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Formulas de Matematica Financiera. Segundo Cuatrimestre 2021. Unlam...

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FORMULAS MATEMATICA FINANCIERA

VARIACION ABSOLUTA Y RELATIVA VA = ∆Y = Y1 – Y0 VR = VA/Y0 = ∆Y/Y0 = (Y1 – Y0)/Y0 = (Y1/Y0) -1

Tasa de inflación (¶) = P1/P0 -1

P = indice de precios

Tasa de interés (i) = C1/C0 – 1

C = capitales

Tasa real (r) = Q1/Q0 -1

Q = cantidad de bienes

Relación entre la tasa de inflación, real y de interés (1+i) = (1+r) * (1+¶)

INTERES SIMPLE I = interes (ganancia o beneficio que genera la operación financiera) i = tasa de interes simple vencida n = cantidad de periodos determinados por la unidad de tiempo de la tasa de interes n = t/ut

t = tiempo que dura la operación financiera ut = unidad de tiempo de la tasa (cada cuanto se capitalizan los intereses)

C0 = capital inicial M = monto = Cn = capital final = saldo final obtenido entre el capital inicial y los intereses de la operación

I = C0 . i . n I=M–C

→

M = C . (1 + i . n)

M=C+I →

C0 = M / (1 + i . n)

Si se cambia de tasa (la tasa es variable), esta se suma: (cambio de tasa sin capitalizacion): M = C . (1 + i1 . n1 + i2 . n2 + ... + in . nn) Y el interes total con cambio de tasa se calcula: IT = (C . i1 x t1/ut) + (C . i2 . t2/ut)

Si se captalizan los intereses acumulados dentro de la operación financiera, se agrega nuevamente el 1 + : (cambio de tasa con capitalizacion) (debe decir que se capitaliza, reinvirte o recoloca el saldo en un momento determinado) : M = C . (1 + i . n1) . (1 + i . n2)

→

M = C . (1 + i . t1/ut) . (1 + i . t2/ut)

Pero si a un determinado momento solo se reinvierte una parte del capital: M = C . (1 + i . n) . % reintegrado . (1 + i . n)

Si se invierten diferentes capitales, o un mismo capital en diferentes operaciones: M = C . (1 + (% capital invertido . i . n) + (% capital invertido. i . n) + … )

Metodo de numerales: se utiliza cuando hay distintos capitales, distintos tiempos de colocación, pero una misma tasa I = Numeral / Divisor fijo Numeral = Capital x Tiempo → Numeral total (N) = (C1 . t1 + C2 . t2 + C3 . t3 + …) Divisor fijo = UT / i (UT se expresa en días) I = (C x T) / (UT / i)

→

In = N/ ut/t

Para resolverlo: se cuentan los días entre las fechas de los comprobantes. Se obtinen los numerales (el producto entre los días y el saldo en cada fecha). Se suman los numerales. Y se aplica la formula de interes.

DESCUENTO SIMPLE N = Valor norminal o valor futuro (el que se tiene al vencimiento, contiene el capital mas los intereses) V = Valor actual o valor presente D = descuento d = tasa de descuento o tasa adelantada i = tasa de interes o tasa vencida m = plazo de anticipacion (plazo de anticipacion/unidad de tiempo de la tasa) RF = resultado financiero Vd = valor actual de la operación de descuento. Es una operación de descuento simple adelantado Vi = valor actual de la operación de financiacion. Es la suma de los valores actuales de los documentos al momento del descuento. Cada documento debe ser actualizado al momento 0 y luego capitalizado al momento del descuento. N = V0 . (1 + i . t/ut)

→

V = N / (1 + i . n)

→

V = N . (1 + i . n)-1

V = N . (1 – d . m/ut) D=N–V

→

V=N–D

D = N . d . m/ut

Si la financiacion se realiza con mas de un documento (multiples documentos): Vo = N / (1 + i . t1/ut) + N / (1 + i . t2/ut)

Si necesito averiguar la tasa de descuento mediante la de interes (relacion entre tasas): d = i / (1 + i . t/ut)

