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FORMULAS DE MATEMATICA FINANCIERA

INTERES SIMPLE

INTERES COMPUESTO

Formula fundamental del interés simple 𝐼=

𝐶𝑥𝑟𝑥𝑛 100 𝑥 𝑈𝑇

;

𝐼=𝐶𝑥𝑖𝑥𝑛

Formula del Capital 𝐶=

𝐼 𝑥 100 𝑥 𝑈𝑇 𝑟𝑥𝑛

;

𝐶=

;

𝑟=

Formula de la Tasa 𝑟=

𝐼 𝑥 100 𝑥 𝑈𝑇 𝐶𝑥𝑛

Formula del Tiempo 𝑛=

𝐼 𝑥 100 𝑥 𝑈𝑇 𝐶𝑥𝑟

;

𝐼 𝑥 𝑈𝑇 𝑖𝑥𝑛

𝐼 𝑥 𝑈𝑇 𝐶𝑥𝑛

𝑛=

𝐼 𝑥 𝑈𝑇 𝐶𝑥𝑖

Formula del Monto en función del Capital 𝑀 = 𝐶 +𝐼

𝑀 = 𝐶 [1 +

𝑟𝑥𝑛 ] ; 𝑀 = 𝐶 [1 + 𝑖 𝑥 𝑛] 100 𝑥 𝑈𝑇

Formula del Capital en función del Monto 𝐶=

𝑀 𝑀 ; 𝐶= 𝑟𝑥𝑛 1 + 𝑖𝑥𝑛 [1 + 100 𝑥 𝑈𝑇]

Formula del Monto en función del Interés

100 𝑥 𝑈𝑇 1 𝑀 = 𝐼[ + 1] ; 𝑀 = 𝐼 [ + 1] 𝑟𝑥𝑛 𝑖𝑥𝑛

Formula del Interés en función del capital

𝑀 𝑀 ; 𝐼= 𝐼 = 100 𝑥 𝑈𝑇 1 +1 [ 𝑟 𝑥 𝑛 + 1] 𝑖𝑥𝑛

𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖 )𝑛

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛; (1 + 𝑖)𝑛 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Formula del Capital Inicial

1 (1 + 𝑖)𝑛

𝑆𝑖 ; 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 → 𝐶 = 𝑀 𝑥 Formula del tanto por uno

1 (1 + 𝑖)𝑛

𝑛 𝑀 𝑆𝑖 ; 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑛 → 𝑖 = √ − 1 𝐶

Formula del interés compuesto en función del Monto 𝐼 = 𝑀 − 𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠; 𝐼 = 𝑀 [1 −

1 ] (1 + 𝑖 )𝑛

Formula del Monto en función del interés compuesto 𝑆𝑖; 𝐼 = 𝑀 [1 −

𝐼 1 ] →𝑀= 1 (1 + 𝑖)𝑛 1− (1 + 𝑖)𝑛

Interés compuesto en función del Capital

𝐼 = 𝑀 − 𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐼 = 𝐶[(1 + 𝑖)𝑛 − 1] Formula del Capital en función del interés Compuesto 𝑆𝑖; 𝐼 = 𝐶[(1 + 𝑖)𝑛 − 1] → 𝐶 =

𝐼 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

INTERES COMPUESTO 2DA PARTE TASAS PROPORCIONALES

𝑖 2 𝑖 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙: 3 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙:

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙:

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝐵𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙:

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑀𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙:

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝐷𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎: TASA EFECTIVA 𝑖 ´ = (1 +

𝑖 𝑛𝑥𝑚 ) −1 𝑚

TASA EQUIVALENTE 𝑖𝑚 = 𝑚√(1 + 𝑖) − 1

CAPITALIZACION CONTINUA 𝑀 = 𝐶 (1 +

𝑖 𝑛𝑥𝑚 ) 𝑚

𝑖 4

𝑖 6

𝑖 12

𝑖 360

DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL interés simple se calcula sobre el Valor Nominal 𝑉𝑁 𝑥 𝑟 𝑥 𝑛 𝐷𝑐 = 100 𝑥 𝑈𝑇

Formula del Valor Nominal en función del Valor Actual 𝑟𝑥𝑛 ] 𝑆𝑖 𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 [1 − 100 𝑥 𝑈𝑇 ↓

DESCUENTO COMPUESTO MATEMATICO

Formula del Descuento Matemático:

Valor Nominal en función del Valor Actual

𝐷 = 𝑉𝑁 𝑥 𝑑 𝑥 𝑛 entonces;

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365:

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365:

