Resolução alunos - Trabalho de Grupo - 2015 PDF

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Ano letivo: 2014/ Formule o problema de Programação Linear. Defina convenientemente as variáveis que achar mais relevantes e explique as restrições utilizadas. Através da análise do problema torna-se relevante definir apenas duas variáveis, visto as quantidades consumidas e preços serem definidos te...

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Trabalho de Grupo de Otimização Ano letivo: 2014/2015 1.! Formule o problema de Programação Linear. Defina convenientemente as variáveis que achar mais relevantes e explique as restrições utilizadas. Através da análise do problema torna-se relevante definir apenas duas variáveis, visto as quantidades consumidas e preços serem definidos tendo em conta a quantidade produzida de um produto em dois regimes de produção diferentes. Assim: x – Quantidade produzida na linha de produção 1 y – Quantidade produzida na linha de produção 2 Como os custos das máquinas estão expressos em euros/hora, e o total de tempo disponível das máquinas também estar expresso em horas, faz sentido, construir uma nova tabela, passando os minutos necessários à produção de cada unidade para o seu equivalente em horas. Máquina A 1/4 450

Linha de Produção 1 Linha de Produção 2 Horas Disponíveis

Máquina B 1/5 400

Máquina C 1/6 2/15 500

Com base nos dados presentes nas tabelas e na condição de produção, desenham-se inicialmente sete restrições à função objetivo, sendo elas: Restrições das Horas de Máquinas disponíveis: !

Primeira Restrição: #𝑥# ≤ 450# ⟺ 𝑥 ≤ 1800#(Máquina A) " !

Segunda Restrição: #𝑦# ≤ 400# ⟺ 𝑦 ≤ 2000 (Máquina B) , !

1

/

!,

Terceira Restrição: #𝑥# + #

#𝑦# ≤ 500 (Máquina C)

Restrição do Consumo de Matérias-Primas: Quarta Restrição: 3𝑥# ≤ 5550# ⟺ 𝑥 ≤ 1850 (Matéria-Prima 1) Quinta Restrição: 2,5#𝑦# ≤ 3500 ⟺ 𝑦 ≤ 1400 (Matéria-Prima 2) Sexta Restrição: 4𝑥# + 5𝑦# ≤ 13500 (Matéria-Prima 3) Restrição da Quantidade Produzida: Sétima Restrição: 𝑥 + 𝑦# ≥ 3000 Restrições Gerais: 𝑥#e#𝑦# ≥ 0 A função objetivo é constituída com base nos custos dos diversos fatores produtivos que são utilizados na fabricação de um produto, em cada uma das linhas de produção, pelo que a função objetivo pode ser dada pela seguinte expressão: 1 1 1 2 𝑪𝑻 = 𝑥 # ×10 + # ×12 + 3×0,6 + 4×0,5 + 𝑦# # ×18 + # ×12 + 2,5×0,6 + 5×0,5 4 6 5 15 = 𝑥 #2,5 + 2 + 1,8 + 2 + 𝑦# #3,6 + 1,6 + 1,5 + 2,5 = 𝟖, 𝟑#𝒙 + 𝟗, 𝟐#𝒚

Inês Tomé (68581), Maria Patrocínio (68557), Madalena Pereira (68666), Nuno Ponceano (68483)

Trabalho de Grupo de Otimização Ano letivo: 2014/2015 Como no processo produtivo existem matérias-primas e máquinas que só se utilizam numa linha de produção, acabam por existir 2 restrições diferentes para cada variável. Deste modo, é possível simplificá-las, através da sua interseção: Restrições da variável x: !

Primeira Restrição: #𝑥# ≤ 450# ⟺ 𝑥 ≤ 1800#(Máquina A) "

Quarta Restrição: 3𝑥# ≤ 5550# ⟺ 𝑥 ≤ 1850 (Matéria-Prima 1) Daqui resulta, que a restrição a utilizar deve ser: 𝑥 ≤ 1800 Restrições da variável y: !

Segunda Restrição: #𝑦# ≤ 400# ⟺ 𝑦 ≤ 2000 (Máquina B) ,

Quinta Restrição: 2,5#𝑦# ≤ 3500 ⟺ 𝑦 ≤ 1400 (Matéria-Prima 2) Daqui resulta, que a restrição a utilizar deve ser: Quinta Restrição: 𝑦 ≤ 1400

Assim, podemos concluir, que a formulação deste problema pode ser esquematizada como: Função Objetivo: 𝐶𝑇 = 8,3#𝑥 + 9,2#𝑦 Restrições (sujeito a) 𝑥 ≤ 1800#(Restrição da Máquina A) ! /

#𝑥# + #

1 !,

#𝑦# ≤ 500 (Restrição da Máquina C)

