Resumen y fórmulas Introducción a la Econometría PDF

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Resumen completo de la teoría y fórmulas más relevantes del libro 'Econometría y Predicción'. Pensado para poder localizar lo que se busca muy rápidamente y, una vez encontrado el capítulo, ampliar la información con el libro si es necesario....

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RESUMEN DE INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA

Apuntes basados en el libro ‘Econometría y Predicción’ para un acceso rápido a la información y fórmulas más relevantes para la asignatura

ÍNDICE Pág. 1

Econometría: Modelos y datos ............................................................................................................................ 4 1.1

Introducción ............................................................................................................................................... 4

1.2

Los modelos econométricos ...................................................................................................................... 4

1.3

Efectos causales o estructurales ................................................................................................................ 4 1.3.1

1.4

1.5 2

Causalidad y predicción .................................................................................................................... 4

Estructura de los datos económicos .......................................................................................................... 4 1.4.1

Datos de series temporales .............................................................................................................. 4

1.4.2

Datos de sección cruzada o transversales ........................................................................................ 4

1.4.3

Datos mixtos ..................................................................................................................................... 4

1.4.4

Datos de panel o longitudinales ....................................................................................................... 4

Conclusión .................................................................................................................................................. 4

Análisis de regresión lineal. Estimación ............................................................................................................... 5 2.1

Modelo de regresión .................................................................................................................................. 5

2.2

Mínimos Cuadrados Ordinarios ................................................................................................................. 5

2.3

2.2.1

Regresión simple .............................................................................................................................. 5

2.2.2

Interpretación de los coeficientes del modelo: cambios de escala y relaciones no lineales ........... 6

Regresión múltiple ..................................................................................................................................... 7 2.3.1

Estimación MCO ............................................................................................................................... 7

2.3.2

Coeficiente de determinación R2 corregido ..................................................................................... 7

2.3.3

Formas funcionales cuadráticas ....................................................................................................... 7

2.3.4

Términos de interacción ................................................................................................................... 7

2.3.5

Regresiones con variables estandarizadas ....................................................................................... 8

2.4

Modelización .............................................................................................................................................. 8

2.5

Apéndice técnico ........................................................................................................................................ 8

3

Aspectos avanzados del análisis de regresión ..................................................................................................... 9

4

Análisis de regresión lineal. Inferencia .............................................................................................................. 10 4.1

Supuestos clásicos para datos transversales y temporales ..................................................................... 10

4.2

Distribución muestral de los estimadores MCO ...................................................................................... 11 4.2.1

Propiedad de insesgadez y distribución para muestras suficientemente grandes ........................ 11

4.2.2 4.3

Distribución muestral de βj bajo homocedasticidad y normalidad ................................................ 12

Inferencia ................................................................................................................................................. 13 4.3.1

Contraste de hipótesis sobre una de las pendientes βj: el contraste individual o contraste de la t 13

4.3.2

Contraste de hipótesis sobre los parámetros ................................................................................. 15

4.3.3

Contraste de hipótesis conjunto: estadístico de la F ...................................................................... 15

4.4

Ejemplos ................................................................................................................................................... 17

4.5

Predicción ................................................................................................................................................ 17

4.6

4.5.1

Predicción con datos de sección cruzada ....................................................................................... 17

4.5.2

Introducción a la predicción con series temporales ....................................................................... 17

Apéndice técnico ...................................................................................................................................... 18 4.6.1

Insesgadez del estimador MCO. Regresión simple ......................................................................... 18

4.6.2

Varianzas y covarianzas de los estimadores MCO. Regresión simple ............................................ 18

4.6.3

Estimador insesgado de la varianza de los errores. Regresión simple ........................................... 18

4.6.4

Teorema de Gauss-Markov. Varianza mínima de los estimadores MCO. Regresión simple .......... 18

5

Aspectos avanzados: Inferencia en el modelo de regresión lineal .................................................................... 19

6

Regresión con heterocedasticidad y autocorrelación ....................................................................................... 20 6.1

Modelos de regresión con heterocedasticidad ........................................................................................ 20 6.1.1

Mínimos cuadrados ponderados cuando conocemos la forma funcional de la heterocedasticidad 20

6.2

7

6.1.2

Cuando NO conocemos la forma funcional de la heterocedasticidad: estimadores robustos ...... 21

6.1.3

Contrastes de heterocedasticidad .................................................................................................. 21

6.1.4

Ejemplos ......................................................................................................................................... 21

Modelos de regresión con autocorrelación ............................................................................................. 21 6.2.1

Inferencia y eficiencia ..................................................................................................................... 22

6.2.2

Errores estándar robustos a la heterocedasticidad y a la autocorrelación .................................... 22

6.2.3

Contrastes de autocorrelación ....................................................................................................... 23