→

i = d / (1 – d . t/ut)

El resultado financiero determina si se obtuvo un beneficio o un quebranto al descontar el documento: RF = Vd – Vi

→

RF = (N . (1 – d . m)) – (N/ (1 + i . n) . (1 + i . nmomento del descuento)

INTERES COMPUESTO im = tasa efectiva vencida (rendimiento real). La frecuencia de capitalización coincide con la ut de la tasa jm = tasa nominal (se debe transformar a tasa efectiva) →

im=jm/m

m = cantidad de veces que la tasa capitaliza en su unidad de tiempo (m=ut/frecuencia capitalizacion) (ut= tiempo de la tasa ej 10% anual son 12 meses) (frecuencia de capitalizacion es cada cuanto capitalizo los intereses ej mensual, trimestral, semestral) n = t / ut (tiempo transcurrido / tiempo de la tasa)

Cn = C0 . (1 + i)n I = Cn – C0

→

I = C0 . ((1 + i)n – 1)

→

Operaciones con cambio de tasa en período intermedio: Cn = C0 . (1 + i1)n1 . (1 + i2)(n2 – n1)

Operaciones con retiros: Cn = C0 . (1 + i)n – R . (1 + i)n – n del retiro

I = Cn (1 – (1 + i)-n)

DESCUENTO COMPUESTO Operaciones de descuento compuesto en base a tasa de interes: N = V . (1 + i)n V = N . (1 + i)-n

→

V = N / (1 + i)n

D = V . ((1 + i)n – 1)

→

D = N . (1 – (1 + i)-n)

Operaciones de descuento compuesto en base a tasa de descuento: V = N . (1 – d)n N = V . (1 – d)-n D = V . (1 – d)-n – V

→

D = V . ((1 – d)-n) -1)

D = N – N . (1 – d)n

→

D = N . (1 – (1 – d)n)

TASAS EQUIVALENTES i = tasa vencida d = tasa adelantada

Vencida - Vencida (1 + i1)t/ut1 = (1 + i2)t/ut2

Adelantada - Adelantada (1 – d1)t/ut1 = (1 – d2)t/ut2

Vencida - Adelantada (1 + i)t/ut i = (1 – d)t/ut d

TASAS EQUIVALENTES i = tasa efectiva vencida j = tasa nominal vencida

d = tasa efectiva adelantada fm = tasa nominal adelantada

Comparación entre dos tasas efectivas y vencidas (i): (1 + i1)t/ut1 = (1 + i2)t/ut2 t = debe ser igual en ambos casos (el mismo plazo)

Comparación entre una tasa efectiva vencida (im) y otra nominal vencida (jm): (1 + i1)t/ut1 = (1 + j/m)n*m m = ut/frecuencia capitalizacion tasa nominal (fs) n*m = t/frecuencia capitalizacion tasa nominal (fs)

Comparación entre una tasa nominal vencida (jm) y otra nominal vencida (jm): (1 + j1*fs1 / ut1)t/fs1 = (1 + j2*fs2 / ut2)t/fs2 fs = frecuencia capitalizacion tasa nominal

Comparación entre dos tasas efectivas y adelantadas (d): (1 – d1)t/ut1 = (1 – d2)t/ut2

Comparación entre una tasa adelantada efectiva (d) y otra adelantada nominal (fm): (1 – d1)t/ut1 = (1 – fm*fs /ut2)t/fs

Comparación entre dos tasas nominales adelantadas (fm): (1 – fm * fs1/ut1)t/fs1 = (1 – fm * fs2/ut2)t/fs2

Comparación entre una tasa efectiva vencida (i) con otra efectiva adelantada (d): (1 + i)t/ut1 = (1 – d)-t/ut2 Uno de los exponentes debe ser negativo

Comparación entre dos tasas nominales, una vencida (jm) y otra adelantada (fm): (1 + j*fs1 / ut1)t/fs1 = (1 – fm*fs2 / ut2)-t/fs2 fs1 = frecuencia capitalizacion tasa nominal vencida

fs2 = frecuencia actualizacion tasa nominal adelantada Uno de los exponentes debe ser negativo

