Riassunto Fisica Generale, Meccanica - cinematica,i principi della dinamica, applicazioni,energia,lavoro, dinamica dei sistemi e gravitazione - fisica - a.a. 2016/2017 PDF

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STEFANO MAGNI | INGEGNERIA BIOMEDICA FISICA GENERALE MECCANICA 1 POLITECNICO DI MILANO 1 STEFANO MAGNI | INGEGNERIA BIOMEDICA FISICA GENERALE MECCANICA 1 POLITECNICO DI MILANO 1 STEFANO MAGNI | INGEGNERIA BIOMEDICA POLITECNICO DI MILANO SOMMARIO CINEMATICA...............................................

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STEFANO MAGNI | INGEGNERIA BIOMEDICA

FISICA GENERALE MECCANICA

1

POLITECNICO DI MILANO

1

STEFANO MAGNI | INGEGNERIA BIOMEDICA

POLITECNICO DI MILANO

SOMMARIO CINEMATICA..................................................................................................................................................... 2 1.Moti e sistemi di riferimento.....................................................................................................................2 2. Lo schema del punto materiale................................................................................................................2 3. Traiettoria e legge oraria...........................................................................................................................2 4. Velocità.....................................................................................................................................................3 Rappresentazione intrinseca della velocità...............................................................................................3 5. Accelerazione............................................................................................................................................4 Espressione intrinseca dell’accelerazione.................................................................................................4 6. Moti elementari........................................................................................................................................5 Moti uniformi...........................................................................................................................................5 Moti uniformemente vari.........................................................................................................................5 7. Moti rettilinei............................................................................................................................................5 8. Moti circolari.............................................................................................................................................6 Versori e geometria intrinseci nella traiettoria.........................................................................................6 Moto circolare uniforme...........................................................................................................................6 Moto uniformemente vario......................................................................................................................6 Grandezze angolari...................................................................................................................................6 Periodicità moto circolare uniforme.........................................................................................................7 9. Moto oscillatorio armonico......................................................................................................................7 10. Moto con accelerazione costante (i gravi)..............................................................................................7 11. Cinematica dei moti relativi....................................................................................................................8 Trasformazione velocità e accelerazione..................................................................................................8 Trasformazioni di Galileo..........................................................................................................................8 I PRINCIPI DELLA DINAMICA.............................................................................................................................8 Le forze..................................................................................................................................................... 9 Le reazioni vincolari..................................................................................................................................9 Introduzione ai principi della dinamica.....................................................................................................9 Quantità di moto e impulso......................................................................................................................9 Momento angolare.................................................................................................................................10

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APPLICAZIONE DEI PRINCIPI DELLA DINAMICA...............................................................................................10 1.

Forze elastiche e legge di Hooke.........................................................................................................10

2.

Il pendolo semplice.............................................................................................................................11

3.

Forze che dipendono dalla velocità....................................................................................................11

4.

Attrito.................................................................................................................................................11

5.

Dinamica di moti circolari...................................................................................................................12

6.

Dinamica nei sistemi di riferimento non inerziali................................................................................12 La dinamica in un treno accelerato.........................................................................................................12 La dinamica in un ascensore accelerato..................................................................................................12 La dinamica su una piattaforma rotante.................................................................................................13

7.

Sistema di riferimento terrestre..........................................................................................................13

ENERGIA E LAVORO........................................................................................................................................13 1.

Lavoro di una forza.............................................................................................................................13

2.

Energia cinetica- Teorema delle forze vive..........................................................................................14

3.

Campi di forze conservativi.................................................................................................................14 Forza peso...............................................................................................................................................15 Forza elastica..........................................................................................................................................15 Forze centrali a simmetria sferica...........................................................................................................15 Forza centrifuga......................................................................................................................................16

4.

Forze non conservative.......................................................................................................................16

5.

Conservazione dell’energia meccanica...............................................................................................16

6.

Potenza [Watt]....................................................................................................................................17

7.

Conservazione dell’energia.................................................................................................................17

DINAMICA DEI SISTEMI...................................................................................................................................17 1.

Centro di massa..................................................................................................................................17 Sistemi continui......................................................................................................................................17

2.

Quantità di moto e moto centro di massa..........................................................................................18

3.

Momento angolare di un sistema.......................................................................................................18

4.

Terzo principio della dinamica............................................................................................................19 Moto rispetto al centro di massa............................................................................................................19

5.

Urti......................................................................................................................................................19

GRAVITAZIONE................................................................................................................................................ 20 1.

Legge di Newton e Keplero.................................................................................................................20

2.

