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“Año de la universalización de la salud”####### Tema:Carrera:Matemática FinancieraEjercicios aplicando las herramientas matemáticas aprendidas.Administración industrialSemestre:IIIInstructor:Alumna:Wildon Advíncula JesúsTrujillo Santiago Katty Beatriz2020PLANTEAMIENTO DEL TRABAJOElaborar ejercicios ...

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“Año de la universalización de la salud”

Matemática Financiera Tema: Ejercicios aplicando las herramientas matemáticas aprendidas. Carrera: Administración industrial

Semestre: III Instructor: Wildon Advíncula Jesús

Alumna: Trujillo Santiago Katty Beatriz

2020

PLANTEAMIENTO DEL TRABAJO Elaborar ejercicios con las herramientas de matemáticas financieras aprendidas: 1.- Elaborar dos ejercicios aplicando interés simple y dos con interés compuesto. 2.- Elaborar dos ejercicios aplicando tasas nominales y efectivas. 3.- Elaborar dos ejercicios convirtiendo tasas nominales con capitalización a tasas efectivas y viceversa. 4.- Elaborar dos ejercicios de conversión entre tasas efectivas del sistema bancario. 5.- Elaborar dos ejercicios utilizando cada una de las seis fórmulas básicas con interés compuesto. 6.- Elaborar un cuadro aplicando el método de cuotas decrecientes y otro con cuotas constante. 7. Elaborar un ejercicio aplicando el VAN y el TIR.

1.- Elaborar dos ejercicios aplicando interés simple y dos con interés compuesto.

Interés simple El interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial. Los intereses generados en cada periodo de tiempo son siempre iguales. Por ejemplo, en el caso de prestar o depositar 1000 € al 5% anual. ¿Cuántos intereses se generarían en un año? Sólo hay que calcular el 5% de 1000 € y tendríamos los intereses generados, multiplicando el capital inicial por el porcentaje en tanto por ciento o en tanto por uno y dividiéndolo entre 100. Lo calcularemos con el tipo de interés en tanto por uno:

Ejercicio 1 ¿Cuál es el interés simple generado en un plazo fijo, por un capital de 10000 €, al 4% trimestral durante 2 años? Aplicamos la fórmula del interés simple:

Pero tenemos en cuenta que el tipo de interés está en trimestres y el periodo de tiempo en años. Por t anto, debemos pasar los años a trimestres, multip licando por 4, y a que un año tiene 4 trimestres:

Ejercicio 2 Hace 4 años se pidió un préstamo de 7000 € y la cantidad pagada al terminar el periodo del prést amo han sido 9500 €. ¿Qué tipo de interés se le aplicó? En este ca so el capit al i nicial son 7000 €, pero cuidado , porque l os in tereses gener ados no son 9500 €. Los 9500 € corresponden al capi tal final. Por tanto, calculamos los intereses generados en pr im er lugar:

Ahora sustituimos todos los datos en la fórmula del interés simple:

Y despejamos el tipo de interés:

Es un tipo de interés anual, ya q ue el periodo de tiempo est aba en a ños.

Ejercicios de interés compuesto Ejercicio 1 Se ha pedido un préstamo a devolver durante 6 años a una tasa de interés compuesto t rimestr al del 3% y la canti dad q ue se ha pagado al final de los 6 añ os ha sido de 1 3500 euros. ¿De cuánto se ha pedido el préstamo? Sus tituimos l os dato s que conocemos en la fórmula del in ter és compuesto:

En este ca so, hay que pas ar los a ños a t rimestr es m ultiplicando po r 4 , ya que el tipo de interés es trimestral. Operamos para simplifica r la expresión:

Despejamo s el capi tal y lo calcu lamos:

Ejercicio 2 Calcula la tasa de interés compuesto que se aplica a un capital inicial de 13000 € para que des pués de 3 años se tengan 145 00 € . Sustituimos los datos conocidos en la fórmula:

Vamos a despejar el tipo de interés, q ue es tá dentro de la potencia. Para ell o, en p rimer lugar pasamos el 13000 divi diendo el prim er miembro:

Ahora pasamos el cubo como raíz cúbica:

Pasamos el 1 r est and o:

Por últi mo, pasamos el 100 multiplicando a todo el p rimer miembro y operamos:

2.- Elaborar dos ejercicios aplicando tasas nominales y efectivas. Tasa nominal y tasa efectiva. - Cuando una tasa es susceptible de proporcional izarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces, recibe el nombre de tasa nominal. (Es convertible más de una vez en un año)

Tasa Efectiva: Es la que se coloca efectivamente al capital cuando el periodo de capitalización no es anual.

