Relatório de movimento parabólico PDF

Preview

Summary

.......

Description

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

MOVIMENTO PARABÓLICO

SÃO CRISTÓVÃO, SE 10 DE ABRIL DE 2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE FÍSICA

MOVIMENTO PARABÓLICO

Relatório apresentado à Universidade Federal de Sergipe, Centro de Ciências Exatas e Tecnologia, Departamento de Física, como um dos pré-requisitos para a conclusão da disciplina Laboratório de Física A.

LABORATÓRIO DE FÍSICA A

SÃO CRISTÓVÃO, SE 2018

1. INTRODUÇÃO O movimento parabólico está presente em várias situações do nosso cotidiano. Tais situações podem ser observadas, como por exemplo, quando um jogador de futebol chuta a bola formando um ângulo com a horizontal, e faz uma trajetória parabólica onde a resistência do ar é desprezada e considera-se que a única força que atua sobre o corpo (no caso, a bola) é a força peso. O movimento é um movimento bidimensional, sendo caracterizada por dois movimentos simultâneos e perpendiculares entre si (um na vertical e outro na horizontal). De acordo com o Princípio da Independência, enunciado por Galileu, o corpo que tem movimento bidimensional realiza seu movimento vertical independente do horizontal, ou seja, são movimentos independentes entre si.

Considerando o tempo inicial como 𝑡 = 0, a aceleração da gravidade sendo g e de sentido contrário a direção vertical e a velocidade inicial como 𝑣 = 0, temos que: x = 𝑥 + 𝑣 .t 

y = 𝑦 + 𝑣 .t − .g𝑡  

Como 𝑣 e 𝑣 são as componentes da velocidade inicial das direções de x e y, temos que: 𝑣 = 𝑣 .cosθ

𝑣 = 𝑣 .senθ Considerando um caso mais simplificado, onde o corpo é lançado de forma horizontal da posição inicial 𝑦 = H e 𝑥 = 0, isto é, com θ = 0, 𝑣 = 0 e 𝑣 = 𝑣 , temos que: x = 𝑣.t 

y = H − .g𝑡 

O alcance (A) e instante do impacto (𝑡 ) são determindos fazendo y(𝑡 ) = 0 e x(𝑡 ) = A, logo: 

𝑡 =





A = 𝑣 .𝑡 = 𝑣 .  

Neste experimento serão envolvidos conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, além do momento de inércia, desprezando-se o atrito resultante da força de resistência do ar.

2. OBJETIVOS Com o auxílio do software Tracker, esse experimento tem por objetivo contribuir na compreensão das equações que ditam o movimento parabólico pelo lançamento horizontal de uma esfera de material emborrachado. Com isso, comparar os dados calculados a partir de valores teóricos e condições iniciais do sistema determinado por ele com os dados obtidos no experimento. Ao final, deve-se calcular o valor da aceleração da gravidade a partir dos dados do experimento, comparando o resultado obtido com o valor teórico anteriormente definido.

3. MATERIAIS E MÉTODOS Os materiais necessários para a realização deste experimento são:      

Dispositivo para lançamento horizontal de projéteis Bola de borracha Câmera digital ou celular para filmagem Tripé para fixação da câmera digital ou celular Régua graduada fixada na horizontal ou vertical Trenas

Deve-se posicionar a calha de suporte na borda da bancada, como mostra a imagem acima. Fixar a câmera de tal maneira que fique alinhado com o sistema de referência e que o enquadramento tenha a bola desde a posição em que ela é liberada, em cima do suporte, até o chão; além da régua de referência, incluindo pelo menos um choque no solo e a altura ℎ′ alcançada. As imagens devem ser nitidamente capturadas e compatíveis ao uso do software Tracker.

