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ayuda para el examen de logica matematica y con las respuestas necesarias y formulas...

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Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022

FICHA DE CLASE N°12 ASIGNATURA: Elementos de Lógica Matemática

TEMA: Revisión y autoevaluación.

MATERIAL: ● Referencia de páginas manual: Sin Descripción ● Audiovisual: Video: Sin Descripción

PALABRAS CLAVES: modelo – autoevaluación -

¿QUÉ DEBO SABER LUEGO DE ESTA CLASE? 1. Ser capaz de identificar cada tema explicado en la cursada 2. Ser capaz de realizar correctamente los ejercicios propuestos 3. Ser capaz diferenciar cada tema estudiado

ACTIVIDADES Importante: las actividades tienen como objetivo la autoevaluación y seguimiento de los contenidos. No se deben enviar excepto se solicite por el docente.

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 ELEMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA Autoevaluación 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones son proposiciones y por qué? a. ¿Cuándo llegamos? b. ¡Lee el cartel! c. El titanio es un metal La proposición c “El titanio es un metal”. Ya que se puede extraer su valor de verdad. En este ejemplo el Valor de verdad es VERDADERO. (El titanio es un metal de transición de color gris) 2. a. Traducir el siguiente enunciado al lenguaje simbólico b. Realizar la tabla de verdad correspondiente c. Clasificar la proposición compuesta y justificar. “Si estudio y apruebo, podré tomarme unas vacaciones.” a. Primero debemos traducir al lenguaje simbólico. Se pueden identificar tres proposiciones simples: p: Si estudio q: Si apruebo r: Podré tomarme unas vacaciones Los conectores que se utilizan son “y” (∧) para conectar p y q, y “entonces” (⇒) para conectar a las anteriores con r. Nos queda la proposición compuesta: (𝑝 ∧ 𝑞 ) ⇒ 𝑟 b. Cuya tabla de verdad es: 𝒑

𝒒

𝒓

𝒑∧𝒒

(𝒑 ∧ 𝒒) ⇒ 𝒓

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 c. Se trata de una contingencia, ya que el valor de verdad de esta proposición compuesta depende de los valores que tomen las proposiciones simples que la componen. 3. Sabiendo que p  q es falso, determinar (si es posible) el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta, . 4. [( p  q )  p ]  q Sabiendo que p  q es falso deducimos que “p” es verdadero y “q”, falsa. Luego, (pq)p]q F

V F

F

V Los datos son suficientes. El valor de verdad de la proposición compuesta es Verdadero. 4. Clasificar el tipo de razonamiento. Justificar Ariel cursa Algebra y tiene un 4 en el primer parcial. Mónica cursa Álgebra y tiene un 4 en el primer parcial. Hernán cursa Álgebra y tiene un 4 en el primer parcial. Virginia cursa Álgebra y tiene un 4 en el primer parcial. Probablemente todos los estudiantes obtienen un 4 en el primer parcial. El Razonamiento es inductivo. El razonamiento inductivo parte de la observación de cierta propiedad en objetos de la misma clase y generaliza dicha propiedad a todos los miembros de esa clase. 5. Indicar si los datos que se dan son suficientes para saber el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta. Justificar psq

s  q es V.

Los datos NO son suficientes, ya que al analizar la tabla reducida nos queda doble resultado. 6. ¿Cuál de los siguientes gráficos indica la operación diferencia simétrica entre conjuntos? Justificar

a.

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022

b.

c.