Ejemplo 18: Hallar el valor final de un capital de $ 1.000 en un lapso de 1 año, depositado al 14 y ½ % capitalizable semestralmente.

Ejercicio 1: Calcular el monto a pagar dentro de 4 años por un préstamo bancario de $ 8.000 a una tasa nominal del 36% capitalizable mensualmente.

Ejercicio2: Calcular el monto de un capital de $ 3.000 colocado durante 5 meses, con una tasa efectiva mensual del 3%.

Ejercicio 3: Encontrar el monto de un capital de $ 8.000 colocado durante 7 años al 9% capitalizable mensualmente.

(Cuando la tasa es nominal se gana más intereses porque se capitaliza cada periodo)

Ejercicio 4: Al final del año el monto compuesto es de $ 1.500 al: a) 4% convertible trimestralmente, b) 4,06% convertible anualmente.

Respuesta: Por tanto 4% convertible trimestralmente y 4,06% convertible anualmente son tasas equivalentes.

3.- Elaborar dos ejercicios convirtiendo tasas nominales con capitalización a tasas efectivas y viceversa. 

Una persona pide $1.000.000 a una tasa anual equivalente (término utilizado para referirnos a la tasa efectiva), del 10%. En dicho caso el cálculo sería de la siguiente manera:

Aplicando dicha fórmula a nuestros datos, tendríamos el siguiente resultado:

En el caso del interés nominal, recuerde que mencionamos que se expresa anualmente, por lo cual si la periodicidad, dice otra cosa, se entiende que durante el periodo que transcurrió, se generaron intereses entremedios, por lo cual es muy probable que no se genere la igualdad entre la tasa nominal y efectiva. Utilizando los mismos antecedentes preliminares, pero asumiendo que la tasa es 10% semestral. Primero deberíamos saber que un año tiene dos semestres, por lo cual para la formula expresada en anualidad, utilizaremos la división de 10/2= 5%. En este caso y aplicando la formula señalada al inicio, el resultado nos daría:

En este, caso si uno divide la ganancia ($10.250), sobre el dinero inicial, se verá que existe una diferencia, y esta es generada porque en un semestre, se generaron intereses que

aumentaron el capital y en el segundo semestre aumento ese capital más el interés previo volvió a aumentar para dar como resultado los $110.250. Por lo cual acá la tasa efectiva fue de 10,25% anual y no la nominal de 10%. sí tenemos una tasa efectiva anual del 24% y queremos convertirla a su equivalente nominal. Para ello aplicamos la siguiente fórmula: TN=[(1+TE) ^(1/n)-1]x n

Done: 

TN = Tasa nominal, que se debe averiguar.



TE = Tasa efectiva que es del 24% anual.



n = Periodo de capitalización, en este caso, 12 meses (anual).

Reemplazando tenemos: TN= [(1,24) ^ (1/12)-1]x12 = 21,71%. La respuesta es que el 24% efectivo anual equivale a 21.71% nominal. Llevando la fórmula a Excel sería: = ((1,24) ^ (1/12)-1) *12

Ahora, si queremos convertir la tasa nominal anual en nominal mensual, simplemente dividimos la tasa nominal hallada entre 12: 21.71/12 = 1.81% Es decir, que una tasa efectiva anual del 24% es igual a una nominal mensual del 1.81%.