RENTAS CONSTANTES (VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL) Vn]i = valor actual de la renta An]i = valor final de la renta, imposición o anualidad C = cuota n = cantidad de términos que componen la renta (cantidad de cuotas por ejemplo) i = i tasa efectiva pactada EO = época de origen (de la renta) EF = época de finalización (de la renta) ER = época de la renta (sus límites son EO y EF) EV = época de valuación (momento donde se concentra el cálculo) EV < EO → renta diferida EV = EO → renta inmediata EV > EO → renta anticipada

Valor final de una renta de pagos vencidos: An]i = C . ((1 + i)n – 1) / i Si tengo mas de una tasa de interes, debo utilizar la formula de pagos adelantados para poder llevar las cuotas de la primera tasa a la epoca de valuacion An]i = C . [((1+i)n – 1) / i] . (1 + i)periodos que faltan para llegar a la EV i del periodo que falta para llegar a la EV Total de intereses: TI = An]i – C . n Valor final de una renta de pagos adelantados: An]i = C . [((1+i)n – 1) / i] . (1 + i)periodos que faltan para llegar a la EV i del periodo que falta para llegar a la EV

Valor actual renta de pagos vencidos: (la valuacion se ubica un periodo antes de la primera cuota) Vn]i = C . [1 – (1 + i)-n] / i

Valor actual renta de pagos adelantados: (la EV se ubica al momento que se hace efectiva la primera cuota) Vn-i = C . [(1 – (1 + i)-n) / i] . (1 + i) Saldo de deuda: valor actual de las cuotas que al momento de la EV aun no se han hecho efectivas SD = C . [(1 – (1 + i)-(n-h)) / i]

RENTAS PERPETUAS Pagos vencidos V∞>i = C / i Pagos adelantados V∞>i = (C / i) . (1 + i)

RENTAS VARIABLES PROGRESION ARITMETICA → cuota varia una cantidad fija en $ C1 = primer cuota Cn = ultima cuota d = razon (puede ser positiva si es creciente o negativa si es decreciente) V = valor del prestamo

Valor actual (del prestamo) V = [C1 + d/i + (n . d)] . [(1 – (1 + i)-n) / i] – [(n . d) / i] Ultima cuota Cn = C1 + [d . (n – 1)] Total depositado Creciente

TD = n . [C1 + ((Cn – C1) / 2)]

Decreciente

TD = n . [C1 + ((C1 – Cn) / 2)]

Total de intereses TI = TD – V

RENTAS VARIABLES PROGRESION GEOMETRICA Siempre y cuando: (1 + q) ≠ (1 + i)

Valor actual (del prestamo) (creciente: q = 1 + q) (decreciente: q = q) Creciente

V = C1 . [1 – (1 + q)n . (1 + i)-n] / [(1 + i) – (1 + q)]

Decreciete

V = C1 . [1 – qn . (1 + i)-n] / [(1 + i) – q]

Ultima cuota Cn = C1 . qn-1 Total depositado Creciente

TD = C1 . [1 – (1 + q)n] / [1 – (1 + q)]

Decreciente

TD = C1 . [1 – qn] / [1 – q]

Total de intereses TI = TD – V

Cuadro de marcha para rentas: h (n)

Saldo inicial (SD anterior)

Ih (Si . i)

1 2 3 .. ..

th (Ch - Ih)

Ch (Ih + th) (Canterior . q)

SDh (SI – th)

0 ∑ Ih

SISTEMAS DE AMORTIZACION Es la forma en la que se devuelve un prestamo (capital + intereses) Variables: Vo = valor del prestamo (capital) Ch = cuota de servicio o cuota total Ih = cuota de interes th = cuota de amortizacion (capital) Ch = th + Ih n = cantidad de cuotas SDh = saldo de deuda luego de pagar la cuota de orden h (es lo que falta amortizar, es decir lo que falta pagar de capital) (las cuotas que faltan pagar de amortizacion) Th = total amortizado luego de pagar la cuota de orden h (lo que tengo acumulado de capital) TI = I(0;n) = total de intereses (entre el periodo cero y n) h = numero especifico de cuota