El gráfico que indica la operación diferencia simétrica es el “b”, ya que son los elementos que pertenecen a ambos juntos, pero no pertenecen a su intersección. 7. Dados los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ / 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 6 }, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ / 𝑥 ≤ 8 } y 𝐶 = {𝑥 ∈ ℕ / 𝑥 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 5 ∧ 𝑥 < 30 }. Se pide calcular: 𝐴∩𝐵 = 𝐴∪𝐶 = 𝐵−𝐴 = 𝐶△𝐵= 𝐵 ∩ (𝐶 − 𝐴 ) = Primero conviene definir por extensión los conjuntos dados: 𝐴 = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6 } 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 } 𝐶 = {5; 10; 15; 20; 25} Luego calculamos las operaciones pedidas: 𝐴 ∩ 𝐵 = {1; 2; 3; 6} 𝐴 ∪ 𝐶 = {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6 ; 5; 10; 15; 20; 25 } 𝐵 − 𝐴 = {4; 5; 7; 8} 𝐶 △ 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 10,15; 20; 25} 𝐴 ∩ ( 𝐶 − 𝐵) = 𝜙 8. Leer atentamente, graficar el diagrama de Venn y responder. A la entrada de la escuela, se les aplicó a 156 niños una encuesta respecto a sus juguetes favoritos. La encuesta arrojó los siguientes resultados: ▪ A 52 niños les gustaba el balón; a 63 les gustaban los carritos; a 87 les gustaban los videojuegos. ▪ Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba más de un juguete: 26 juegan con el balón y carritos; 37 juegan con carritos y videojuegos; 23 juegan con el balón y los videojuegos; por ultimo 7 expresaron su gusto por los tres. a) ¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta? b) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los videojuegos?

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 c) ¿A cuántos niños les gusta balón y carrito solamente? d) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón? a) ¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta? 33 niños b) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los videojuegos? 34 niños c) ¿A cuántos niños les gusta balón y carrito solamente? 19 niños d) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón? 10

9. Indicar V o F, justificando los falsos. V

F

Justificación

V

F X

Justificación La función lineal tiene como representación gráfica una línea recta La pendiente es m=6; es mayor que cero, por lo tanto es creciente Al reemplazar (0; 0) nos da una igualdad,

a) La función lineal tiene como representación gráfica una línea curva b) La función f(x) = 6 x – 2 es decreciente c) La función y = - 6 x pasa por el origen de coordenadas d) Las rectas y = - 7 x + 2 y y = 7 x - 9 son perpendiculares 2 5 e) 𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑦 = 𝑥 − 8 ∧ 𝑦 = − 𝑥 Son Perpendiculares 2

5

Indicar V o F, justificando los falsos. f)

La función lineal tiene como representación gráfica una línea curva

g) La función f(x) = 6 x – 2 es decreciente

h) La función y = - 6 x pasa por el origen de coordenadas

X

X

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022

i) Las rectas y = - 7 x + 2 y y = 7 x - 9 son perpendiculares

j)

𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑦 =

5 2

X

2

𝑥 − 8 ∧ 𝑦 = − 5 𝑥 Son Perpendiculares

X

es decir, la grafica pasa por el (0; 0) que es el origen de coordenadas. Las pendientes no tienen la forma m1 =1/m2 Las pendientes no tienen la forma m1 =1/m2

10. Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa al origen es 2 y es perpendicular a la recta 2𝑥 = 1

− 3 − 3𝑦 .

Encontrar analíticamente el punto de intersección. La ecuación que debemos encontrar tiene abscisa al origen2, entonces podemos expresarlo como el punto (2; 0) 1

Además, la ecuación que debemos encontrar es perpendicular a 2𝑥 = − − 3𝑦, debemos pasar la expresión a la forma explícita para extraer la pendiente.

3

1 2𝑥 = − − 3𝑦 3 2𝑥 +

1 = −3𝑦 3

2 1 − 𝑥− =𝑦 9 3 2

→ m = −3

Aplicamos la definición de perpendicular y nos quedan los siguientes datos para armar la ecuación de la recta pedida: 𝑚=

3

2

Punto (2; 0) 𝑦−0= 𝑦=

3 (𝑥 − 2) 2

3 𝑥−3 2

Encontrar analíticamente el punto de intersección entre ambas rectas

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 2

R1: 𝑦 = − 𝑥 − 91 3

3 R 2: 𝑦 = 2 𝑥 − 3

Resolución analítica por el método de igualación:

