RESOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE FÍSICA VOL. 2 CAP. 1 HERCH MOYSÉS NUSENZEZVEIGH PDF

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RESOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE FÍSICA VOL. 2 CAP. 1 HERCH MOYSÉS NUSENZEZVEIGH 1. No sistema da figura, a porção AC contém mercúrio, BC contém óleo e o tanque aberto contém água. As alturas indicadas são: h0 = 10 cm, h1 = 5 cm, h2 = 20 cm e as densidades relativas à da água são: 13,6 (mercúrio) e 0,8 (...

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RESOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE FÍSICA VOL. 2 CAP. 1 HERCH MOYSÉS NUSENZEZVEIGH

1. No sistema da figura, a porção AC contém mercúrio, BC contém óleo e o tanque aberto contém água. As alturas indicadas são: h0 = 10 cm, h1 = 5 cm, h2 = 20 cm e as densidades relativas à da água são: 13,6 (mercúrio) e 0,8 (óleo). Determine a pressão PA no ponto A (em atm ). Resolução: Use g = 10m / s2 PB = Patm + d.g.ho → PB = 100000 + 1000.10.0,1 PB = 101000Pa PC = PB + d.g.h1 → PC = 101000 + 800.10.0,05 PC = 101400Pa → PC = PA + d.g.h2 101400 = +13600.10.0,2 PA = 74716Pa → PA = 0,747atm

2. No manômetro de reservatório (Fig.), calcule a diferença de pressão P1 − P2 entre os dois ramos em função da densidade do fluido, dos diâmetros d e D, e da altura h de elevação do fluido no tubo, relativamente ao nível de equilíbrio No que o fluido ocupa quando P1 = P2 . Resolução: Do equilíbrio da figura, sabemos que P1 = P2 + µ.g. (H + h ) (I) É preciso encontrar o H em função dos parâmetros pedidos. Se , P1 = P2 , o nível dos liquido deve ser igual nos dois ramos. Então, o liquido q ocupa a altura h, preencherá perfeitamente aquela altura H. Ou seja, os dois volumes são iguais: Se P1 = P2 , o nível do líquido deve ser igual nos dois ramos. Então, o líquido que ocupa a altura h, preencherá perfeitamente aquele volume de altura H. Ou seja, os dois volumes são iguais:

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D V1 = π   .H (II) d 2

 d V1 = π   .h (III) 2 Como V1 = V2 : 2

d H.D = h.d ⇒ H = h   (IV) D Substituindo (IV) em (I):   d 2  P1 = P2 + µ.g. (H + h ) = P2 + µ.g h   + h   D   2

2

  d 2  P1 = P2 + µ.g.h.    + 1  D     Assim temos:  d  2  P1 − P2 = µ.g.h   + 1  D  

3. O manômetro de tubo inclinado (Fig.), utilizado para medir pequenas diferenças de pressão, P1 − P2 , difere do descrito no problema 2 pela inclinação do tubo de diâmetro d. Se o fluido empregado é óleo de densidade = 0,8 g/cm³, com d = 0,5 cm, D = 2,5 cm, escolha para que o deslocamento l seja de 5 cm quando P1 − P2 = 0,001 atm. Resolução: P1 − P2 = ρ.g. ( h1 + h2 ) 2

d h1 = L   D sendo V1 = V2 h2 = senθ.L  d  2  P1 − P2 = p.g.L   + senθ  D   P −P  d  senθ = 1 2 −   p.g.L  D 

2

0,001  0,5  senθ = − 0,8.10.5  2,5 

2

arcsenθ ≈ 14,4°

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4. Calcule a magnitude F da força exercida por um fluido sobre uma área A de parede plana (inclinada de um ângulo qualquer em relação à vertical), do recipiente que o contém. Para isto, divida a área A em faixas infinitésimas dA horizontais (uma delas é mostrada hachurada na Fig.); seja z a profundidade de dA, e a densidade do fluido. a) Mostre que F = rgzA , onde z é a profundidade do centróide de A, definido como o centro de massa de A, considerada como uma placa plana homogênea. b) O torque resultante sobre A, em relação a um eixo horizontal OO’, é o mesmo que se a força F estivesse aplicada num ponto C0 da área A (veja Fig.), que se chama centro das pressões. Mostre que a profundidade z0 do centro das pressões é dada por z I (zA) 0 0 = , onde I = ò z2dA