6.2.4

Mínimos cuadrados generalizados (MCG) ...................................................................................... 24

6.2.5

Otras fuentes de correlación en los errores ................................................................................... 25

Variables explicativas dicotómicas .................................................................................................................... 26 7.1

Modelos ANOVA ...................................................................................................................................... 26

7.2

Modelos ANCOVA .................................................................................................................................... 26 7.2.1

Ejemplos ......................................................................................................................................... 26

7.3

Interacciones con variables dicotómicas ................................................................................................. 26

7.4

Estacionalidad .......................................................................................................................................... 27

7.5

Regresión por tramos ............................................................................................................................... 27 7.5.1

8

Efectos umbrales ............................................................................................................................ 27

Análisis de especifiación y problemas con los datos ......................................................................................... 28 8.1

8.2

8.3

8.4

Selección de variables .............................................................................................................................. 28 8.1.1

Inclusión de variables irrelevantes ................................................................................................. 28

8.1.2

Omisión de variables relevantes: sesgo de variable omitida ......................................................... 28

Mala especificación funcional .................................................................................................................. 29 8.2.1

El contraste general de mala especificación funcional ................................................................... 29

8.2.2

Contrastes con modelos no anidados ............................................................................................ 29

Errores de medida .................................................................................................................................... 30 8.3.1

Error de medida en la variable dependiente .................................................................................. 30

8.3.2

Error de medida en la variable explicativa ..................................................................................... 30

8.3.3

Variables aproximadas (variables proxies) ..................................................................................... 31

Otras fuentes de invalidez del modelo .................................................................................................... 31 8.4.1

Problemas de selección muestral ................................................................................................... 31

8.4.2

Causalidad simultánea .................................................................................................................... 32

8.4.3

Errores estándar inconsistentes ..................................................................................................... 32

8.4.4

Modelos de regresión para la predicción ....................................................................................... 32

1

ECONOMETRÍA: MODELOS Y DATOS

1.1

Introducción

1.2

Los modelos econométricos

Modelos estocásticos (econometría) frente a modelos deterministas. Datos no experimentales

1.3 1.3.1

1.4 1.4.1

Efectos causales o estructurales Causalidad y predicción

Estructura de los datos económicos Datos de series temporales

Dato de 1 individuo a lo largo del tiempo 1.4.2

Datos de sección cruzada o transversales

Datos de diferentes individuos para un instante -> Foto de una serie de individuos 1.4.3

Datos mixtos

Combinación de los dos. Fotos de individuos en diferentes instantes. Importante: No son los mismos individuos 1.4.4

Datos de panel o longitudinales

Igual que el anterior pero en este caso los individuos se repiten en el tiempo. Más útil pero poco común

1.5

Conclusión

2 2.1

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL. ESTIMACIÓN Modelo de regresión

Todo lo que se estudia en este epígrafe se refiere al modelo general, completo con los datos poblacionales. No tiene que ver con su estimación sino con la postulación de que existe un modelo teórico con esta forma. Y Explicada Dependiente Regresada Endógena Respuesta Predicha

X Explicativa Independiente Regresora Exógena Control Predictora

Se usa la letra ‘k’ para el número de independientes Regresión lineal poblacional =! Regresión lineal muestral Regresión lineal múltiple = Regresión lineal multivariante = 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝜀 Regresión lineal simple 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 FRP = Función de regresión poblacional. Necesitaríamos todos los valores de X e Y. Relación promedio en la población. Se expresa correctamente a través de la esperanza condicionada: 𝐸[𝑌|𝑋1 , 𝑋2 , . . , 𝑋𝑘 ] = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑋𝑘 + 𝜀 La interpretación de los coeficientes es fácil si trabajamos en incrementos 𝜀 es el término error: incluye todo aquello que no hemos tenido en cuenta y la aleatoriedad, uso de una proxy, etc.

2.2

Mínimos Cuadrados Ordinarios

2.2.1

Regresión simple

Dejamos de hablar del modelo teórico poblacional subyacente para hacer una estimación de los parámetros de ese modelo: 1 𝑋1 +𝛽 =𝛽 𝑌 0 El error en este caso será:

1 𝑋1𝑖 ) 0 + 𝛽 𝜀𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 − (𝛽 La estimación MCO se hace minimizando la suma de cuadrados de los errores. ∑𝑛𝑖=1 𝜀𝑖 2. Esto se hace derivando por

los parámetros, lo que da lugar a las ecuaciones normales. La solución es:    𝛽0 = 𝑌 − 𝛽 1 𝑋1 𝑦 𝛽1 = Resultado interesante: 𝑐𝑜𝑣(𝑌𝑖 , 𝜀𝑖 ) = 0

𝑐𝑜𝑣  (𝑋1 , 𝑌) 𝑣𝑎𝑟  (𝑋1 )

