Resumen de la materia y para dar los parciales. Primer y segundo parcial mas final PDF

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Introducción al interés. El valor de los bienes presentes que disponemos o podemos disponer constituye el capital. El valor de los bienes futuros que recibiremos a cambio constituye el monto, aunque no fueren los mismos bienes ni de la misma naturaleza, está constituido por el capital y su acrecentamiento en el tiempo, el redito o interés. El monto, como el interés, resulta una variable en función del tiempo. En un sentido amplio, la tasa de interés, es el interés producido por una unidad de capital en una unidad de tiempo, o bien es el interés producido por el capital prestado a través del tiempo. Cualquiera puede ser la unidad de capital y la unidad de tiempo, aun que lo corriente es expresar la tasa referida a un capital de 100 unidades de moneda y el tiempo referido aun año, no obstante la tasa puede ser referida a un semestre, mes, trimestre etc., en cuyo caso es necesario mencionar la unidad de tiempo. Los métodos de cálculo del interés devengado por un capital, nacen de una convención entre acreedor y deudor sobre la forma de hacer las operaciones aritméticas que permiten obtener el importe a pagar. Entre los métodos más comunes de calcular el interés de un capital están los llamados interés simple e interés compuesto. Interés simple. El interés simple es directamente proporcional al capital, al tiempo y a la tasa. La fórmula: “ I = C . i . n “ indica la directa proporcionalidad a las tres magnitudes. Si expresamos el tiempo en meses, trimestre, semestre o lo que fuese, debemos aplicar la formula refiriendo la tasa a la misma unidad de tiempo, o reducir el tiempo de nuestro problema a años o fracciones de años, si la tasa es anual. Siendo así, ante un enunciado de una tasa anual, y el tiempo de seis meses, debemos deducir que la tasa es anual y el tiempo en meses, ello obliga a homogeneizar la unidad de tiempo. Como en el intereses simple todas las magnitudes son proporcionales, podemos expresar la tasa mensual, de un problema en el cual la tasa anual es igual al 12% durante seis meses, siendo: i = (0,12/12)x6 o bien, 0,01x6 o 0,12x1/2. Como condición de aplicabilidad, es que la unidad de tiempo sea la misma para la tasa y para el plazo de la operación. Formulas derivadas.Si, a la suma del capital y los intereses, lo denominamos monto y lo designamos con M, su formula resultara: M= C + I M= C + C + i . n) M = C . (1 + i . n) Siendo, asi podemos deducir otras formulas:

Si de calcular la tasa se trata el resultado nos dará una tasa referida a la unidad de tiempo que hemos utilizado para el plazo. Si, en cambio, la incógnita es el plazo, el resultado estará referido a la misma unidad de tiempo que empleamos la tasa. Por ejemplo, si calculamos la tasa de un capital colocado a cinco años, el resultado de la tasa estará expresado en años. Si, del mismo modo, calculamos la tasa, pero expresamos el tiempo en lugar de años, en 20 trimestres dado que cada año posee 4 trimestres (4trimestres x 5años =20 trimestres) el resultado arrojara una tasa trimestral. Interés exacto y ordinario El interés simple se aplica en operaciones de plazos menores a un año, de manera que por lo general debe contarse el tiempo en meses o días, a fines prácticos, por lo general se utilizar un año calendario de 360 días, dividido en 12 meses de 30 días cada uno, este cálculo es lo que se conoce como el interés ordinario, de utilizar un año calendario de 365 días, teniendo en cuenta inclusive los meses que cuentan 31 días o menos, es lo que se denomina el cálculo del interés exacto. De manera evidente, el interés ordinario resulta mayor que el exacto.

Interés compuesto. Si, en el interés simple, se conviene que periódicamente los intereses se incorporen al capital para devengar, a su vez, nuevos intereses, nos hallamos frente a la convención llamada “interés compuesto”. El periodo al cabo del cual los intereses se incorporan al capital recibe el nombre de periodo de capitalización. 1 Calculo Financiero – Salinas, Santiago Sebastian

La fórmula del interés compuesto es:

Esta fórmula, denominada formula del monto, exige la misma condición de aplicabilidad que la del intereses simple, es decir, que la unidad de tiempo en que se expresa el plazo y la unidad de tiempo a que está referida la tasa, sea la misma. Además, como consecuencia lógica del procedimiento seguido para hallar la formula, que esa unidad sea el periodo de capitalización. Formulas derivadas.