Posicionar a esfera de borracha no topo do dispositivo e dar início ao vídeo. Com as imagens capturadas, deve-se transferir o arquivo para o programa, onde serão analisadas tendo como base de referência aproximado o centro de massa da bola, em cada instante. Colete os dados fornecidos pelo software, referente ao tempo e a posição da bola em relação ao sistema de eixos. Para incerteza do tempo, adote o menos tempo que a câmera consegue filmar entre dois quadros. Para incerteza dos espaços 𝑥 e 𝑦, depois de medir as coordenadas, posicione o cursor nas extremidades do objeto e anote os valores de 𝑥 e 𝑦 da esquerda e da direta, acima e abaixo. O módulo da diferença corresponderá a incerteza: 𝜎 =

    

𝜎 =

    

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 4.1 TABELA DE VALORES

4. 2 GRÁFICOS

𝒙 (𝑚 )

4.2.1

𝒙 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝒕

𝒕 (𝑠)

𝒚 (𝑚)

4.2.2

𝒚 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝒕𝟐

𝒕𝟐 (𝑠 )

𝒚 (𝑚 )

4.2.3

𝒚 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝒙

𝒙 (𝑚)

4.3 DISCUSSÃO Sabendo-se que o gráfico 𝑥 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑡 obedece à fórmula 𝑥 = 𝑣 . 𝑡 e sendo a velocidade inicial uma constante (já que na horizontal não há aceleração), então espera-se um gráfico de uma reta [assim como observado no item 4.2.1] de coeficiente angular igual a 𝑣 .

𝒙 (𝑚)

Com o auxílio do programa SciDAVis e levando em consideração que, para determinação do coeficiente angular numericamente igual a velocidade, devemos observar os melhores pontos do movimento parabólico apresentado. Ou seja, depois que a bolinha saiu da plataforma, e antes que ela toque o chão.

𝒕 (𝑠)

𝒗𝟎𝒆 = 𝟏, 𝟏𝟑 ± 𝟎, 𝟑𝟐 𝒎/𝒔 Já o gráfico 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑡 obedece a equação 𝑦 = 𝐻 −

 .  

, que forma uma parábola. Porém, ao se

utilizar o artifício de construir o gráfico 𝑦 𝑣𝑒𝑠𝑢𝑠 𝑡 , espera-se uma reta [como observado no item 4.2.2] de  coeficiente angular igual a −  . 𝒚 (𝑚)



𝒕𝟐 (𝑠 )

Sendo 𝑚 = − 1,88 ± 0,29, temos que:

𝑔 = 2. 𝑚 = 2 . 1,88 = 3,76 𝑚/𝑠

E uma incerteza definida por propagação de incertezas: 𝜎 = 

𝜕𝑔

 𝜕𝑚  . 𝜎  = 2. 𝜕𝑚 . 𝜎 = 2. 𝜎 = 2. 0,29 = 0,58 𝑚/𝑠 𝜕𝑚

𝒚 (𝑚)

Segundo o experimento, a bola desliza por um suporte de altura ℎ. Utilizando o programa Tracker, é possível identificar a altura do objeto antes de iniciar este movimento, como também a altura 𝐻 de quando ele chega ao final do suporte e cai realizando um movimento parabólico. Depois de chegar ao chão, a bola quica e atinge uma altura ℎ′, que representa a altura máxima atingida depois do choque (que será utilizada na determinação do coeficiente de restituição do objeto).

1,085 0,987

ℎ

0,693 𝐻

ℎ′

𝒙 (𝑚) Portanto, os valores obtidos para as alturas indicadas acima foram juntamente com sua incerteza previamente determinada: 𝒉 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟖 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎

𝑯 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟕 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎

𝒉󰆒 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎 Considerando que a energia se conserva durante o movimento pelo suporte, podemos calcular o valor teórico da velocidade da bola ao deixá-lo, ou seja, a velocidade inicial 𝑣 do movimento, por meio da fórmula de conservação de energia:

𝐸𝑚 = 𝐸𝑚 em que A é o ponto em que a bola está em repouso e B é o ponto em que ela chega ao final do suporte. Considerando um referencial em que a altura do ponto B é zero, no ponto A o objeto tem apenas energia potencial (𝐸𝑝 ) referente à altura ℎ, e no ponto B tem apenas energia cinética (𝐸𝑐 ) correspondente à velocidade 𝑣 . Assim, temos que: 𝐸𝑝 = 𝐸𝑐

𝑚 .𝑔 .ℎ =

𝑚 . 𝑣  2

𝑣 = 2 . 𝑔 . ℎ

em que 𝑔 é a aceleração da gravidade com valor igual a 9,78 𝑚/𝑠  . Assim, substituindo os valores, obtemse que o valor teórico para velocidade da bolinha é: 𝑣 = 2 . 9,78 . 0,098 = 1,385 𝑚/𝑠