Coeficiente R2 = coeficiente de determinación=coeficiente de correlación al cuadrado (Se demuestra): 𝑅2 =

𝑖) 𝑣𝑎𝑟 (𝑌 𝑣𝑎𝑟(𝜀𝑖 ) =1− 𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑖 ) 𝑣𝑎𝑟(𝑌𝑖 )

Aprovechando que n es igual para todos se puede escribir: 𝑅2 =

𝑆𝐶𝐸 𝑆𝐶𝑅 =1− 𝑆𝐶𝑇 𝑆𝐶𝑇

Donde SC es la suma cuadrática de las desviaciones de las medias de las variables: Estimada, Dependiente (Total) y Residuos.Limitaciones: -

𝑅2 no es válido si 𝛽0 es cero

-

No es comparables si cambiamos la variable endógena (dependiente) de tipo, por ejemplo a log.

-

No es buena cuando aumentamos los parámetros, tiende a la sobreparametrización.

2.2.2 2.2.2.1

Interpretación de los coeficientes del modelo: cambios de escala y relaciones no lineales Cambios de escala

Sencillo, comprobar a mano los efectos de un cambio concreto 2.2.2.2

Forma funcional

Se puede cambiar la función de cualquier variable y MCO con la nueva. Log-log, log-nivel, nivel-log. Tabla 2.3 incluye la interpretación de cada tipo de variable.

2.3

Regresión múltiple

2.3.1

Estimación MCO

Paralelismo general. Ecuaciones normales. (k+1), dan lugar a: Y = XB + E Donde Y, B y E son vectores columna con la variable dependiente, los coeficientes de regresión y el error respectivamente. La construcción de estimadores es igual que en el caso simple. La matriz X es una matriz con tantas filas como observaciones (n) y columnas como variables independientes (k o k+1, dependiendo si hay término independiente). En este caso, la suma cuadrática del error de la estimación ∑𝑛𝑖=1 𝜀𝑖 2 se puede expresar cómodamente como E’E =

(𝑌 − 𝑋𝐵 )′(𝑌 − 𝑋𝐵), que es la expresión que queremos minimizar. Se demuestra que el resultado MCO es: 𝐵𝑀𝐶𝑂 = (𝑋 ′ 𝑋) −1 𝑋′𝑦

El coeficiente R2 es igualmente válido con la misma expresión, aunque n tiene que ser mayor que k+1 y tiende a sobreestimar la calidad, aumentando siempre que se aumentan las variables, cosa indeseable. 2.3.2

Coeficiente de determinación R 2 corregido 𝑆𝐶𝑅 ⁄𝑛 − 𝑘 − 1 𝜎2  𝑅2 = 1 − =1− 2 𝑆𝐶𝑇 ⁄𝑛 − 1 𝑆𝑌

Donde: - 𝜎 2 es un estimador insesgado de la verdadera varianza de los residuos. Se ve más adelante. - 𝑆𝑌2 es la varianza muestral de Y. Se puede demostrar que el estimador insesgado de esta varianza es: 𝑆𝑌2 = Σ(𝑌 − 𝑌 )2⁄ 𝑛 − 1

El ‘n-1’ proviene de ajustar la ecuación al grado de libertad que eliminamos al calcular la media. 2.3.3

Formas funcionales cuadráticas

Modelo de regresión cuadrático: 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋1 2 + 𝜀 2.3.4

Términos de interacción

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + 𝛽3 𝑋1 𝑋2 + 𝜀 2.3.5

Regresiones con variables estandarizadas

Tipificar o estandarizar. Si expresamos todo el modelo estandarizado se llama modelo de coeficientes beta. La unidad de medida pasa a ser la desviación típica. No dependen de las unidades de medida 𝑍𝑗 =

2.4

Modelización

2.5

Apéndice técnico

𝑋𝑗 − 𝑋 𝑗 𝑆𝑥𝑗

Incluye la demostración del cálculo de los parámetros MCO simple y múltiple, la incorrelación de la variable estimada y los residuos, la incorrelación de la variable independiente y los residuos y el cálculo del coeficiente de determinación en notación matricial para regresión múltiple.

3

ASPECTOS AVANZADOS DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN

(No entra)

4 4.1

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL. INFERENCIA Supuestos clásicos para datos transversales y temporales

Se trata de supuestos del modelo teórico real, no de la estimación. Dependiendo de cuantos se cumplan tendremos unas u otras propiedades de las estimaciones por MCO o por otro método. Supuesto 1: Modelo lineal. El proceso estocástico del que provienen los datos es de naturaleza lineal. No hay multicolinealidad perfecta. Supuesto 2: Exogeneidad = esperanza condicionada nula. Para cada dato, el valor esperado del error teniendo en cu...