na equação, obteremos a função:

2.2 Métodos Experimentais Inicialmente, foi realizada a montagem experimental, sendo fixada uma haste de alumínio com escala em um tripé de ferro com sapatas niveladoras. Um eletroímã foi fixado na haste metálica a uma distância de aproximadamente 0,0000 ± 0,0005 m em relação a marcação zero da escala, que fica no topo da mesma. Conseguinte, o mesmo foi ligado à uma unidade de controle de tensão variável. A esfera metálica foi colocada em contato com o eletroímã e realizou-se a regulagem da tensão elétrica necessária para que a esfera ficasse na iminência de cair. Foram dispostos cinco sensores com suporte fixador, sendo o primeiro colocado a uma altura de 0,1000 ± 0,0005 m em relação ao topo da haste, fazendo com a esfera de metal, sustentada pelo eletroímã, tivesse uma distância aproximada igual a zero em relação ao mesmo. Os demais sensores foram dispostos em espaçamentos equidistantes e iguais a 0,1000 ± 0,0005 m. Os sensores de movimento foram utilizados para registro do intervalo de tempo necessário para que a esfera se deslocasse entre dois pontos. As leituras dos intervalos de tempo necessários

Figura 1: Montagem equipamentos.

para que a esfera metálica se deslocasse entre o ponto X0 e o ponto Xn em questão foram registradas com a utilização de um cronômetro digital de precisão 0,001 s (incerteza de 0,001 s), ligado aos sensores de movimento. Para a contenção da esfera em queda, na marcação 0,6000 ± 0,0005 m da haste de alumínio foi fixado um suporte com saquinho, visando evitar o impacto da esfera com a mesa. Com todos os instrumentos necessários montados, realizou-se o nivelamento do tripé, através das sapatas niveladoras. A montagem experimental é apresentada na Figura 1.

experimental

dos

Para coleta dos dados, foram utilizadas duas esferas metálicas de massas, que tiveram suas massas tomadas com o auxílio de uma balança digital com precisão de 0,01 g (incerteza de 0,01 g), sendo estas 33,04 ± 0,01 g e 63,79 ± 0,01 g, respectivamente. Colocada a primeira esfera, o eletroímã foi desligado através da chave liga-desliga, e os intervalos de tempo foram registrados, conforme apresentado na Tabela 1.1. O procedimento foi repetido por seis vezes, utilizando a mesma esfera.

3 Discussão e Resultados que o intervalo de tempo necessário para que a esfera se deslocasse entre dois pontos é igual ou muito próximo para todas as repetições.

Os dados experimentais de tempo e deslocamento obtidos nas seis aquisições de dados utilizando a primeira esfera são apresentados nas tabelas de 1.1 a 1.6. Pode-se verificar Tabela 1.1: Dados experimentais obtidas para a primeira esfera – repetição 1 (cálculos de incerteza no apêndice A)

0,0000 ± 0,0005

Y0 (m)

Y (m)

ΔY (m)

T (s)

0,0000 ± 0,0005

0,1000 ± 0,0005

0,100 ± 0,001

0,150 ± 0,0015

0,0000 ± 0,0005

0,2000 ± 0,0005

0,200 ± 0,001

0,207 ± 0,0010

0,0000 ± 0,0005

0,3000 ± 0,0005

0,300 ± 0,001

0,253 ± 0,0012

0,4000 ± 0,0005

0,400 ± 0,001

0,290 ± 0,0015

Tabela 1.2: Dados experimentais obtidas para a primeira esfera – repetição 2 (cálculos de incerteza no apêndice A) Y0 (m)

Y (m)

ΔY (m)

T (s)

0,0000 ± 0,0005

0,1000 ± 0,0005

0,100 ± 0,001

0,151 ± 0,0015

0,0000 ± 0,0005

0,2000 ± 0,0005

0,200 ± 0,001

0,207 ± 0,0010

0,0000 ± 0,0005

0,3000 ± 0,0005

0,300 ± 0,001

0,253 ± 0,0012

0,0000 ± 0,0005

0,4000 ± 0,0005

0,400 ± 0,001

0,290 ± 0,0015

Tabela 1.3: Dados experimentais obtidas para a primeira esfera – repetição 3 (cálculos de incerteza no apêndice A) Y0 (m)

Y (m)

ΔY (m)

T (s)