Cómo convertir una tasa de interés nominal a efectiva. Ahora se requiere hacer lo contrario, partir de una tasa nominal a para llegar una tasa efectiva equivalente para hacerla comparable. Supongamos una tasa nominal del 24% anual y queremos convertirla en una tasa efectiva anual. Para ello aplicamos la siguiente fórmula: TE = (1+(TN/n)) ^n- 1

Donde, 

TE = Tasa efectiva, que debemos averiguar.



TN = Tasa nominal que es el 24%.



N = Numero de periodos capitalizables (12 meses)

Reemplazando la fórmula tenemos: TE = (1+ (24%/12)) ^12-1

Resolviendo tenemos: TE = (1+0,02) ^12-1 = 26,82%. El 24% nominal anual es equivalente al 26,82% efectivo anual. = (1+(24%/12)) ^12-1

La tasa nominal (TN) se divide entre 12, porque está dada en periodo anual, y el año tiene 12 meses, así que, si el interés nominal anual del 24% lo dividimos entre 12 meses, y nos da un interés nominal mensual de 2%, que convertido en decimales es igual a 0.02, y de allí que la fórmula tenga (1+0.02). Para verificar que la operación es correcta, podemos hacer la operación inversa, es decir, convertir la tasa efectiva hallada en una tasa nominal. En el primer ejercicio determinamos que el 24% efectivo anual equivale a 21.71% nominal anual, así que convirtamos ese 21.71% nominal anual para ver si volvemos al 24% efectivo anual: TE = (1+ (21,71%/12)) ^12 - 1 = 24,006%.

4.- Elaborar dos ejercicios de conversión entre tasas efectivas del sistema bancario.

Tasas 1.Las ventas de la compañía Alpha en el año 1 y año 2 fueron334 505 y 271 410 respectivamente. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento o decrecimiento de las ventas? Tome como base el año 1 y luego el año 2. Solución Base año1: Tasa: (271410 – 334505) / 334505 = -18.86 %decrecimiento. Base año 2: Tasa: (334505 – 271410) / 271410 = 23.25 %crecimiento 2.En el presente mes las ventas de una empresa fueron 85000 un, lo que representa un crecimiento de 20% con relación al mes anterior, ¿Cuánto se vendió en el mes base? Solución Las ventas del mes ascendieron a 85,000 que representan el 120%, respecto a mes Anterior, se desea saber el importe de las ventas, planteamos la siguiente regla de 3:85000 -----------------------------------------------120%X-------------------------------------------------------100%X = (85000*100) /120 X = 70833.33 3. Si en el presente año se tuvo una producción de 17000unidades, lo que representa una disminución del orden de12.82% con relación al año anterior, ¿Cuánto fue la producción del año base? Solución: 17000……………………………………. (100 – 12.82) %X………………………………………………100%17000....................87.18 %X…............................................. 100% 1 X = (17000*100) /87.18 = 19499.88 unidades, 19500unidades Tasa vencida 4. Un capital de 1200 un produce un interés de 240 en 28días, ¿Cuál fue la tasa de interés devengada en ese periodo? Solución: i = 240/1200 = 0.20 i = 20% por el periodo de 8 días 5. ¿Qué tasa de interés se aplicó a un capital de 18750 aunque redituó un interés de1500? Solución: i = 1500/18750 = 0.08 i = 8%Tasa nominal y proporcional 6.Si una TNA es 24%, ¿Cuánto es la tasa proporcional: a. Mensual; b. trimestral? Solución a. = 0.24/12 = 0.02 = 2% b. = 0.24/4 = 0.06 = 6%

7.Si una TNM es 1,5%, ¿Cuánto es la tasa proporcional: a. Trimestral; b. de 8 meses y c. anual? Solución a. Calculamos la TNA = 0.015*12 = 0.18, TNT = 0.18/4 =0.045 = 4.5% calculamos la TN8meses = =0.015*8 = 0.12 = 12% calculamos la TNA = 0.015*12 = 0.18 =18%

5.- Elaborar dos ejercicios utilizando cada una de las seis fórmulas básicas con interés compuesto. Capitalización compuesta: Ejercicios 

 

Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de 5.000.000 ptas. invertidos durante un año y medio al 16%, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta. SOLUCIONES Ejercicio 1: a) Aplicando la fórmula de capitalización simple: I = Co * i * t I = 5.000.000 * 0,16 * 1,5 I = 1.200.000 ptas. b) Aplicando la fórmula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) I = 5.000.000 * (((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1) I = 5.000.000 * (1,249 - 1) I = 1.245.000 ptas.