Tasa de Descuento, conocida la Tasa de Interés

𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 (1 +

𝐷𝑚 =

𝑑=

𝑉𝐴 𝑥 𝑟 𝑥 𝑛 100 𝑥 𝑈𝑇

𝐷 𝑉𝑁 𝑥 𝑛

𝑑 1−𝑑𝑥𝑛

𝑖=

𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 − 𝐷

Dc= VN x d x n

100 𝑥 𝑈𝑇 𝑉𝐴 = 𝐷 [ − 1] 𝑟𝑥𝑛

Formula del Descuento comercial en función del Valor Actual

MATEMATICO

Valor Actual en función del Valor Nominal

𝑉𝐴 𝑉𝑁 = 𝑟𝑥𝑛 [1 − 100 𝑥 𝑈𝑇]

Formula del Valor Actual en Función del Descuento

COMERCIAL

Formula del Descuento Comercial con Tasa de Descuento

Formulas q se deducen: Formula del Valor Nominal: 𝑉𝑁 =

𝐷𝑐 𝑑𝑥𝑛

Formula de la Tasa de Descuento

𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 (1 + 𝑑 )𝑛

𝑑 𝑛𝑥𝑚 ) 𝑚

𝑉𝑁 = 𝑉𝐴(1 + 𝑖 )𝑛 𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 (1 +

𝑖 ) 𝑚

𝑛𝑥𝑚

Valor Nominal en función del Valor Valor Actual en función del Valor Nominal Actual 𝑉𝑁 =

𝑉𝐴 (1 − 𝑑 )𝑛

𝑉𝐴 =

𝑉𝑁 (1 + 𝑖 )𝑛

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365:

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365:

𝑉𝑁 =

𝑉𝐴 =

𝑉𝐴 𝑑 𝑛𝑥𝑚 (1 − ) 𝑚

Descuento en función del Valor Nominal 𝐷 = 𝑉𝑁 [1 − (1 − 𝑑

)𝑛 ]

𝑉𝑁 𝑖 𝑛𝑥𝑚 (1 + ) 𝑚

Descuento en función del Valor Actual 𝐷 = 𝑉𝐴[(1 + 𝑖 )𝑛 − 1]

Cuando los intereses capitalizan en

100 𝑥 𝑈𝑇 𝑆𝑖; 𝑉𝐴 = 𝐷 [ 𝑟 𝑥 𝑛 − 1]

100 𝑥 𝑈𝑇 Entonces; 𝐷𝑐 = [ 𝑟 𝑥 𝑛 −1]

𝑉𝐴

Formula del Descuento Comercial con tanto por uno 𝐷𝑐 = 𝑉𝑁 𝑥 𝑖 𝑥 𝑛

Formula del VN (tanto x uno) 𝑉𝑁 =

𝐷𝑐 𝑥 100 𝑥 𝑈𝑇 𝑟𝑥𝑛

Formula Tanto por ciento 𝐷𝑐 𝑥 100 𝑥 𝑈𝑇 𝑟= 𝑉𝑁 𝑥 𝑟

Formula del Tiempo 𝑛=

𝐷𝑐 𝑥 100 𝑥 𝑈𝑇 𝑉𝑁 𝑥 𝑟

Valor Actual

VA= VN – D Formula del Valor Actual en Función del Valor Nominal 𝑟𝑥𝑛 𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 [1 − ] 100 𝑥 𝑈𝑇

Formula del Valor nominal:

𝐷𝑐 𝑑 = 𝑉𝑁 𝑥 𝑛 Formula del tiempo 𝐷𝑐 𝑛 = 𝑉𝑁 𝑥 𝑑

Formula del Valor Actual en función del Valor Nominal 𝑉𝐴 = 𝑉𝑁[1 − 𝑑 𝑥 𝑛]

𝑉𝑁 =

𝑉𝐴 1−𝑑𝑥𝑛

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365: 𝐷 = 𝑉𝑁 [1 − (1 −

Formula del Descuento en Función del Valor Actual 𝐷=

𝑉𝐴 1 [ 𝑑 𝑥 𝑛 − 1]

𝑛𝑥𝑚

) ] 𝑚 Valor Nominal en función del descuento 𝑉𝑁 =

𝐷 1 − (1 − 𝑑 )𝑛

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365:

Formula del Valor Actual en Función del 𝑉𝑁 = Descuento Comercial 1 − 1] 𝑉𝐴 = 𝐷 [ 𝑑𝑥𝑛