0,0000 ± 0,0005

0,1000 ± 0,0005

0,100 ± 0,001

0,151 ± 0,0015

0,0000 ± 0,0005

0,2000 ± 0,0005

0,200 ± 0,001

0,207 ± 0,0010

0,0000 ± 0,0005

0,3000 ± 0,0005

0,300 ± 0,001

0,253 ± 0,0012

0,0000 ± 0,0005

0,4000 ± 0,0005

0,400 ± 0,001

0,290 ± 0,0015

Tabela 1.4: Dados experimentais obtidas para a primeira esfera – repetição 4 (cálculos de incerteza no apêndice A) Y0 (m)

Y (m)

ΔY (m)

T (s)

0,0000 ± 0,0005

0,1000 ± 0,0005

0,100 ± 0,001

0,151 ± 0,0015

0,0000 ± 0,0005

0,2000 ± 0,0005

0,200 ± 0,001

0,207 ± 0,0010

0,0000 ± 0,0005

0,3000 ± 0,0005

0,300 ± 0,001

0,253 ± 0,0012

0,0000 ± 0,0005

0,4000 ± 0,0005

0,400 ± 0,001

0,290 ± 0,0015

Tabela 1.5: Dados experimentais obtidas para a primeira esfera – repetição 1 (cálculos de incerteza no apêndice A) Y0 (m)

Y (m)

ΔY (m)

T (s)

0,0000 ± 0,0005

0,1000 ± 0,0005

0,100 ± 0,001

0,150 ± 0,0015

0,0000 ± 0,0005

0,2000 ± 0,0005

0,200 ± 0,001

0,207 ± 0,0010

0,0000 ± 0,0005

0,3000 ± 0,0005

0,300 ± 0,001

0,253 ± 0,0012

0,0000 ± 0,0005

0,4000 ± 0,0005

0,400 ± 0,001

0,290 ± 0,0015

Tabela 1.6: Dados experimentais obtidas para a primeira esfera – repetição 1 (cálculos de incerteza no apêndice A)

Y0 (m)

Y (m)

ΔY (m)

T (s)

0,0000 ± 0,0005

0,1000 ± 0,0005

0,100 ± 0,001

0,150 ± 0,0015

0,0000 ± 0,0005

0,2000 ± 0,0005

0,200 ± 0,001

0,207 ± 0,0010

0,0000 ± 0,0005

0,3000 ± 0,0005

0,300 ± 0,001

0,253 ± 0,0012

0,0000 ± 0,0005

0,4000 ± 0,0005

0,400 ± 0,001

0,290 ± 0,0015

tempo médias obtidas para a primeira esfera e aos dados experimentais obtidos para a segunda esfera, a massa não influenciará no tempo que o dado corpo levará para cair. Isso significa que dois corpos com massas bem distintas, como os utilizados nesta prática, levarão um intervalo de tempo igual ou muito próximo para se deslocar de um ponto Y0 até um ponto Y, ao longo de um plano vertical. Conforme a Segunda Lei de Newton, que relaciona a massa com a aceleração, a massa do corpo terá influência proporcionalmente direta na força com que esse corpo atinge o ponto Y, uma vez que a aceleração da gravidade é tida como constante e igual a 9,81 m/s². Analisa-se pois que a massa Tabela 2: Médias dos tempos e deslocamentos do corpo não influenciará no intervalo para as seis repetições utilizando a esfera 1: de tempo necessário para que este Y (m) Y (m) ΔY (m) T (s) 0,0000 ± 0,0005 0,1000 ± 0,0005 0,100 ± 0,001 0,1505 ± 0,0015 realize o deslocamento. A tabela 4 apresenta os dados de 0,0000 ± 0,0005 0,2000 ± 0,0005 0,200 ± 0,001 0,2072 ± 0,0010 Y e T ² são apresentadas na Tabela 4. 0,0000 ± 0,0005 0,3000 ± 0,0005 0,300 ± 0,001 0,2530 ± 0,0012 0,0000 ± 0,0005 0,4000 ± 0,0005 0,400 ± 0,001 0,2897 ± 0,0015 Ao fazer a observação dos dados apresentados no que apresenta valores de YeT ² evidencia que as grandezas A Tabela 3 apresentado os dados deslocamento e intervalo de tempo são experimentais coletados utilizando a diretamente proporcionais. A reta que segunda esfera, que tinha massa igual a melhor descreve os dados é 63,79 ± 0,01 g. y (t)=6,65t ²−0,95 . A Tabela 2 apresenta os dados das médias de deslocamento e tempo médios para as seis repetições utilizando a primeira esfera. Tais dados estão também apresentados no Gráfico 1, sendo este feito em papel milimetrado. Para tais dados, obtidos a partir das médias das repetições, foram realizados os cálculos das incertezas finais, conforme descrito no apêndice A. Esses dados foram escolhidos em virtude de terem sido realizadas apenas seis aquisições utilizando a primeira esfera e uma utilizando a segunda. Deste modo, foram utilizados por se referirem ao maior número de aquisições (seis), trazendo maior confiabilidade aos resultados obtidos.