Resolução: a) Fr = ∫ ρ.d.A ⇒ Fr = ρ.g.∫ z.d.A A

∫1 z.d.A 23

z centroide de A

z

Fr = ρ.g.z.A

b) zo .Fr = ∫ z.ρ.d.A ⇒ ρ.g. ∫ z 2 .d.A 14 2 43 A Ιo

zo .ρ.g.z.A = ρ.g.Ι o z=

Ιo z.A

5. Uma comporta vertical de forma retangular tem largura l; a altura da água represada é h. a) Aplicando os resultados do Problema 4, calcule a força total F exercida pela água sobre a comporta e localize o centro das pressões. b) Se l = 3 m e o torque máximo suportado pela base da comporta é de 150 kNm, qual é o valor máximo de h admissível?

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Resolução: a) F = ρ.g.∫ L.h.dA A

F=

p.g.L.h2 2

L.h3 ∫ L.h .dA = 3 A = 2h hc = A 2 ∫A L.h.dA L.h A 3 2 h ou seja a da base 3 2

b)

6 – Um reservatório tem a forma de um prisma, cujas faces A B C D e A’ B’ C’ C’ são trapézios isósceles com as dimensões indicadas na Fig.; as demais faces são retangulares. O reservatório está cheio até o topo de um líquido com densidade . a) Calcule a força total F exercida pelo líquido sobre a base do reservatório. b) Calcule a resultante R das forças exercidas pelo líquido sobre todas as paredes do reservatório e compare-a com o peso total do líquido. Analise o resultado como ilustração do paradoxo hidrostático (Sec.. 1.6) Resolução: a) F = ρ.A b → ρ.g.ha .b vertical, para baixo

b)

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7 Um pistão é constituído por um disco ao qual se ajusta um tubo oco cilíndrico de diâmetro d, e está adaptado a um recipiente cilíndrico de diâmetro D. A massa do pistão com o tubo é M e ele está inicialmente no fundo do recipiente. Despeja-se então pelo tubo uma massa m de líquido de densidade ; em conseqüência, o pistão se eleva de uma altura H. Calcule H.

Resolução p = ρg ( H + h ) πD2 p = ( ρ + mg ) / 4 2 2 D d  ρghπ  − =p 4  4 resolvendo H=

4  p d2  − m .   πD2ρ  g D2 − d2 

H=

4  Md2  m −   D2 − d2  πρD2 

8 – Na experiência dos hemisférios de Magdeburgo (Seç. 1.5) seja p a diferença entre a pressão atmosférica externa e a pressão interna, e seja d o diâmetro dos hemisférios. a) Calcule a força que teria de ser exercida por cada parelha de cavalos para separar os hemisférios. b) Na experiência realizada em 1654, tinha-se d = 37 cm e pode-se estimar a pressão interna residual em 0,1 atm. Qual era a força necessária neste caso? Se um cavalo forte consegue exercer uma tração de 80 kgf, qual teria sido o número mínimo de cavalos em cada parelha necessário para a separação?

Resolução a) F = p.A F=

∆ρπD2 ≈ 100kgf 4

b)

1000 ≈ 13 cavalos 80

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9. É comum dizer que alguma coisa representa apenas “a porção visível de um iceberg”. Sabendo-se que a densidade do gelo é 0,92 g/cm³ e a da água do mar a 1 atm e 0°C é 1,025 g/cm³, que fração de um iceberg fica submersa? Resolução: maq = mgelo

ρaq = v aq = ρgelo .v gelo v gelo v aq

=

100%

ρaq ρgelo

v gelo v aq

≈ 0,9 = 90%

10 a) Um cubo de gelo flutua sobre água gelada num copo, com a temperatura da água próxima de 0°C. Quando o gelo derrete, sem que haja mudança apreciável da temperatura, o nível da água no copo sobe, desce ou não se altera? b) Um barquinho flutua numa piscina; dentro dele estão uma pessoa e uma pedra. A pessoa joga a pedra dentro da piscina. O nível da água na piscina sobe, desce ou não se altera? (Três físicos famosos a quem este problema foi proposto erraram a resposta. Veja se você acerta!). Resolução: a) Uma vez que o pedaço de gelo flutua, toda água deslocada pelo mesmo é igual ao peso do próprio gelo, ou da água obtida do mesmo por isso, a água , que se forma ocupara o mesmo volume, portanto o nível de água não muda. b) Depois que se atirou a pedra do barco, a mesma ficou mais leve, em um pois é igual ao peso da pedra e, conseqüentemente, o volume da água deslocada pelo barco, diminuiu uma grandeza , v1 = ρ / d1 , onde ρ é o peso da pedra a d1 é o peso específico da água (ρ.g) . Ao submergir na água, a pedra desloca um volume de água igual a seu próprio volume é v 2 = ρ / d2 , d2 é o peso específico da pedra, uma vez que d1 > d2 e v1 > v 2 , e consequentemente o nível da água da piscina diminuirá.