Orbite circolari nel campo gravitazionale............................................................................................20

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CINEMATICA La cinematica si occupa della descrizione spazio-temporale del moto dei corpi, assumendo che esso avvenga con continuità. Il moto di un punto materiale è rappresentato da un’equazione vettoriale, che contiene informazioni sia sulla traiettoria sia sulle modalità con cui essa viene percorsa (legge oraria). Tra i fenomeni che hanno attirato l’attenzione degli uomini fin dai tempi più remoti, e hanno contribuito alla nascita e allo sviluppo della Fisica come scienza, sono di particolare rilievo quelli che coinvolgono i moti dei corpi: essi sono oggetto di studio di quella parte della fisica che va sotto il nome di Meccanica. Quest’ultima può essere considerata la pietra angolare di tutte le scienze pure e applicate, sia dal punto di vista storico sia per il suo contenuto e le sue applicazioni. Lo sviluppo della Meccanica ha infatti stimolato la ricerca anche nel campo della Matematica, ad esempio portando all’introduzione del calcolo integrale e infinitesimale.

1.Moti e sistemi di riferimento È esperienza comune il fatto che la posizione e il moto di un corpo devono essere riferiti ad altri corpi e sono quindi concetti relativi. Il concetto di moto, infatti, presuppone la presenza di qualcosa d’altro, cui fare riferimento. La scelta del sistema di riferimento, inteso come insieme dei corpi, osservatori, regoli e orologi fissi fra di loro, è una scelta arbitraria, tuttavia questi non vanno sottovalutati in quanto posso semplificare anche di molto l’impostazione del problema.

2. Lo schema del punto materiale In molte situazioni è possibile adottare un’opportuna schematizzazione, che consente notevoli semplificazioni senza essere troppo riduttiva. Essa consiste nel trascurare le dimensioni reali dei corpi, rappresentandoli, ai fini della descrizione cinematica, come un punto geometrico, cioè come un’entità astratta priva di dimensioni. In questi casi si parla di schema del punto materiale, generalmente accettabile quando le dimensioni lineari dei copri sono trascurabili rispetto alle distanze che vengono percorse. (centro di massa).

3. Traiettoria e legge oraria Si dice che un corpo è in moto rispetto a un dato sistema di riferimento S quando la sua posizione in S cambia con il tempo. Nello schema del punto materiale, le caratteristiche del movimento in S sono fornite dalla conoscenza del vettore posizione r del punto in funzione del tempo.

r= r(t)

 x=x(t) y=y(t) z=z(t)

Tali informazioni sono sia di tipo essenzialmente geometrico sia più propriamente fisiche: infatti, le prime permettono di individuare una curva geometrica, la traiettoria, cioè l’insieme delle posizioni occupate dal punto nel suo moto; le seconde caratterizzano le modalità con cui il corpo percorre nel tempo la traiettoria. Nella descrizione del moto, per sapere l’aspetto geometrico da quello cinematico, è conveniente un altro approccio, basato sulla cosiddetta rappresentazione intrinseca della traiettoria. A ogni punto P sulla traiettoria potremo allora fare corrispondere un numero reale s, detto ascissa curvilinea, il cui modulo fornisce, la lunghezza dell’arco di curva rettificato ΩP. Con l’introduzione della variabile s, la descrizione del moto di P si può effettuare conoscendo le due funzioni. r= r(s)  equazione della traiettoria in forma parametrica, secondo il parametro intrinseco s. s= s(t)  equazione oraria o legge oraria. Descrive come il corpo si muove lungo la traiettoria nel tempo. 4

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4. Velocità Per lo studio quantitativo dell’evoluzione del moto sono di centrale importanza i concetti di velocità e di accelerazione. Le grandezze fisiche corrispondenti sono grandezze vettoriali collegate al vettore spostamento.  Consideriamo due istanti, t e t’= t+∆t. Siano P e P’ le posizioni occupate dall’oggetto in tali istanti e siano r(t) e r(t’) i corrispondenti vettori posizione rispetto all’origine del sistema di riferimento. ∆r = r(t’) – r(t)  spostamento (informazione media) Vm =

r (t +∆ t)−r (t ) ∆t

 velocità media nell’intervallo ∆t

Una descrizione più fedele e puntuale delle caratteristiche del moto può essere ottenuta quando, si hanno ulteriori informazioni sperimentali su ciò che accade fra t e t’; se cioè possiamo studiare come si comporta il vettore Vm al ridursi della durata dell’intervallo temporale ∆t. Definiamo come velocità istantanea il vettore:

v=

lim V m = lim

∆t→0

∆t→0

( ∆∆tr )

v(t) =

d r (t) dt

Per sua definizione la velocità media fra t e t’ è un vettore parallelo allo spostamento PP’, e ha quindi direzione della retta (secante) che interseca la traiettoria in P e P’, di conseguenza la velocità al tempo t ha la direzione della retta tangente alla traiettoria nel punto P. Per t’ che tende a t la direzione della secante tende a diventare quella della tangente e la corda tende a confondersi con l’arco elementare.