Capitalización sub-periódica. Cuando la capitalización se realiza en periodos inferiores al año, decimos que existe capitalización sub periódica. Recordemos, que de tener una capitalización sub periódica, debemos siempre cumplir con la condición de aplicabilidad en la cual, la tasa de interés, y el tiempo deben estar homogeneizados. Lo corriente es plantear la capitalización sub periódica, enunciando la tasa anual. Como el periodo de la tasa no coincide con el de la capitalización, se debe determinar la tasa que corresponde al subperiodo. De tal manera y generalizando, la capitalización sub periódica se presenta cada vez que el periodo de la tasa es mayor que el de la capitalización (tasa anual, capitalización semestral). Esto se resuelve con el uso de una tasa proporcional, que es aquella que resulta de dividir la tasa periódica (i), por el número de subperiodos que tiene el año (representado por m). A la tasa periódica i, corresponde entonces la proporcional i/m. Para el 8% anual, tendremos:

El número de subperiodos de capitalización, siendo el número total de años, resultara: n.m, por lo tanto, la fórmula del monto a aplicar resulta:

El monto obtenido con esta fórmula, para el mismo capital, el mismo tiempo y la misma tasa enunciada, resulta superior al que se obtiene con capitalización periódica. Teniendo en cuenta, la capitalización periódica y la sub periódica, podemos concluir “para un mismo capital y en el mismo tiempo, la capitalización sub periódica con tasa proporcional produce un monto mayor que la capitalización periódica.

Podemos advertir, que a medida que aumenta m, es decir, que la capitalización es más rápida, aumenta el valor de cada término, y el número de estos para n y m enteros. Siendo así, si se utilizan tasas proporcionales en la capitalización sub periódica el monto aumenta a medida que lo hace el numero de subperiodos en que se divide el año, o lo que es lo mismo, que disminuye el lapso de cada sub periodo. Gráficamente:

La convención lineal (interés simple), produce un monto mayor que la convención exponencial (interés compuesto), dado que la diferencia entre uno y otro consiste en aplicar, para la primera, 2 Calculo Financiero – Salinas, Santiago Sebastian

interés simple para el tiempo inferior a un periodo de capitalización, mientras que, para el interés compuesto, se aplica la formula del monto correspondiente. Capitalización continua y discontinua. Cuando el interés se agrega al capital a intervalos regulares finitos, se dice que la capitalización es discontinua. En cambio, la capitalización que se realiza a cada instante, es decir, aquella en que los intereses se acumulan al capital a medida que se producen, se denomina capitalización continua. En la capitalización sub periódica con tasas proporciones, el monto aumenta a medida que lo hace el numero de subperiodos en que se divide el periodo, si la capitalización es continua, m, que representa el numero de subperiodos que tiene cada periodo, tendiera a infinito, estaríamos hablando de la capitalización continua. Formulas:

Descuentos en general. – Llamamos descuento a la reducción que se practica sobre el importe de una obligación, por su pago antes del vencimiento. La obligación de pago se documenta generalmente en un documento de comercio, donde consta la suma a pagar y el plazo o la fecha en que debe efectivizarse el pago. Llamaremos valor nominal a la suma escrita en un documento que debe ser pagada al vencimiento, y se simboliza con la letra N. La diferencia entre el valor nominal (N) y el descuento (D), nos da el valor actual, que es el valor de la obligación al momento a que se refiere el cálculo, por lo general la fecha en que se desea negociar antes del vencimiento. Simbolizamos con D al descuento y con V al valor actual. El importe del descuento, depende del método de calcular empleado. En consecuencia, lo mismo ocurre con el valor actual, para distinguir los métodos se utilizan sub índices. La formula general es: Se puede definir, al descuento como una operación inversa a la del interés, en cuanto el valor conocido es el valor futuro, siendo este valor, el valor nominal, mientras que el que deseamos conocer es el valor presente, siendo este valor, el valor actual. Descuento comercial (D1-V1-N1) El descuento comercial, es el interés simple calculado sobre el valor nominal, como si este fuera el capital. Se designa con D1 al descuento comercial, V1 al valor actual.

Critica al descuento comercial: Cuando i por n resulta igual a uno, el valor actual es nulo, cualquiera fuere su valor nominal. Siendo así, si el producto de i por n fuera superior a uno, el valor actual resultaría negativo. Estas situaciones, resultan absurdas, a las que se llega tanto cuando existen tasas elevadas como cuando el tiempo es prolongado.

La cuestión se plantea por un error de concepto en la definición de este tipo de descuento, dado que se calcula el interés sobre el valor futuro de la obligación, en lugar de hacerlo sobre el valor actual. Este método, debe aplicarse solamente en operaciones de corto plazo y con tasas corrientes. Su uso, se fundamente en la facilidad que ofrece para su cálculo. Descuento racional a interés simple (D2-V2-N2) Se llamada descuento racional a interés simple a aquel en que se calcula el interés simple considerando como capital al valor actual, en lugar del valor nominal, como en el descuento comercial. Cuando el tenedor de un documento lo cede a cambio de dinero, debe pagar intereses por el importe que realmente recibe, que está representado por el valor actual. Esta definición y las consecuentes fórmulas que de ella se derivan, tratan de corregir el error conceptual cometido en el descuento comercial o bancario, se denomina también a este descuento justo o matemático.