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11 – Um densímetro tem a forma indicada na Fig., com uma haste cilíndrica graduada, cuja secção transversal tem área A, ligada a um corpo que geralmente contém algum lastro. O densímetro é calibrado mergulhando o na água, marcando com a graduação “1” a altura na haste até a qual a água sobe e determinando o volume V0 do densímetro situado abaixo da marca “1” (ou seja, o volume total que fica mergulhado na água). Seja h a altura da haste entre a graduação “1” e o nível até onde o densímetro mergulha quando colocado num líquido de densidade desconhecida (Fig.). Calcule a densidade relativa desse liquido em relação à água, em função de V0.

Resolução: Na ocasião da calibração, o empuxo equilibra-se com o peso do densímetro: E = P ⇒ rho.g.Vo = Pagua deslocada = magua .g O mesmo ocorre na situação mostrada na figura, mas como o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, tem-se: E=P ⇒ ρliq .g. (H + A.h ) = magua .g Onde Vo − A.h é o volume submerso. Resolvendo a equação acima: ρliq .g. (H + A.h ) = ρagua .g.Vo ρliq ρagua

=

Vo Vo − A.h

12 Suponha que Arquimedes tivesse verificado que : (i) Colocando a coroa do rei Herão dentro de uma banheira cheia de água até a borda, 0,31 l de água transbordavam; (ii) Era preciso aplicar uma força de 2,85 kgf para suspender a coroa mergulhada, retirando-a da água. Sabendo que a densidade do ouro é 18,9 g/cm³ e a da prata é 10,5 g/cm³, que conclusão Arquimedes poderia ter tirado? Resolução:

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Segundo consta com relação ao fato histórico a cerca de Arquimedes, medindo o volume de água deslocados por ouro e prata e pela coroa, ele teria comprovado a falcificação pela venda da coroa. Basta realizarmos os cálculos dos volumes de líquido deslocado supando-se a coroa feito de ouro e feita de prata. Dos dados do problema, temos: F = 2,85kgf = 2,85x9,8N = 28N ρAu = 18.9g / cm3 = 18900kg / m3 ρAg = 10,5g / cm3 = 10500kg / m3 Vc = 56,7l = 3.10−4 m3 ( volume da coroa = volume do líquido deslocado) Vamos também considerar a densidade da água como: ρagua = 1000kg / m3 Supondo que a coroa seja de ouro: F+E=P ⇒ 28+ρagua .g.Vliq = mc .g = ρAu .Vc .g Onde Vliq = Vc = V ( volume dol líquido deslocado = volume da coroa) 28 + 1000.10.V = 18900.V.10 V = 56,7m3 = 0,567l Esse valor é diferente de 0,3l . A coroa não pode ser de ouro. Supondo que a coroa seja de prata: F+E=P ⇒ 28 + ρagua .g.Vliq = mc .g = ρAg.V.g 28 + 1000.10.V = 10500.V.10 V = 0,295l ≈ 0,3l Logo,a coroa é de prata.

13. Um bloco cúbico de aço, de 5 cm de aresta e densidade 7,8 g/cm³, está mergulhando num recipiente com água, suspenso de uma balança de molas graduada em kgf. A massa total do recipiente e da água é de 1 kg, e ele está sobre um prato de uma balança, equilibrado por um peso de massa m no outro prato (Fig.). a) Qual é a leitura da balança de molas? b) Qual é o valor de m?