Rappresentazione intrinseca della velocità Un’espressione formale del vettore v, può essere facilmente ottenuta ricorrendo alla rappresentazione intrinseca della traiettoria. Per trattare efficacemente il moto con questo nuovo sistema di riferimento sarà utile introdurre il concetto di versore tangente a una curva. Esso può essere espresso attraverso il limite del rapporto incrementale della variazione dello spostamento rispetto alla variazione di ascissa curvilinea:

u t=

lim ∆s→0

Δr d r = Δs dt

A questo punto è possibile riscrivere la velocità con la variabile intermedia s, così come segue:

v=

ds ∙u dt t

V= v s ∙ ut =´s ∙ ut

La velocità è tangente alla traiettoria, e il suo modulo è dato da

|dsdt|

, chiamato anche velocità scalare.

La grandezza vettoriale velocità fornisce le informazioni necessarie per seguire gli spostamenti elementari di un corpo in movimento. Il moto può essere considerato infatti come una successione di spostamenti rettilinei infinitesimi dr=v•dt. Tali spostamenti hanno intensità proporzionale a dt. Lo spazio percorso è la somma delle lunghezze degli archi infinitesimi percorsi sulla traiettoria e quindi è dato dalla somma delle grandezze elementari |ds|= |v|•dt. 5

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t2

t1

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∫|v (t )|dt=∫ v ( t ) dt 5. Accelerazione Il vettore velocità v non resta costante al trascorrere del tempo, ma cambia perché variano il suo modulo, la sua direzione orientata o entrambi. Poiché le variazioni di velocità risultano importanti ai fini dello svolgimento del moto, s’introduce un vettore che tiene conto di tali cambiamenti. Se all’istante t la velocità è v(t) e all’istante t’= t+ ∆t la velocità è v(t’), si definisce accelerazione media nell’intervallo ∆t il vettore: a m=

v ( t+ ∆t )−v (t) ∆t

Una migliore rappresentazione si ottiene utilizzando intervalli ∆t sempre più piccoli e considerando quindi il valore limite di am per ∆t che tende a zero. Tale limite definisce l’accelerazione istantanea:

a=

lim a m= lim

∆t→0

∆ t →0

( ∆∆tv )

d v (t) d 2 r (t) = a(t) = 2 dt dt

Espressione intrinseca dell’accelerazione È facile dimostrare che a si può esprimere come somma di due vettori componenti, uno parallelo alla velocità, e collegato alla rapidità di variazione della sua parte scalare, e un altro perpendicolare alla velocità, dipendente dalla rapidità di variazione della sua direzione.

a=

d ut d vs dv d ut +v s = ( v s ∙ut )= dt dt dt dt

at =

d2 s ut =´s ∙ ut d t2

Tale componente ha lo stesso verso di ut se la velocità scalare cresce, o verso opposto se la velocità scalare diminuisce. Esso è il componente di a che riflette le variazioni del modulo e/o del verso di v, e viene anche detto componente tangenziale di a o accelerazione tangenziale, in quanto ha la direzione tangente alla traiettoria di v. Per ottenere un’espressione più significativa del componente di a perpendicolare a ut, occorre tenere in considerazione il cerchio osculatore (raggio ρ), ovvero quel cerchio immaginario creato sulla traiettoria. Esso ha il centro nel centro di curvatura della traiettoria e la perpendicolare alla retta tangente nel punto è chiamata normale principale. Introduciamo quindi il versore normale, identificato come il vettore di modulo unitario nella direzione della normale principale e orientato verso il centro di curvatura. a=at + an= at ∙ ut +an u n=´s ∙u t +

2 s´ un ρ

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Il componente an viene anche detto componente normale dell’accelerazione. È importante osservare che la corrispondente parte scalare è sempre non negativa, per cui an punta sempre al centro di curvatura; essa è chiamata accelerazione centripeta e si esprime come:

an =

v2 u ρ n

6. Moti elementari Queste due relazioni permettono di classificare in modo assai semplice i moti più elementari su traiettoria nota, in quanto consentono di separare l’aspetto cinematico da quello geometrico.

{

v=´s ∙ut s´ 2 a= s´ ∙ ut + un ρ Dal punto di vista dell’equazione oraria a) Moti con s´ =costante detti moti uniformi c) Moti con s´ =costante detti moti uniformemente vari.

Dal punto di vista geometrico b) Moti rettilinei, caratterizzati da ρ → ∞ d) Moti circolari, caratterizzati da

ρ=costante

Moti uniformi La ricerca di una funzione s(t), di cui è nota la derivata, equivale a determinare una primitiva di ´s (t) , cioè a farne l’integrale ind...