1 3 2 − 𝑥− = 𝑥−3 3 9 2 3 1 2 − 𝑥− 𝑥= −3 3 2 9 26 13 𝑥= 9 6 𝑥=

4 3

Reemplazo en cualquier ecuación dada para obtener el valor de “y”: 𝑦=

3 4 ∗ −3 2 3

𝑦 = −1 4

El punto de intersección entre ambas rectas es S= (3 ; −1) 11. . Halla la ecuación de una recta perpendicular a 𝑥 − 5𝑦 − 15 = 0 que pase por el punto A = (-1; 2). Grafica la recta obtenida. Primero debemos pasar la ecuación de recta dada a su forma explícita (para eso despejamos “y”): 𝑥 − 5𝑦 − 15 = 0 −5𝑦 = −𝑥 + 15 −𝑥 + 15 𝑦= −5 1 𝑦 = 𝑥−3 5 Como queremos una recta perpendicular, su pendiente debe ser 𝑚 = −5. Recuerda que las pendientes de rectas perpendiculares son opuestas e inversas. Sabiendo que la pendiente es 𝑚 = −5 y que pasa por el punto A = (-1; 2), podemos encontrar la ecuación: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑦 − 2 = −5(𝑥 − (−1)) 𝑦 − 2 = −5(𝑥 + 1) 𝑦 = −5𝑥 − 5 + 2 𝑦 = −5𝑥 − 3

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 La gráfica de la recta obtenida es:

12. Dada la recta R1 que pasa por los puntos A=(-2; 4) y B= (2; 3); y la recta R2 que es perpendicular a la anterior y tiene la misma ordenada al origen que y = -3x + 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones dado por las ecuaciones de ambas rectas. Primero debemos encontrar las ecuaciones de R1 y R2. Empecemos con R1, dados los dos puntos podemos calcular su pendiente: 3−4 1 𝑚1 = =− 4 2 − (−2) Con la pendiente y tomando uno de los puntos (en este caso elegimos el B) ya podemos calcular su ecuación: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) 1 𝑦 − 3 = − (𝑥 − 2) 4 1 1 𝑦−3=− 𝑥+ 4 2 1 1 𝑦=− 𝑥+ +3 4 2 1 7 𝑦=− 𝑥+ 2 4

Calculemos ahora la ecuación de R2. Como es perpendicular a R1, su pendiente es 𝑚 = 4 y su ordenada al origen es 1. Nos queda: y = 4x+1. El sistema de ecuaciones que definen es: 7 1 𝑦=− 𝑥+ { 4 2 𝑦 = 4𝑥 + 1 Vamos a resolverlo por el método de igualación: 1 7 − 𝑥 + = 4𝑥 + 1 4 2 1 7 − 𝑥 − 4𝑥 = 1 − 2 4

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 −

17

5 𝑥=−2 4 5 𝑥 = − ∶ (− 17 ) 4 2 10 𝑥= 17

Reemplazando en alguna de las ecuaciones (o en las dos para verificar) obtenemos el valor de “y”: 57 10 +1= 𝑦=4∙ 17 17 10 57 Luego, el conjunto solución del sistema es 𝑆 = {( 17 ; )} 17

13. ¿De cuántas maneras puede elegirse al azar un delegado de curso y un suplente, sabiendo que hay 20 alumnos? Rta. 2 𝑉20 =

20! (20 − 2)

2 = 380 𝑉20

Es una variación ya que importa el orden de extracción; porque tiene más categoría ser delegado que suplente. Por lo tanto, se puede seleccionar un delegado y su suplente de 380 maneras diferentes. 14. ¿Cuántas permutaciones podemos hacer con las letras de la palabra LOGICA sin que se separen, ni cambien el orden de las letras GI? Rta. 𝑃5 = 5!

Se pueden formar 120 permutaciones.

𝑃5 = 120

15. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse si… a) …los premios son distintos? b) …los premios son iguales? a) Los premios son diferentes (no es lo mismo ganar el primer premio, que el segundo, y así) entonces importa el orden, por lo que para resolver este problemas hay que hacer una 3 = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720. VARIACIÓN de 10 tomados de a 3: 𝑉10 Hay 720 maneras diferentes de repartir los 3 premios si éstos son distintos. b) En este caso, los premios son iguales y al no haber una jerarquí a no hay orden. Para resolverlo haremos una COMBINACIÓN de 10 tomados de a 3.