E, através da propagação de incertezas, e sabendo que 𝜎 é 0,001 𝑚, temos que: 𝜎 = 

 𝑔 9,78 𝜕𝑣 . 𝜎  = . 𝜎 = . 0,001 = 0,007 𝑚/𝑠 𝜕ℎ 1,38 2𝑔ℎ

𝒗𝟎 = 𝟏, 𝟑𝟖𝟓 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟕 𝒎/𝒔

Considerando o valor teórico como o valor real esperado no experimento (𝑣 ), temos que o erro relativo em relação ao valor obtido experimentalmente se deu por: 𝑒=

𝑣 − 𝑣  . 100% = 18,1% 𝑣

Através das equações: 𝑡 = 

2𝐻 𝑔

𝑒

𝐴 = 𝑣 . 𝑡

e tendo em vista o valor de 𝐻 , pode-se determinar também o tempo de trajetória do objeto (𝑡), desde o momento em que ele deixou o suporte, que é quando se inicia o movimento parabólico, até o momento em que ele tocou o solo; e a distância horizontal percorrida entre o ponto de lançamento e o ponto de impacto, também chamado de alcance do projétil (𝐴). 𝑡 = 

2. 0,987 = 0,45 𝑠 9,78

A fim de calcular a incerteza relacionada a 𝑡 (𝜎 ), utiliza-se a fórmula de propagação de incertezas:

𝜕𝑡  1 1 . 0,001 = 0,0007 𝑠 𝜎 =  . 𝜎  = . 𝜎 = 1,38 𝜕𝐻 𝒕𝑨 =2𝑔ℎ 𝟎, 𝟒𝟓𝟎 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒔 Para o cálculo do alcance e sua incerteza: 𝐴 = 1,385 . 0,45 = 0,623 𝑚

𝜎 = 

  𝜕𝐴 𝜕𝐴  . 𝜎  +  . 𝜎  = 𝑡. 𝜎  + (𝑣 . 𝜎 ) = (0,450 . 0,01) + (1,39 . 0,001) 𝜕𝑡 𝜕𝑣

= 2,21821 . 10 = 0,0047 𝑚

𝑨 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟑 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 𝒎 Através dos gráficos, também é possível descobrir o valor experimental de 𝑡  que é o valor no qual a reta do gráfico 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑡  encontra o eixo 𝑡  , ou seja, quando 𝑦 = 0. O valor encontrado, com o auxílio do programa SciDAVis foi: 𝑡  = 0,625 𝑠  Efetuando a raiz quadrada sobre esse valor, pode-se encontrar o valor experimental do tempo de trajetória (𝑡 ). Subtraindo esse valor pelo tempo em que a bola deixa o suporte na altura 𝐻 . 𝑡 = 0,625 − 0,402 = 0,791 − 0,402 = 0,389 𝑠

A incerteza relacionada ao valor do tempo obtido experimentalmente será a mesma para os dados de tempo obtidos a partir do Tracker. 𝒕𝒆 = 𝟎, 𝟑𝟗 ± 𝟎, 𝟎𝟑 𝒔

Por fim, dispondo do valor experimental de 𝑡, podemos observar as coordenadas de 𝑥 correspondentes ao tempo em que a bola deixa o suporte até o momento em que ela toca o chão. E calcular assim o alcance do movimento parabólico. 𝐴 = 0,712 − 0,302 = 0,41 𝑚

E sua incerteza também será a mesma para os dados de coordenada 𝑥 obtidos pelo Tracker. 𝑨𝒆 = 𝟎, 𝟒𝟏𝟎 ± 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎

𝒚 (𝑚 )

E condiz, mais ou menos, com gráfico da trajetória:

𝐴

𝒙 (𝑚)

Considerando o valor teórico como o valor real esperado no experimento, temos que o erro relativo em relação ao valor obtido experimentalmente do tempo se deu por: 𝑒= E relacionado ao alcance, temos que: 𝑒=

𝑡 − 𝑡  . 100% = 13,3% 𝑣

𝐴 − 𝐴  . 100% = 34,2% 𝐴

Consideramos como valores similares quando a diferença percentual relativa dos valores não ultrapassa 10%. Sendo assim, podemos avaliar que os valores obtidos experimentalmente não foram aqueles esperados, ou seja, os valores teóricos.