SISTEMA DE TASA DIRECTA Es un sistema de intereses sobre el valor del prestamo La cuota de amortizacion es constante

Formulas (constante)

id = tasa de interes directa

→

→

) V0 = Th + SDh – – Th = h . th Th = V0 – SDh →

)

)

Cuadro de marcha h 1 2 .. n

Saldo inicial V0 SDh anterior

Ih V0 . i

th V0 / n

Ch Ih + th

0 ∑ Ih

SISTEMA DE AMORTIZACION DE INTERESES SOBRE SALDOS -

SDh S Inicial - th

FRANCES ALEMAN AMERICANO INTERESES PROMEDIADIOS PROGRESIVO

SISTEMA FRANCES Sistema de intereses sobre saldos La cuota de servicio (o cuota total) es constante (Ch) La cuota de amortizacion (th) crece en progresion geometrica a razon de (1 + i)

Formulas V0 = Ch . [(1 – (1 + i)-n) / i] Ch = (Vo . i) / [1 – (1 + i)-n] Ch = Ih + th Ih = SD(h-1) . i I1 = Vo . i

(primer cuota de interes)

C1 = I1 + t1

(cuota 1)

t1 = Ch – I1

→

t1 = Ch – Vo . i

Ch = t1 . (1 + i)n th = t1 . (1 + i)h-1

→

SDh = Ch . [(1 – (1 + i)-(n-h)) / i] Th = Vo – SDh Th = t1 . [((1 + i)h – 1) / i]

tq = tp . (1 + i)q-p

(cuota de amortizacion numero 1)

Tn = Vo (amortizacion acumulada luego de pagada la ultima cuota es igual al valor del prestamo) Vo = t1 . [((1 + i)n – 1) / i] TI = I(0;n) = n . Ch – Vo I(0;h) = h . Ch - Th

(intereses parciales devengados)

Cuadro de marcha h 1 2 .. n

Saldo inicial V0 SDh anterior

Ih S inicial . i

th Ch - Ih

Ch (V0.i)/(1-(1+i)-n)

0 ∑ Ih

SISTEMA ALEMAN Sistema de intereses sobre saldos La cuota de amortizacion es constante La cuota de servicio y la cuota de interes decrecen en progresion aritmetica

Formulas th = V0 / n V0 = n . th Ih = SD(h-1) . i Ch = Ih + th SDh = (n – h) . th Th = h . th V0 = SDh + Th SDh = V0 – Th Th = V0 – SDh TI = V0 . i . [(n + 1) / 2] TI = I1 + I2 + … + In I(0;h) = [(I1 + Ih) / 2] . h

SDh S Inicial - th

→

TI = [(I1 + In) / 2] . n (intereses parciales (intereses devengados))

Cuadro de marcha h 1 2 .. n

Saldo inicial V0 SDh anterior

Ih S inicial . i

th V0 / n

Ch Ih + th

SDh S Inicial - th

0 ∑ Ih

SISTEMA AMERICANO Los intereses se calculan sobre el capital adeudado El capital adeudado se abona en un solo pago junto a la ultima cuota de interes Se realiza una operación paralela al mismo tiempo que se abonan las cuotas de interes, es decir, se realizan depositos con la intencion de reunir un monto igual al capital que se debe devolver junto a la ultima cuota de interes (se hacen depositos que permitan reunir un monto con el que se pueda abonar el capital en un solo pago) No hay cuotas de amortizacion (th) porque el capital se abona en un solo pago junto con la ultima cuota de interes (Ih) Formulas Ih = Ch = V0 . i Chn = V0 . i + V0 TI = Ih . n

→ →

Chn = V0 . (1 + i)

(pq junto con la cuota n (ultima) se abona el capital)