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 3 = 𝐶10

3 𝑉10

10 ∙ 9 ∙ 8 = 120 3! = 3 Hay 120 maneras diferentes de repartir los 3 𝑃 premios si éstos son diferentes. 16. a) ¿Cuántos números de tres cifras significativas se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? b) ¿Cuántos números que sean divisibles por 10? c) ¿Cuántos números que sean mayores que 400? a) Dado que queremos formar números y el orden importa, tendremos que hacer una variación. Si las cifras deben ser significativas, el número no puede comenzar con cero. Por lo tanto, debemos hacer una variación de 6 tomados de a 3, pero luego restar aquellas posibilidades que comiencen con cero (variación de 5 tomados de a 2). 𝑉63 − 𝑉52 = (6 ⋅ 5 ⋅ 4) − (5 ∙ 4) = 120 − 20 = 100 Rta: Se pueden formar 100 números de tres cifras significativas. b) Si los números son divisibles por 10, deben terminar en cero. Nos resta elegir las dos primeras cifras entre los cinco dígitos restantes. Es una variación de 5 tomados de a 2. 𝑉52 = 5 ⋅ 4 = 20 Rta: Se pueden formar 20 números de tres cifras divisibles por 10. c) Si los números deben ser mayores que 400, deben comenzar con 4 o 5. 2 ∙ 𝑉52 = 2 ∙ (5 ⋅ 4) = 40 Rta: Se pueden formar 40 números de tres cifras mayores que 400. 17. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas, y se consideran los siguientes sucesos: A= "obtener una de oros", B = "obtener una sota" y C = "obtener un tres". Di si son compatibles o incompatibles estos tres sucesos tomados de a dos. Explica por qué. Son incompatibles, porque B y C no se pueden dar a la vez ( B y C son incompatibles, ya que una carta no puede ser un 3 y una sota en simultáneo). Sin embargo, tanto A y B como A y C sí son compatibles (se podría obtener una sota de oros o un tres de oros). Pero tomando los tres sucesos son incompatibles, por no ser compatibles entre sí los tres a la vez.

18. Al lanzar dos dados de distinto color, uno rojo y uno blanco, a. ¿cuál es la probabilidad de que en el rojo salga un número par b. ¿Cuál es la probabilidad de que en el blanco salga un número menor o igual a 4? a. Vamos a calcular la probabilidad de que en el rojo salga un número par, que llamaremos suceso A. Recordemos que para calcular la probabilidad de un suceso “S” realizamos el cociente entre el número de casos favorables y la cantidad de casos totales, es decir, 𝑃(𝑆) = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 . 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

En nuestro problema los casos favorables son tres: {2; 4; 6} y los

totales son los seis números del dado.

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 𝑃(𝐴) =

3

1 =2 6 𝑃(𝐴) = 0,5

La probabilidad de que salga par al tirar una vez el dado es: 0,5. b. Ahora vamos a calcular la probabilidad de que en el blanco sala un número menor o igual a cuatro, que llamaremos suceso B. Nuestros casos favorables son 4: {1; 2; 3; 4}. 4 2 𝑃(𝐵) = = 6 3 𝑃(𝐵) = 0, 6

Por el principio de probabilidad compuesta, dado que los sucesos independientes (el número que salga en el dado rojo no condiciona al que sale en el blanco ni viceversa), nos queda: 1 2 1 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = 𝑃 (𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = ∙ = 2 3 3  𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) = 0, 3

Luego, la probabilidad de que en el rojo salga un número par y que en el blanco salga un número menor o igual a 4 es 0, 3. 19. Completa con una X en la tabla según corresponda. Justifica. Variable

Cuantitativa

Cualitativa

Discreta

Continua

Cuantitativa

Cualitativa X

Discreta

Continua

Justificación

La nacionalidad de una persona. Número de libros en un estante de una biblioteca. Número de litros de agua contenidos en un depósito. La profesión de una persona. Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de dados.

Variable La nacionalidad de una persona.

Justificación La nacionalidad no se puede medir. Al no ser una variable cuantitativa

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022

Número de libros en un estante de una biblioteca.

X

Número de litros de agua contenidos en un depósito.

X

X

X

La profesión de una persona.

X

Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de dados.

