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Electromagnetismo - Estática Electricidad λ densidad lineal de carga [C/m] σ densidad superficial de carga [C/m2] ρ densidad volumétrica de carga [C/m3]

{

λ(r ') dl ' dQ ' = σ ( r ') dS ' ρ( r ') dV '

Elemento Fuente

Magnetismo

{

I: cantidad de carga que pasa por unidad de tiempo = dQ/dt [C/seg=Ampere] g: densidad superf. de corriente [A/m] J: densidad volumétrica [C/m3*m/s=A/m2]

I d l , I = λv q ' v =  g dA , g =σ v  J dV , J = ρ v

[T (Tesla)=N/(C m/s)=N/A m] 1 r −r ' ) q (r −r ' ) μ  (r )= 1 ∫ dQ ' ( 3 [N/C=V/m] B  (r )= 0 (q v)×( r −3r' ) Gauss= 10-4 T E 4π ε 0 ∥r −r '∥3 4π ε 0 4π ∥r −r '∥ ∥r − r '∥     R λ (r ' ) dl ' R ρ (r ' ) dV ' R ( J dV ' )× R  ( r )=k e ∫  ( r )=k e ∭  (r ) =k m∫ (id l ' )× E E B B (r ) =k m∭ 3 3 3 3 R R R R C V C V 1   μ0 σ (r ' ) dS ' R ( g dS ')×R ke=  (r )=k e ∬  E k m= B (r ) =k m∬ 3 4π ε0 4π R3 S R S  r −r ' , R=∥R ∥ R= r: vector donde evalúo el campo r': vector de fuente de campo, sobre el cual integro

 (r )= E

Campo

Campo en Distrib. continuas

Gauss

Leyes (estática)

Forma Integral

Forma Diferencial

Q ∯ E ⋅dS= εenc 0

 E= ρ ∇⋅ ε0

Ampere

∮ E ⋅dl =0

 =0 ∇× E

∄ monopolo

E conservativo

 ⋅dl = Δ W V B−V A=−∫A E Q

dQ ' V ( r )=k e∫ r

B

Potencial

 E=−∇ V

∮ B⋅dl= μ0 I enc

 B  = μ 0 J ∇×

∯ B⋅dS=0

V

∇⋅ B=0

 ×A   ∇ B=

Potencial vectorial con gauge de Coulomb

   =q v ×B  = I dl × B F F 2 2 2 2  ∇ A=− μ0 J (∇ A x=− μ0 J x , ∇ A y =− μ0 J y , ∇ A z=− μ0 J z )

 =Q E =−Q ∇ V (r)=− F ∇ U ( r )  2

∇ V =− ρ/ ε0

Poisson

Forma Diferencial

 J (r ') dV ' R

 ( r ) =k m∭ A

Trabajo = Fuerza x Dist. Potencial = Trabajo /Carga = Campo x Dist.

Fuerza

Forma Integral

Expansión Multipolar y Momentos Electricidad Expansión del potencial V Campo E del dipolo Expansión ( p⋅r ) r  p Q p⋅r r Q r E  (r )≈k e − 3 +3  5  + Multipolar V ( r )≈k e + +⋯ 5 r r3 r r 2r

[

Momentos

]

(

Magnetismo Expansión del potencial A Campo B del dipolo m × m ( m⋅r ) r  r )≈k m  r +⋯ B(  r )=k m − 3 +3  5  A( 3 r r r

)

[

Monopolo Q: carga total Dipolo p=q d (dir de - → + ) p=∭V r ' ρ( r ' ) dV ' [C m2]

 Qi , j =∭ ρ(r ' ) (3 xi ' x j ' −r ' 2 δ i j) dV ' [C m2] Q/ V xi,j= x, y o z. δij: delta de Kronecker.  E fijo=0 F  E var =∇ (p⋅  U =− p⋅E Fuerzas Dip F  E ) τ = p × E

]

(

Monopolo No existe monopolo magnético 1 I ∮ r' ×d l ' m=  I S n =I S m=  2

C

)

d m=  21 r× J dv

S: Área del dipolo. n Normal a la corriente con mano derecha. m en [A m2]

Dipolo

Cuadrup.