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Descuento compuesto. Se considera que la suma anticipada por un documento de vencimiento futuro, o lo que es lo mismo, el valor actual devenga intereses hasta constituirse, el día del vencimiento, en un monto igual al valor nominal. En este caso, los intereses son compuestos.

Descuento continuo. Si para que el valor actual llegue a formar un monto igual al valor nominal, en el tiempo que falta para su vencimiento, se le aplica capitalización continua, nos hallamos frente al llamado descuento continuo.

Descuento con tasa de descuento. El método de descuento a aplicar, también puede partir de una tasa de descuento. Se llama tasa de descuento, al descuento practicado a una unidad de valor nominal en una unidad de tiempo, simbolizado con la letra (d). Mientras la tasa de intereses se aplicar sobre el valor inicial de un periodo computado en el orden cronológico, para hallar el valor final, la de descuento es aplicada al valor final para hallar un valor inicial, computando el tiempo en orden cronológico inverso. Con la tasa de descuento se practica un método de descuento compuesto, es decir, en cada periodo, contando el tiempo desde el vencimiento hasta el momento en que se calcula el valor actual, se aplica la tasa sobre el valor a que se llego en el periodo precedente.

Comparación entre descuento comercial, y racional a interés simple. Desde el momento en que ambos descuentos (comercial y racional a I.S.) tienen un solo factor distinto, (N – V) que en el primero (N) resulta mayor, dado que el descuento comercial calcula el descuento tomando el valor nominal como el capital, es claro que este resultara mayor que el racional a interés simple para cualquier valor de n positivo. El valor nominal de un documento puede ser hallado conociendo los descuentos comercial y racional a interés simple.

Comparación entre descuento comercial, descuento compuesto y descuento continuo. El descuento comercial, es mayor que el descuento compuesto, para cualquier valor de n positivo. También el descuento comercial, es mayor que el descuento continuo. Descuento compuesto y racional a interés simple. El descuento compuesto es mayor que el racional a intereses simple cuando el plazo es superior a un periodo de capitalización, es menor para un plazo positivo menor que un periodo de capitalización y ambos descuentos son iguales en dos momentos cuando el tiempo es nulo y cuando es igual a un periodo de capitalización.

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Equivalencia de capitales. La capitalización es la acumulación de intereses al capital, transformando a este, o al monto, en una variable en función del tiempo. En toda operación financiera, existe capitalización, ya sea por vía de acreditación periódica para que el interés devengue intereses en adelante, o por el pago del interés, o bien, del capital más el interés. En este sentido, el cálculo, o una operación a intereses simple, es una forma matemática, utilizada en el corto plazo, para el interés compuesto con una sola capitalización. Otro propósito de cálculo, en relación al capital, es su valuación en el tiempo, dado que, conocido un capital referido a un momento cualquiera, puede ser necesario valuarlo en un momento posterior o anterior al dado, para lo cual, mediante el uso de las formulas del interés o del descuento compuesto, podemos trasladarnos en el tiempo. El valor del capital conocido, multiplicado por (1+i)ⁿ, nos permite conocer el valor futuro, donde ⁿ representa el tiempo que media entre el momento en que el capital es conocido y aquel en el que se desea valuarlo, medido ese tiempo en periodos de capitalización y donde la tasa i está referida a ese periodo. La expresión (1+i)ⁿ, es llamada factor de capitalización. De la misma manera, cuando la valuación desea hacerse en un momento anterior, al que tenemos la magnitud del capital conocido, debemos actualizar mediante el factor inverso representado por v ⁿ seria el producto del capital conocido por 1/(1+n)ⁿ al que se lo denomina como factor de actualización, o de descuento, o bien, simplemente el cociente del capital conocido y (1+i)ⁿ. El uso corriente del interés compuesto discontinuo ha hecho que los factores de capitalización o de actualización sean los más utilizados, para el caso de utilizar la capitalización continua esos factores serian 𝑒 𝑛𝑖 y 𝑒 −𝑛𝑖 respectivamente.