X

X

no se clasifica en discreta o continua. La cantidad de libros se puede cuantificar y será un número entero (por eso es discreta). La cantidad de litros de agua se puede expresar numéricamente y admite cualquier valor dentro de un rango (por eso es continua). Es decir, puede haber una cantidad entre 2 y 3 litros (por ejemplo 2,3 litros o 2,5 litros). La profesión no se puede representar mediante un número. La suma obtenida se puede expresar numéricamente. Como las caras del dado tienen los números enteros del 1 al 6, la suma será también un entero y por eso es una variable discreta.

20. Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes: 1 4 2 4

7 5 6 5

9 6 4 2

2 7 6 4

5 6 5 3

4 4 2 5

4 3 2 6

3 1 8 5

7 5 3 2

8 9 6 4

Calcula la nota promedio del curso e indica qué representa la misma. Calcula la nota que más se repite e indica cómo se denomina matemáticamente, y que significa en el ejercicio. Para calcular el promedio debemos resolver: 𝑋 =

∑ 40 𝑖=1 𝑋𝑖 ∙ 𝑓𝑖 40

=

1 ∙ 2 + 2 ∙ 6 + 3 ∙ 4 + 4 ∙ 8 + 5 ∙ 7 + 6 ∙ 6 + 7 ∙ 3 + 8 ∙ 2 + 9 ∙ 2 184 = 40 40 𝑋 = 4,6

El promedio es 4,6 e indica que si todos los estudiantes del curso de inglés se hubiesen sacado la misma nota ésta hubiera sido 4,6.

Observación: Recordemos que 𝑋𝑖 representa a los valores que toma nuestra variable, que son las notas obtenidas por los estudiantes del 1 al 9; y que 𝑓𝑖 es la frecuencia absoluta de esos valores de nuestra

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 variable, es decir, la cantidad de veces que se repite cada valor (por ejemplo, la nota 2 se repite 6 veces, entonces 6 es la frecuencia absoluta de 2). Mo= 4. El valor que más se repite, matemáticamente se denomina MODA o MODO. La nota que más obtuvieron es 4. 21. En una clase de 25 alumnos hemos preguntado la edad de cada uno y se obtuvieron estos resultados: 14, 14, 15, 13, 15, 14, 14, 14, 14, 15, 13, 14, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 13, 14, 14, 14, 15, 14 Realiza una tabla de frecuencias donde aparezcan las frecuencias absolutas, acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas. Edad

Frecuencia absoluta

13 14 15 16

4 13 7 1

Frecuencia absoluta acumulada 4 17 24 25

Frecuencia relativa 0,16 0,52 0,28 0,24

Frecuencia relativa acumulada 0,16 0,68 0,96 1

22. Una empresa de colectivos registró la cantidad de pasajeros transportados durante 50 viajes con el siguiente resultado: 59 - 58 - 55 - 55 - 59 - 53 - 55 - 52 - 58 - 53 54 - 59 - 55 - 57 - 55 - 56 - 56 - 56 - 55 - 56 59 - 55 - 53 - 58 - 59 - 59 - 55 - 55 - 53 - 55 59 - 59 - 59 - 59 - 55 - 54 - 55 - 57 - 57 - 54 58 - 55 - 59 - 53 - 58 - 59 - 57 - 58 - 54 - 55 a) b) c) d)

Realizar una tabla de frecuencias. Calcular la moda e indicar qué representa la misma. Calcular el promedio e indicar su significado. Calcular la media y explicar qué representa.

a) Tabla de frecuencias: Cantidad de pasajeros

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

52 53 54 55 56 57 58 59

1 5 4 14 4 4 6 12 50

0,02 0,10 0,08 0,28 0,08 0,08 0,12 0,24 1

Frecuencia absoluta acumulada 1 6 10 24 28 32 38 50

Frecuencia relativa acumulada 0,02 0,12 0,20 0,48 0,56 0,64 0,76 1

Porcentaje 2% 10% 8% 28% 8% 8% 12% 24% 100%

Universidad Nacional de La Matanza Curso de Ingreso 2022 b) 𝑀𝑜𝑑𝑎 = 55. Indica que la mayoría de los días en los que se realizó la observación viajaron 55 personas. c) 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 2811: 50 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 56,22 ≈ 56. Indica que, si todos los días hubiese habido la misma cantidad de pasajeros, ésta hubiese sido de 55 personas. d) 𝑀𝑒𝑑...