 B fijo =0 F B var =∇ ( m B ) τ =m× B F  ⋅  B U =− m⋅

Electromagnetismo en Medios Materiales Campos

Electricidad    Desplazamiento D=ε 0 E+P

 E  =0 ∇× ρ +ρ Leyes en ∇⋅  E = L P ε0 Medios

 D  P  =∇× ∇×  D=  ρ0 o ∯ D⋅dS=Q L enc ∇⋅ S

Magnetismo  / μ 0− M   =B Intensidad Magnética H

 B  = μ 0 ( JL+ JM ) ∇×  B  =0 ∇⋅

 H  =JL o ∇×

D: ρ L , σ L ,∇ × P , P × n E: ρ L , σ L , ρ P ,σ P  ×D  , D×  n  . P: ρ P ,σ P , ∇  P ρ P =− ∇⋅ σ P = P⋅n 

B: JL , gL JM , gM

H⋅dl=∬ J L⋅dS S

 M  H  =− ∇⋅  = ρM (divergencia ≠ 0) ∇⋅

Ley de Gauss en medios eléct., rotor ≠ 0

Si ρM =0, Ampere en H

Si JM =0, Ampere en B Fuentes

∮C

Ley de Ampere en medios magnéticos, pero

H: JL , gL ρ M , σ M

M: JM , gM − ρ M ,−σ M

 M JM = ∇×  Densidades volumétrica (JM)y superficial (gM) de  × n corriente de magnetización. JL y gL densidades de gM = M

Densidades volumétrica (ρP) y superficial corriente libres. n separa los medios. (σP) de carga de polarización. ρL y σL dens.  Densidades volumétrica (ρM) y superficial (σM) de carga  ∇⋅ M ρ =− M de cargas libres. n separa medios.  n magnética. Funcionan como cargas magnéticas, en pares σ M = M⋅ (σM polos Norte y Sur). n separa los medios.  Δ p/ Δ v es la polarización del medio (momento  =Δm es la magnetización del medio (momento magnético por P= M / Δv  Teoría dipolar por unidad de volumen) unidad de volumen) MacrosJM (r ) gM (r) ρ P ( r ') σ P ( r ' ) cópica 〈V ( r ) 〉=k  (r ) 〉=k m dA' dV ' + dA' Potencial magnético dV ' + 〈A  e vectorial r '∥ r '∥ ∥ r − ∥ r − r '∥ r '∥ ∥ r − ∥ r −     V V S S

[∭

]

∯

Potencial eléctrico

[∭ [∭

∯

] ]

σ M (r ) ρM (r ) Potencial magnético dA' dV ' +∯ escalar ∥ r −r '∥ ∥ r − r '∥ S V   =B   / μ μ: Permeabilidad magnética  = χm H  H M  χ e E D=ε E k: constante dieléctrica, ≥ 1 En P= χe: suceptibilidad dieléctrica χm: Suceptibilidad mag.. Diamagnéticos 0, Ferromagnéticos >>0 LIH 0    C. Cont.

E1 ∥= E2 ∥

V M (r )=k m

∃ D ≠ 0. ∇ ×D= ∇ ×P D1 ⊥= D2 ⊥

km: Permeabilidad relativa. 2 ⊥  2∥ B1 ⊥= B H1 ∥= H

Conductores Ideales Toda la carga en las superficies. En interior:E=D=P= 0 o V=cte. E ┴ superficie del conductor, con valor σ/ε0 Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012

Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC

UBA - FCEN - Página 1

Corrientes

 J dV . Normal hacia I =∬S J⋅n dS . Por conservación de cargas, corriente ingresando en superficie cerrada S: I =−∯S J ⋅n dS =−∭V ∇⋅ dQ d ∂ρ  J )dV =0⇒ afuera de S, I positivo si entra carga en S. I = = ∭ ρ(r ' ) dV ⇒ ∭ ( ∂ t + ∇⋅ v dq dt V  J =0 Ley de Ohm Microscópica:   . σ: conductibilidad (en [Ω m]), ρ = 1/ σ resistividad. Ecuación de Continuidad: ∂ ρ + ∇⋅ J =σ E

∂t  dl =E l . Pero I =∬ J⋅d S =JS = σES ⇒ I =JS /l ΔV . Llamo JS/l = R la resistencia En un cable recto, la diferencia de potencial es ΔV =−∫C E⋅ S

del cable, y queda: ΔV =RI

Ley de Ohm Macroscópica. R en [V/ A = Ohm (Ω)]

Inducción dΦ . ε=∮E dS Flujo Magnético: Φ=∬ B⋅dS (unidades: Weber, [1 Wb = 1 T.m2]). dt Ley de Lenz: La dirección de la corriente inducida produce un campo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético que genera esa corriente (1-Defino n para la superficie. 2-Veo signo de Φ. 3-Veo signo de dΦ/dt, si >0, ε0 con B  ×E  =− ∂ regla mano derecha pulgar apuntando en n , al revés para εω0 Sobreamortiguado xh(t)=e -bt (A e αt + B e-αt) b...