Si quisiéramos conocer el valor sumado de los capitales, debemos referirnos a un solo momento, según el principio elemental de equivalencia de capitales. Asi, los valores totales serán:

Capitales equivalentes. Principio de equidad.Se dice que dos capitales son equivalentes cuando valuados a un mismo momento de referencia, y a la misma tasa de intereses, resultan iguales. En general, se dice que dos capitales son equivalentes cuando sus valores actuales son iguales. De todos modos, este criterio es especial, dado que si se aplica métodos de cálculo como el interés simple o descuento comercial, dos capitales que son equivalentes según sus valores actuales, podrían no serlo si el momento de referencia cambia, en otras palabras, compromisos de pago que hoy resultan equivalentes, dejan de serlo mañana, cuando ha cambiado la fecha de valuación. En cambio, en el interés compuesto, continuo o discontinuo, se verifica que si los capitales tienen igual valor actual, son iguales en cualquier otro momento de referencia. Todas las operaciones financieras están basadas en un principio de equidad, fundado en el concepto de capitales equivalentes, las prestaciones intercambiadas entre prestamistas y prestatario deben ser iguales, valuadas a un mismo momento de referencia y con la misma tasa de intereses. Cuando, cualquiera fuere el momento de valuación, si la equivalencia se mantiene, se dice que el método

empleado es escindible en el tiempo.

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Vencimiento común y vencimiento medio. Dos problemas que se resuelven haciendo especial referencia al principio de equidad, son los de vencimiento común y vencimiento medio. Los dos problemas consisten en reemplazar varios documentos por uno solo. En el vencimiento común, el documento único que sustituye a los originales, tiene dos valores a determinar: el valor nominal y el plazo. Uno de ellos se fija entre las partes, por convención y el otro se calcula. El valor nominal tiene por límite inferior el valor actual, debiendo ser superior a este. En el vencimiento medio, el valor nominal del documento único es igual a la suma de los valores nominales a los cuales a de sustituir, de manera que el plazo del nuevo documento es siempre el valor a calcular. Por principio de equidad, el valor actual del nuevo documento debe ser igual a la suma de los valores actuales de los documentos dados. Existen, entonces, los siguientes problemas: cálculo del valor nominal y del tiempo en el vencimiento común, en el caso del vencimiento medio, lo que se debe calcular es el tiempo del vencimiento. Tasa de interés.Hemos definido a la tasa de interés como el interés producido por una unidad de capital en una unidad de tiempo. El capital está referido al momento inicial de la operación (momento cero) y el interés al momento final (momento uno)

t Para que el concepto de tasa resulte homogéneo, debemos respetar los momentos de referencia. La tasa pierde homogeneidad cuando entre los momentos cero y uno existen una o más capitalizaciones, porque en ese caso la tasa se aplica a un capital variable, con referencia a distintos momentos, tantos como capitalizaciones haya. La existencia de capitalizaciones entre los momentos cero y uno, no se produce solamente por el hecho de convenirse la acumulación de los intereses al capital para devengar nuevos intereses, sino también por el pago de intereses. Otra variable que requiere tratamiento para homogeneizar tasas de intereses es la unidad de tiempo. Cada operación financiera tiene su unidad de tiempo, que resulta de computar el lapso que media entre lo que hemos denominado el momento cero y el momento uno. No es lo mismo, una tasa del 10% anual, que la del 10% semestral. Se debe hallar una unidad de tiempo convencional para poder comparar las tasas de operaciones realizadas a distintos plazos. Generalmente, se utiliza de manera corriente elegir el año como unidad de tiempo, aunque cualquier otro periodo resulte más o menos aceptable. Tasa nominal y tasa proporcional Llamamos tasa nominal a la tasa que, junto al método de cálculo, forma parte de una convención para realizar una operación financiera. Resultan tasas de “nombre”, aunque no sea ese el costo o precio del dinero. Cuando en las operaciones se pactan plazos distintos al año, y la tasa nominal es anual o simplemente está referida a un periodo distinto, aparece el concepto de la tasa proporcional, entonces, esto se da cuando, se enuncian tasas de interés por un periodo distinto al de la capitalización. La tasa proporcional, es la resultante de considerar que para un subperiodo, si la nominal es periódica, corresponde aplicar la tasa nominal dividida por el número de subperiodos que tiene cada periodo, al que simbolizamos con la letra m. Por ejemplo: Tasas proporcionales. Tasa del 8% anual, con capitalización semestral Tasa del 8% anual, con capitalización trimestral 𝑖 𝑖 0,08 0,08 = 0,04 = 0,02 = = 2 4 𝑚 𝑚 En el interés simple, el resultado es el mismo cuando se utilizan tasas nominales y proporcionales. En el interés compuesto, el monto con tasa proporcional en la capitalización subperiodica es mayor, que el monto con tasa nominal en la capitalización periódica, si se obtienen resultados distintos es porque existen tasas implícitas distintas, mientras que el enunciado, para ambos casos, habla de una tasa del 8% anual. De allí surge, el concepto de tasa efectiva. Tasa efectiva. La aplicación de tasas proporcionales en la capitalización subperiodica produce una modificación de la tasa enunci...