Resolução:

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l = 5 cm = 5.10−2 m ρb = 7,8 g / cm3 = 7800 kg / m3 ( densidade da água/líquido ) M = 1 kg a) F+E=P F=P-E F=mb .g − ρliq .g.V = ρb .g.V − ρliq .g.V = g.V ( ρb − ρliq ) = g.l 3

(

)

F = 10. 5.10−2 . ( 7800 − 1000 ) = 125 + 105. ( 6800 ) F = 5,8N =

3

5,8 kgf = 0,87kgf 9,8

b) m.g = M,g + Pbloco − F

(

)

3

m.10 = 1.10 + 7800. 5.10−2 .10 − 8,5 F = 1.125 kg

14. Um tubo em U contendo um líquido gira em torno do eixo Oz (Fig.), com velocidade angular de 10 rad/s. A distância d entre os dois ramos do tubo é de 30 cm, e ambos são abertos na parte superior. Calcule a diferença de altura h entre os níveis atingidos pelo líquido nos dois ramos do tubo.

Resolução: ρ.v.ω2 .r − ρ.v.h P = Po + 2 ρ.v.ω2 .r P − Po = − ρ.v.h 123 2 ≈0

ρ.v.ω2 .r 2 2 ω .r 90 h= ⇒ = 45 cm 2 2 ≈ 0,45 m ρ.v.h =

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15 Numa corrida de garçons, cada um deles tem de levar uma bandeja com um copo de chope de 10 cm de diâmetro, cheio até uma distância de 1 cm do topo, sem permitir que ele se derrame. Supondo que, ao dar a partida, um garçom acelere o passo uniformemente com aceleração a até atingir a velocidade final, mantendo a bandeja sempre horizontal, qual é o valor máximo de a admissível? Resolução: amáx = tgα g amáx 1 = 9,81 5 tgα } amáx hlim ite = D g 2 1 5 = 1,96 m/s2

amáx = 9,81. amá

16 – Duas bolas de mesmo raio, igual a 10 cm, estão presas uma à outra por um fio curto de massa desprezível. A de cima, de cortiça, flutua sobre uma camada de óleo, de densidade 0,92 g/cm³, com a metade do volume submersa. A de baixo, 6 vezes mais densa que a cortiça, está imersa metade no óleo e metade na água. a) Ache a densidade da cortiça. b) Ache a tensão T no fio.

Resolução

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r = 10 cm = 1.10 −2 m ρol = 0.92 g/cm3 = 920 kg/cm3 ( densidade do óleo )

ρb = 6.ρa ( onde o índice A refere-se à bola de cima ( cortiça ) e o índice B à bola de baixo ) a) Forças atuando sobre a bola A: 3  1 3  E = P + T ⇒ ρol .g.  πr 3  . = ρa .  πr 3  .g + T ( Ι ) 4  2 4  Forças atuando sobre a bola B: 1 3 3   3  Eag + Eol + T = Pb ⇒ ρag .g.  πr 3  + ρol .g. .  πr 3  + T = ρb .g.  πr 3  ( ΙΙ ) 2 4 4   4  Somando ( Ι ) mais ( ΙΙ ) : 1 3 1 3 1 3    3  3  ρol .g. .  πr 3  + ρag .g. .  πr 3  + ρol .g. .  πr 3  = ρ A .  πr 3  .g + 6.ρA .g.  πr 3  2 4 2 4 2 4    4  4  1 1 ρol . + ρag. + ρol = 6.ρ A + ρag 2 2 ρ A = 0,203 g/cm3 b) Usando a equação da bola A: 1 3  3  ρol .g. .  πr 3  = ρ A .g.  πr 3  + T 2 4  4  3  4.3,14. (10 )  0,2.4.3,14. (10 )3 = 0,92.10.  +T   6 3   T ≈ 10, 7 N

17 – Uma campânula cilíndrica de aço, se fundo, de 3 m de altura, é baixada na água, a partir da superfície, até que seu teto fique a 5 m de profundidade. Que fração do volume da campânula será invadida pela água? Resolução: P1 = P2 ⇒

P1 ρ.g.ho = = 0,6 P2 ρ.g.h1

0,6 ou seja 40% fica invadida pala água

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18 - Um balão esférico de 5 m de raio está cheio de hidrogênio. Nas condições normais, a densidade do hidrogênio é 0,0899 kg/m³ e a do ar é 1,29 kg/m³. Desprezando o peso das paredes, qual é a força ascencional do balão, em kgf? Resolução: F = E −P F = ρar .g.V − ρH .g.V 4 F = ( ρar − ρH ) .g. .πr 3 3 Substituindo com os dados do problema: 4 F= (1,29 − 0,0899 ) .10. .π.53 = 6283,72 N 3 Considerando que 1 kgf = 10 N: F = 628 kgf

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