2,5#𝑦# ≤ 3500 ⟺ 𝑦 ≤ 1400 (Restrição da Matéria-Prima 2) 4𝑥# + 5𝑦# ≤ 13500 (Restrição da Matéria-Prima 3) 𝑥 + 𝑦# ≥ 3000 (Restrição da Quantidade Produzida) 𝑥#e#𝑦# ≥ 0 2.! Calcule, utilizando osolver, a solução ótima deste problema. Interprete detalhadamente o output gerado incluindo a tabela respeitante às restrições. A solução ótima do problema é dada quando a empresa consegue maximizar a produção, e ao mesmo tempo obtém um custo mínimo, ou seja, a solução ótima do problema é dada no mínimo da função (minimização dos custos). Assim a formulação do problema é: Min#𝐶𝑇 = 8,3#𝑥 + 9,2#𝑦 𝑠. 𝑎#𝑥 ≤ 1800#(Restrição da Máquina A) !

######## / #𝑥# + #

1 !,

#𝑦# ≤ 500 (Restrição da Máquina C)

#######2,5#𝑦# ≤ 3500 ⟺ 𝑦 ≤ 1400 (Restrição da Matéria-Prima 2) #######4𝑥# + 5𝑦# ≤ 13500 (Restrição da Matéria-Prima 3) 𝑥 + 𝑦# ≥ 3000 (Restrição da Quantidade Produzida) 𝑥#e#𝑦# ≥ 0

Inês Tomé (68581), Maria Patrocínio (68557), Madalena Pereira (68666), Nuno Ponceano (68483)

Trabalho de Grupo de Otimização Ano letivo: 2014/2015 Com recurso ao solver é possível concluir que a solução ótima deste problema é dada quando a empresa produz 1800 unidades através da linha de produção 1 e 1200 unidades através da linha de produção 2. Assim, a função objetivo ( output gerado) irá apresentar um custo de produção de 25.980 €.

Figura 1 - Resolução com recurso ao solver (produção de 3000 unidades)

Figura 2 - Solução para cada restrição com recurso ao solver

Recursos utilização na produção: •! De acordo com a Restrição 1 (restrição da quantidade produzida) verificamos que a quantidade mínima exigida de produção foi cumprida. •! De acordo com a Restrição 2 (restrição do número de horas da máquina A) verifica-se que a empresa utilizou a totalidade de horas disponíveis desta máquina, pelo que o fator limitante para a produção de mais unidades utilizando esta linha de produção foi o número de horas de máquina disponível. •! Na Restrição 3 (restrição do consumo de matéria-prima 2) verifica-se que a empresa não utilizou a totalidade de matéria-prima 2 que tinha disponível, apresentando um excesso, que corresponde aquilo que é necessário para produzir 200 unidades (200 x 2,5 = 500, a empresa só utilizou 3.000 unidades de matéria-prima 2) •! A Restrição 4 (restrição do número de horas da máquina C) indica que a empresa não utilizou as 500 horas que tinha disponível da máquina C, apresentando um excedente de 40 horas. •! A Restrição 5 (restrição do consumo de matéria-prima 3) indica-nos que a empresa não utilizou 300 unidades da matéria-prima C, usando apenas 13.200 unidades. Na solução ótima verifica-se ainda que a empresa:

Inês Tomé (68581), Maria Patrocínio (68557), Madalena Pereira (68666), Nuno Ponceano (68483)

Trabalho de Grupo de Otimização Ano letivo: 2014/2015 •! •! •! •!

Solução Ótima = 𝐶𝑇 ∗ = 25980 Produção com recurso à linha de produção 1 = 𝑥 ∗ = 1800 Produção com recurso à linha de produção 2 = 𝑦 ∗ = 1200 Utilização da Máquina A = 450 !

•! Utilização da Máquina B = # 1200 = 240 ,

•! •! •! •!

Utilização da Máquina C = 460 Utilização da Matéria-Prima 1: 3 1800 = 5400 Utilização da Matéria-Prima 2 = 2,5#×#1200 = 3000 Utilização da Matéria-Prima 3 = 13200