TI = (V0 . i) . n

Cuadro de marcha h 1 2 .. n

Saldo inicial V0 SDh anterior

Ih S inicial . i

th V0

∑ Ih if = tasa de fondo (tasa de interes de los depositos) CF = cuota facultativa (cuota del deposito) Para averiguar el valor de los depositos: V0 = CF . [((1 + if)n – 1) / if] TIdepositos = V0 – total depositado

→

CF = V0 / [((1 + if)n – 1) / if] →

TIdepositos = V0 – (CF . n)

Neto de intereses (abonados) = TIoperacion(prestamo) – TIdepositos

Ch Ih + th

SDh S Inicial - th

0

SISTEMA PROGRESIVO fh = factor de evolucion (indica como evoluciona la cancelacion de capital)

Formulas V = th / fh fh = f1 . h

→

f1 = 2 / [(1 + n) . n]

th = V . fh Ih = V . i . [1 – [(h2 – h) / (n2 + n)]] TI = V . i . [1 + [(n – 1) / 1,5]] SDh = V . [1 – [(h2 + h) / (n2 + n)]]

Cuadro de marcha h 1 2 .. n

Saldo inicial V0 SDh anterior

Ih S Inicial . i

th V . f1 V . f2 V . fh

Ch Ih + th

SDh S Inicial - th

0 ∑ Ih

SISTEMA DE INTERESES PROMEDIADOS (Y CARGADOS AL PRESTAMO) Los intereses se calculan sobre el saldo adeudado pero son costantes (iguales) Las cuotas de interes son iguales Las cuotas de capital son iguales ih = tasa de interes del periodo h

Formulas V = th . n th = V / n Ih = [V . i . (n + 1)] / (2 . n) TI = [V . i . (n + 1)] / 2 SDh = th . (n – h)

→

(n – h) = total de cuotas – cuotas abonadas = cuotas a abonar

ih = Ih / SDh anterior

→

ih = Ih / SIh

fh f1 f2 = f1 . 2 fh = f1 . h

Cuadro de marcha h 1 2 .. n

Saldo inicial V0 SDh anterior

Ih [V.i.(n+1)]/(2.n) “ “ “ ∑ Ih

th V/n “ “ “

Ch Ih + th “ “ “

SDh S Inicial - th

ih Ih / SI

0

VAN - TIR VAN = valor actual neto (es un valor en pesos) VAB = valor actual bruto FF = flujos de fondo (o flujos de caja). Se calculan en forma anual, habra tantos como años dure el proyecto ic = r = tasa de corte. Mide cuanto le cuesta a la empresa endeudarse TIR = tasa interna de retorno (es un porcentaje)

VAN = VAB – Inversion inicial VAB = [FF1 / (1 + ic)] + [FF2 / (1 + ic)2] + [FF3 / (1 + ic)3] + … + [FFn / (1 + ic)n] ▪ ▪ ▪

VAN > 0 VAN = 0 VAN < 0

→ → →

TIR > ic TIR = ic TIR < ic

(conveninte) (conveninte) (no conveninte)

Para estimar la TIR Se saca el VAN al 0% y en un grafico donde un eje serán los valores del VAN y en el otro los porcentajes de la TIR, se grafica una recta entre el valor del VAN (el real, a la tasa de corte indicada) y el valor del VAN a una tasa del 0%; se extiende esa recta hasta cortar el eje de la TIR, y el porcentaje donde corta sera la TIR estimada. El VAN a tasa 0% es la suma de los flujos de fondos menos la inversion inicial. Cuando todos los flujos de fondos son iguales, se puede calcular el VAB utilizando tratamiento de rentas de cuotas fijas; y estimar la TIR utilizando la formula de Baily VAB = FF . [(1 – (1 + i)-n) / i]

→

n = cantidad de FF

Formula de Baily: Estimación de TIR utilizando Baily h = [(FF . n) / V]2/(n+1) – 1 TIR = i = [12 – ((n – 1) . h)] / [12 – (2 . (n – 1) . h)] . h...