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

Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b) cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la fórmula de capitalización compuesta. Ejercicio 2: Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual: a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) ^ 12 (" i" es la tasa anual) 1 + 0,16 = (1 + i12) ^ 12 (1,16) ^ 1/12 = 1 + i12 1,0124 = 1 + i12 i12 = 0,0124 b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3) ^ 3 (" i" es la tasa anual) 1 + 0,16 = (1 + i3) ^ 3

Luego, (1,16) ^ 1/3 = 1 + i3 1,0507 = 1 + i3 i3 = 0,0507

6.- Elaborar un cuadro aplicando el método de cuotas decrecientes y otro con cuotas constante. EJERCICIO

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 300.000 euros, al 10% de interés anual, amortizable en 3 años, con cuotas de amortización anuales constantes.

Años

(5)

(4)

(1)

(2)

(3)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total, amortizado

Capital vivo

0 1 2 3

130.000,00 120.000,00 110.000,00

30.000,00 20.000,00 10.000,00

100.000,00 100.000,00 100.000,00

Total

360.000,00

60.000,00

300.000,00

100.000,00 300.000,00 200.000,00 200.000,00 300.000,00 100.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento del importe del préstamo en pagos iguales.

300.000 A = ———– = 100.000 3 (2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital pendiente a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) y se pagan al final del mismo. (5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

7. Elaborar un ejercicio aplicando el VAN y el TIR. Recibimos la siguiente propuesta de inversión:  Importe a desembolsar: 20.000 €



A cambio cobraríamos durante los próximos 3 años las siguientes cantidades:

 5.000 € al final del primer año  8.000 € al final del segundo y  10.000 € al final del tercero a) Calcular el VAN

a) V

b) Calcular la TIR

AN

Suma de los flujos de caja anuales actualizados deducido el valor de la inversión

Si a los flujos de caja (cobros - pagos) le llamamos: a la tasa de descuento seleccionada: k y al desembolso inicial: A

Q1, Q2,,Qn

siendo: Q1, Q2, Q3 = 5.000, 8.000, 10.000 k = 5% (1) A = 20.000 tendremos:

Lo que hemos hecho, según se muestra a continuación de forma esquemática, es: - Calcular el Valor actual de cada cobro - Sumar estos valores actualizados y - Restarle el importe de la inversión (desembolso inicial)

VAN = Suma flujos de caja actualizados - Desembolso inicial= 656,52 VAN = 20.656,52 - 20.000

VAN = 656,52 € Actualmente estos cálculos se han trasladado a las calculadoras financieras o a las hojas de cálculo que incluyen funciones que calculan el VAN con tan solo introducir el valor del desembolso inicial, de los flujos de caja y la tasa de descuento. En Hoja de cálculo: Para este ejemplo procederíamos de la siguiente forma: Si hemos anotado en las celdas: B1: la tasa de descuento B2: el desembolso inicial (en negativo) B3 a B5: cada uno de los 3 cobros escribiremos en cualquier celda:

= VNA (B1; B3:B5) + (- B2)

b) T

IR

y comprobaremos que nos devolverá el valor 656,52

“La tasa de descuento que hace que el VAN sea igual a cero” Se trata, pues, de despejar la "k" de la siguiente fórmula:

Este cálculo, que se hace bastante complejo cuando supera las ecuaciones de 2º grado, queda resuelto de una forma sencilla con las calculadoras financieras o las hojas de cálculo. En Hoja de cálculo: Si hemos anotado en las celdas: B2: el desembolso inicial (en negativo) B3 a B5: cada uno de los 3 cobros

escribiremos en cualquier celda: = TIR (B2:B5)

y comprobaremos que nos devolverá el valor 6,5650%...