Figura 3 - Análise de sensibilidade para variáveis e restrições

Análise de sensibilidade: •! Intervalo de sensibilidade para a variável x = −∞; 9,2 , para que a solução ótima se mantenha a mesma, é possível que a empresa reduza custos até 0 (não há custos negativos, pelo que, apesar de ele poder diminuir infinitamente, não faz sentido economicamente) ou que a empresa aumente os seus custos até 9,2x. •! Intervalo de sensibilidade para a variável y = 8,3; ∞ , para que a solução ótima se mantenha a empresa pode reduzir custos até 8,3y. Para além disto a empresa poderá optar por aumentar os custos infinitamente apesar de economicamente não fazer qualquer sentido, visto o nosso objetivo ser reduzir custos e não precisamente o contrário. paribus) •! Intervalo de sensibilidade para a restrição 1 = 1800, 3060 ceteris ( paribus) •! Intervalo de sensibilidade para a restrição 2 = 1600, 3000 ceteris ( paribus) •! Intervalo de sensibilidade para a restrição 3 = 1200, ∞ ceteris ( paribus) •! Intervalo de sensibilidade para a restrição 4 = 460, ∞ ceteris ( paribus) •! Intervalo de sensibilidade para a restrição 5 = 13200, ∞ ceteris ( Podemos concluir que se os aumentos ou diminuições, estiverem compreendidos entre os intervalos anteriormente referidos, a solução ótima não irá sofrer qualquer alteração, partindo do pressuposto que todas as outras condições se mantêm inalteradas.

Inês Tomé (68581), Maria Patrocínio (68557), Madalena Pereira (68666), Nuno Ponceano (68483)

Trabalho de Grupo de Otimização Ano letivo: 2014/2015 Preço sombra (Indica a variação do valor da função objetivo, causada pela alteração de uma unidade de cada restrição indicada, partindo do pressuposto que as outras condições se mantêm constantes): •! Restrição 1 – Preço sombra = 9,2 (se ocorrer um aumento de uma unidade na quantidade mínima produzida, a função objetivo aumenta 9,2) •! Restrição 2 – Preço sombra = -0,9 (se ocorrer um aumento de uma unidade, a função objetivo vai diminuir em 0,9) 3.! Até que valor pode aumentar o custo de uma hora de máquina A, sem que isso afete a solução ótima? Por análise do relatório de sensibilidade, o coeficiente da função objetivo relativo à utilização da máquina A pode aumentar 0,9 , sem que a solução ótima de produção sofra qualquer alteração. Custo por hora da máquina A = 10€/hora Como por cada unidade são necessárias 0,25 horas, o custo por hora da máquina A pode aumentar 3,6 €/hora, pelo que, o custo da máquina A por hora pode passar de 10€/hora para 13,6€/hora. Aumento do custo admissível por hora =

N,O

N,1,

= 3,6 €/hora

Custo admissível por hora da máquina A = 10 + 3,6 = 13,6 €/hora 4.! Se a quantidade mínima a fornecer passar a ser de 3050 unidades, o que pode dizer sobre o custo e a solução ótima do novo problema. A solução ótima nas novas condições é obtida através de uma análise da sensibilidade. Visto a alteração da produção estar compreendida entre o intervalo 1800, 3060 e os restantes parâmetros se manterem inalterados, então podemos concluir que o valor sombra da restrição da quantidade produzida, contínua válido, assim como todas as outras variáveis básicas continuam a ser as mesmas (neste caso as variáveis básicas são o x, y, e s3, s4, s5) porém tem de ser recalculados (recorremos ao solver). Após recorrer ao solver verificamos que a solução ótima é nas novas condições de produção, obtida quando se produz 1800 unidades na linha de produção 1 e 1250 unidades na linha de produção 2, ou seja, quando a empresa produz 3050 unidades e incorre em 26.440 € de custos. Ao compararmos os dados com os da resposta 2, podemos concluir que a quantidade produzida pela linha 1 se mantém inalterada (1800 unidades) para as novas condições de produção exigidas. Quant. produzida na linha 1 (questão 4) = Quant. produzida na linha 1 (questão 2) Logo, Custos de x (alínea 4) = Custos de x (alínea 2) Custos de x (alínea 4) = 1800 x 8,3 = 14.940 €

Inês Tomé (68581), Maria Patrocínio (68557), Madalena Pereira (68666), Nuno Ponceano (68483)

Trabalho de Grupo de Otimização Ano letivo: 2014/2015 Relativamente à quantidade produzida na linha de produção 2, regista-se um aumento, passando de 1200 para 1250, ou seja, regista um aumento de 50 unidades produzidas. Quant. produzida na linha 2 (questão 4) = 50 + Quant. produzida na linha 2(questão 2) Logo, Custos de y (alínea 4) > Custos de y (alínea 2) Custos de y (alínea 4) = 1250 x 9,2 = 11.500 €

Figura 4 - Resolução com recurso ao solver (produção de pelo menos 3050 unidades)

5.! A partir da solução obtida em 2, sem resolver o novo problema e justificando cuidadosamente as suas conclusões, responda às seguintes questões: a)! Se por motivos legais fosse imposto um máximo de distribuição total de 3500 unidades o que sucederia à solução ótima? A solução ótima mantém-se, visto que a restrição inicial da questão 2, nos indica que a quantidade produzida tem de ser maior ou igual que 3000. Na nova situação, a quantidade máxima produzida nunca poderá ser superior a 3500. Por análise gráfica, conseguimos entender que a solução ótima está compreendida entre os dois valores (3000...