𝑑

𝐷

𝑑 𝑛 𝑥𝑚 1 − (1 − ) 𝑚

Descuento en función del Valor Actual 𝐷 = 𝑉𝐴 [

1 − 1] (1 − 𝑑 )𝑛

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365: 𝐷 = 𝑉𝐴 [

1 − 1] 𝑑 𝑛𝑥𝑚 (1 − 𝑚)

Valor Actual en función del Descuento

tiempo menor a 365: 𝑖 𝑛𝑥𝑚 𝐷 = 𝑉𝐴 [(1 + ) − 1] 𝑚 Valor Actual en función del Descuento 𝑉𝐴 =

𝐷 (1 + 𝑖 )𝑛 − 1

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365: 𝑉𝐴 =

𝐷 𝑖 𝑛𝑥𝑚 (1 + ) −1 𝑚

Descuento en función del Valor Nominal 𝐷 = 𝑉𝑁 [1 − 1 ⁄(1 + 𝑖)𝑛 ]

Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365: 𝐷 = 𝑉𝑁 [1 − 1⁄(1 +

𝑖 𝑛𝑥𝑚 ] ) 𝑚

Valor Nominal en función del Descuento 𝑉𝑁 =

1−

𝐷

1 (1 + 𝑖 )𝑛

Cuando los intereses capitalizan en

Sí; Dc= VN x i x n entonces; 𝐷𝑐 𝑉𝑁 = 𝑖 𝑥 𝑛 Formula del Tanto por Uno 𝑖=

𝐷𝑐 𝑉𝑁 𝑥 𝑛

Formula del Tiempo 𝑛=

𝐷𝑐 𝑉𝑁 𝑥 𝑖

Formula del Valor Actual en función del Valor Nominal Si VA= VN [1 − 𝑖 𝑥 𝑛] entonces;

𝑉𝑁 =

𝑉𝐴 [1 − 𝑖 𝑥 𝑛]

Formula del Valor Actual en función del Descuento comercial 𝑉𝐴 = 𝐷 [

1 − 1] 𝑖𝑥𝑛

Formula del Descuento comercial en función del Valor Actual 𝐷=

𝑉𝐴 1 𝑖𝑥𝑛−1

1𝐷 (1 − 𝑑 )𝑛 − 1 Cuando los intereses capitalizan en tiempo menor a 365:

𝑉𝐴 =

𝑉𝐴 =

𝐷 1 𝑑 𝑛𝑥𝑚 − 1 (1 − ) 𝑚

tiempo menor a 365: 𝑉𝑁 =

1−

𝐷

(1 +

1 𝑖

𝑚)

𝑛𝑥𝑚

DESCUENTO COMPUESTO Descuento Matemático; Formulas adicionales

DESCUENTO COMPUESTO Descuento Comercial; Formulas Adicionales

RELACION ENTRE LA TASA DE INTERES Y LA TASA DE DESCUENTO

RENTAS Renta Inmediata Vencida 𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝑉 =

𝐶 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛

𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝑉 𝑥 𝑖 𝑥 (1 + 𝑖)𝑛 𝐶= (1 + 𝑖)𝑛 − 1

Renta Inmediata Adelantada (Amortización Adelantada) 𝐶(1 + 𝑖)[(1 + 𝑖 )𝑛 − 1] 𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝐴 = 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝐶=

𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝐴 𝑥 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑖)[( 1 + 𝑖 )𝑛 − 1]

IMPOSICIONES (Rentas Anticipadas) Imposiciones Vencidas 𝑉𝐹𝐼𝑉 =

𝐶=

𝐶[(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑖

𝑉𝐹𝐼𝑉 𝑥 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

Imposiciones Adelantadas 𝑉𝐹𝐼𝐴 =

𝐶=

𝐶 𝑥 (1 + 𝑖 )[(1 + 𝑖 )𝑛 − 1] 𝑖

𝑉𝐹𝐼𝐴 𝑥 𝑖 (1 + 𝑖)[(1 + 𝑖)𝑛 − 1]

IMPOSICIONES A INTERES COMPUESTO: Imposiciones Vencidas con cuotas constantes: 𝐶 = (1 + 𝑖)𝑝−1

Formula de cuota o anualidad Monto: 𝑆𝑛 = 𝐶

(1+𝑖 )𝑛 −1 𝑖

𝑖 𝐶 = 𝑆𝑛. (1 + 𝑖 )𝑛 − 1

Imposiciones Adelantadas con cuotas constantes: 𝑆𝑛 = 𝐶 (1 + 𝑖 ). 𝐶 = 𝑆𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖

1 𝑖 . (1 + 𝑖) (1 + 𝑖)𝑛 − 1

IMPOSICIONES A INTERES SIMPLE Con cuotas Adelantas: 𝑆=

2 𝑚 + (𝑚 + 1)𝑗𝑚 2

Con cuotas vencidas 𝑆=

2 𝑚 + (𝑚 − 1)𝑗𝑚 2 AMORTIZACIONES

Sistema de Amortización Directo I= C x i x n 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎 =

𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎 + 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑀𝑒𝑠𝑒𝑠

Amortizaciones Progresivas o Sistema Francés 𝐶 = 𝑉𝐴𝑅𝑇𝐼𝑉 𝑥

𝑖 (1+𝑖)𝑛

(1+𝑖 )𝑛 −1

Cuadro Amortización por sistema Francés:

PERIODO

DEUDA AL INICIO DEL PERIODO

CUOTAS CONSTANTES

(Deuda original – total amortizado al periodo anterior)

INTERESES DEL PERIODO / SALDO

AMORTIZACION TOTAL REAL DEL AMORTIZADO PERIODO HASTA EL PERIODO (Tasa de interés (valor de la x valor de cuota – los (Suma de deuda al inicio intereses del amortizaciones periodo) reales) del periodo respectivo)

Amortización Real de un periodo dado (P) = Fondo Amortizante (1 + 𝑖)𝑝−1 Total Amortizado hasta un periodo= Fondo Amortizante x

[(1+𝑖 )𝑝 −1 ] 𝑖

Saldo de una deuda en un periodo cualquiera: Valor de la deuda original – valor amortizado del periodo anterior

Sistema de cuota capital constante o Alemán: (cuota total= cuota capital + cuota intereses) Cuadro de amortización con sistema Alemán: PERIODO

DEUDA AL INICIO DEL PERIODO

AMORTIZACION REAL CONSTANTE

INTERES SIMPLE SOBRE SALDO

(Deuda total – total (Deuda (Tasa de interés x amortizado hasta original/número de saldo de deuda a ese momento) cuota q amortiza la ese momento) misma)

AMORTIZACION A INTERES COMPUESTO: Amortizaciones vencidas a interés compuesto: 𝐴𝑛⌉ = 𝐶

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑖(1 + 𝑖)𝑛

Formula de la cuota de amortización: 𝐶 = 𝐴𝑛⌉.

𝑖(1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑖)𝑛 − 1

Fórmula para la determinación del tiempo: 𝑛=

log 𝐶 − log[𝐶. 𝐴𝑛. 𝑖] log(1 + 𝑖 )

CUOTA GENERAL DECRECIENTE (suma de las columnas anteriores)

Amortizaciones adelantadas a interés compuesto: (1 + 𝑖)𝑛 −𝑛 1 𝐴𝑛⌉ = 𝐶 (1 + 𝑖 ) 𝑖(1 + 𝑖) 1

𝐶 = 𝐴𝑛⌉

𝑖(1 +𝑛𝑖) 𝑛 . (1 + 𝑖 ) − 1

(1 + 𝑖) log 𝐶(1 + 𝑖) − log[𝐶(1 + 𝑖). 𝐴𝑛 . 𝑖 ] 𝑛= log(1 + 𝑖) AMORTIZACIONES ESPECIALES 𝐶 = 𝑖. 𝐴𝑛⌉ + 1

Sistema Francés

Fondo amortizante 𝑡 = 𝐶 − 𝐴𝑛⌉. 𝑖

Amortizaciones reales sucesivas en función del Fondo amortizante: 𝑡3 = 𝑡2 (1 + 𝑖) 𝐼 = 𝐴𝑛⌉. 𝑖

Fórmula para la determinación del fondo amortizante Si 𝐴𝑛⌉ = 𝑡 𝑡 = 𝐴𝑛⌉

(1+𝑖 )𝑛 −1 𝑖

𝑖 (1 + 𝑖 )𝑛 − 1

Fórmula para la determinación del tiempo 𝑛=

log(𝑖 𝐴𝑛⌉ + 𝑡) − log 𝑡 log(1 + 𝑖)

Tasa de Amortización: 𝑡 = 100.

𝑖 (1 + 𝑖 )𝑛 − 1

Total amortizado después de un pago determinado 𝑇𝑝 = 𝑡

(1 + 𝑖)𝑝 − 1 𝑖

Sistema Americano 𝑆𝑖; 𝐶 = 𝑖. 𝐴𝑛⌉ + 𝑡 y 𝑡 = 𝐴𝑛⌉ (1+𝑖´)

Entonces; 𝐶 = 𝐴𝑛⌉ [𝑖 +

𝑖´

𝑛

(1+𝑖 ´ ) −1

]

𝑖´ 𝑛 −1...