0

Tabela 3: Dados experimentais médios obtidos para a segunda esfera.

Tabela 4: Dados de ΔY em função de T² (Cálculos de incerteza no apêndice A)

Y0 (m)

Y (m)

ΔY (m)

T (s)

0,0000 ± 0,0005

0,1000 ± 0,0005

0,100 ± 0,001

0,1503 ± 0,0014

0,0000 ± 0,0005

0,2000 ± 0,0005

0,200 ± 0,001

0,2072 ± 0,0013

0,0000 ± 0,0005

0,3000 ± 0,0005

0,300 ± 0,001

0,2530 ± 0,0010

0,0000 ± 0,0005

0,4000 ± 0,0005

0,400 ± 0,001

0,2897 ± 0,0014

Conforme pode ser analisado a partir dos dados referentes ao deslocamento e

ΔY (m)

T² (s²)

0,100 ± 0,001

0,0226 ± 0,000068

0,200 ± 0,001

0,0428 ± 0,000086

0,300 ± 0,001

0,0639 ± 0,000015

0,400 ± 0,001

0,0838 ± 0,000025

O valor para gravidade foi obtido através do gráfico di-logaritmo

apresentando o valor de ~ 10,04 ± 0,01. O erro percentual relacionado ao valor médio de gravidade encontrado para o 2,34 % . presente experimento é Como já citado anteriormente, a

δ ΔY =δ Y o + δ Y

4 Conclusões Neste trabalho, foi realizado o estudo de um corpo em queda livre e estimado o cálculo de valor da aceleração gravitacional local. O erro percentual relacionado ao valor de gravidade Os encontrado foi 2,34 % . procedimentos descritos podem ser utilizados para análise da gravidade local em outras localidades.

5 Referências [1] HALLIDAY, D. & RESNICK, R., Fundamentos de Física 1 - Mecânica , 9ª edição. [2] Roteiro Experimental – queda livre , UFAL, Instituto de Física, Maceió, 2015 [3] Física Experimental I – Linearização de gráficos, disponível em: http://fisica.ufpr.br/cf358/linearizacao,

A Cálculo das incertezas Para todos as medidas aferidas com equipamentos, tem-se erros relacionados à sua obtenção. Equipamentos de medida nãoeletrônicos, na qual a incerteza não é fornecida pelo fabricante, esta é obtida de forma simples, dividindo-se a menor leitura do instrumento por dois: δ=

L 2

resistência do ar influenciará na queda da esfera e, consequentemente, fará com que esse valor varie. (Cálculos de erro percentual no apêndice B).

(Equação 7)

Para medidas indiretas determinadas a partir da adição ou subtração de ΔY medidas diretas, como a incerteza é dada por:

(Equação 8)

δ ΔY = incerteza onde, associada ao intervalo de deslocamento; δ Y o = incerteza associada ao deslocamento vertical inicial; δ Y = incerteza relacionada ao deslocamento vertical final. Para medidas finais obtidas a partir de operações com outras medidas, a incerteza é dada por: δ Final= δ Eq . + δ Est .

(Equação 9)

δ Final = incerteza final onde, relacionada ao dado; δ Eq . = incerteza de medida relacionada ao equipamento; δ Est . = incerteza de medida relacionada à média dos desvios;

A média dos desvios, no caso do tempo, é dada por:

n

∑ (´t −t i )

δEst .= em que,

x=1

(Equação 10)

n ´t = média amostral; ti = valor da amostra; n = número de amostras.

B Cálculo das incertezas Seja gr o valor da aceleração da gravidade de referência ( 9,81 m /s ²)

g e o valor medido. O erro percentual é:

E(% )=

|g−g r| gr

(Equação 11)...