A filmagem permitiu registrar o movimento da bola não só quando ela deixa o suporte na altura 𝐻 , até sua chegada ao chão, como também a altura máxima atingida depois do choque. Com isso, possibilita o estudo da perda de energia durante a trajetória. Supondo que a energia mecânica se conserva, tem-se que o coeficiente de restituição (𝑟) equivale a: 𝑟=

ℎ′ 𝑣󰆒 = 𝑣 𝐻

0,693 𝑟 = 0,987 = 0,84

Pela definição e como o coeficiente de restituição está no intervalo 0 < 𝑟 < 1, podemos dizer que o choque foi elástico com perda de energia mecânica que se transforma em calor ou deformação. Sendo o coeficiente de restituição 0,84; podemos dizer que houve perda de 16% da energia mecânica, provavelmente dissipada em forma de deformação. O que leva a bola alcançar uma altura ℎ′ < 𝐻.

As diferenças entre os valores obtidos experimentalmente e os valores teóricos calculados, que são considerados os valores reais esperados; devem-se principalmente às condições que foram submetidas durante o experimento. A existência de atrito no movimento de deslize do suporte e na resistência do ar, que foi desconsiderada na resolução das questões, é o principal fator que implica no resultado teórico calculado para a velocidade inicial do objeto e na aceleração da gravidade. Além disso, fica difícil a comparação do valor teórico do tempo da trajetória (que se dá num sistema ideal, onde não há resistência do ar) com o valor experimental encontrado num sistema comum. Implicando também no valor teórico do alcance da trajetória, que é determinado através do tempo em que ela se dá.

CONCLUSÃO Foi possível a análise, a partir do experimento realizado em laboratório, o comportamento de um corpo ao ser submetido a um movimento parabólico, especificamente o lançamento horizontal (em que a velocidade inicial na vertical é nula). Aplicando os dados obtidos num gráfico 𝒙 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝒕 (deslocamento horizontal versus tempo), percebe-se uma reta crescente. Concluindo que o seu coeficiente angular é positivo, representando a velocidade horizontal durante o movimento. Ao aplicarmos as informações num gráfico do tipo 𝒚 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝒕² (deslocamento vertical versus tempo ao quadrado), percebe-se a formação de uma reta decrescente, e que o seu coeficiente angular representa metade da aceleração gravitacional experimental. Deve-se notar também que obtemos o tempo de alcance ao quadrado no momento em q a reta toca o eixo de 𝑡². Com esse valor, obtém-se o valor do tempo da trajetória e o seu alcance, que representa o tempo desde que a bola é lançada até tocar o solo e a distância horizontal percorrida durante esse tempo, respectivamente.

Ao construir os gráficos, é possível analisar valores para a velocidade inicial (𝑣 ), aceleração da gravidade (𝑔 ), tempo de trajetória (𝑡 ) e alcance (𝐴 ), possibilitando a comparação dos valores experimentais com os valores teóricos esperados, utilizando das fórmulas de conservação de energia (com exceção da gravidade, que já tem seu valor definido) e de movimento parabólico. Resultados finais: Velocidade inicial Aceleração da gravidade Tempo de Trajetória Alcance

VALOR TEÓRICO 1,385 ± 0 ,007 𝑚/𝑠 9,78 𝑚/𝑠² 0,450 ± 0,001 𝑠 0,623 ± 0,005 𝑚

VALOR EXPERIMENTAL 1,13 ± 0,32 𝑚/𝑠 3,76 ± 0,58 𝑚/𝑠² 0,39 ± 0,03 s 0,410± 0,001 𝑚

Foi calculado o erro relativo de cada resultado obtido a título de comparação. Mesmo considerando as incertezas dos programas utilizados, além das dificuldades pelas quais foram submetidas durante o experimento até a criação dos gráficos, os valores obtidos não se aproximaram o quanto se era esperado dos valores teóricos calculados.

BIBLIOGRAFIA MAIA, Ana Figueiredo; VARERIO, Mário Ernesto; MACEDO, Zélia Soares. Apostila de Laboratório de Física A, Centro de Ciências Exatas e Tecnologia, 2009, adaptação 2013....