Równania różniczkowe 2 rzędu sprowadzalne do 1 rzędu 3 PDF

Preview

Summary

Download Równania różniczkowe 2 rzędu sprowadzalne do 1 rzędu 3 PDF

Description

MiBM, sem.2

Równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu cz.1. – wykład

rok akad. 2019/2020

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ PIERWSZEGO RZĘDU Szanowni Państwo, poniżej przedstawione są trzy typy równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu, które można przekształcić do równań różniczkowych pierwszego rzędu. Kolejność rozwiązywania tych równań jest następująca:   

w pierwszym kroku przekształcamy dane równanie do równania pierwszego rzędu (opisane poniżej) – w danym równaniu drugiego rzędu będzie występować nieznana funkcja 𝑦, w drugim kroku należy rozpoznać typ równania pierwszego rzędu i wyznaczyć całkę ogólną tego równania (rozwiązanie ogólne), w trzecim kroku należy wrócić do zastosowanego podstawienia i wyznaczyć całkę ogólną równania drugiego rzędu.

1. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu postaci 𝐹(𝑥, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 0

(1)

można przekształcić do równania różniczkowego pierwszego rzędu stosując podstawienie 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑡(𝑥),

(2)

gdzie 𝑡 jest nową funkcją tej samej zmiennej niezależnej co funkcja 𝑦. Uwaga 1: W równaniu (1) nie występuje nieznana funkcja 𝑦. Uwaga 2: Równanie (1) na kartkach z teorią, które otrzymaliście ode mnie, oznaczone jest symbolem [R6].

Przykład 1. Przekształcić równanie różniczkowe 𝑥𝑦 ′′ − 𝑦′ = 0

(3)

do równania różniczkowego pierwszego rzędu. Rozwiązanie. Stosując podstawienie (2), tzn. 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑡(𝑥)

(4)

𝑦′′ = 𝑡′(𝑥).

(5)

możemy wyznaczyć 𝑦′′, czyli

Wstawiając teraz odpowiednie pochodne (4) i (5) do równania (3) otrzymamy: 𝑥𝑡′ − 𝑡 = 0.

(6)

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, a dokładnie w tym przypadku równanie o zmiennych rozdzielonych – typu [R1]. Koniec Przykładu 1.

MiBM, sem.2

Równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu cz.1. – wykład

rok akad. 2019/2020

2. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu postaci 𝐹(𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 0

(7)

można przekształcić do równania różniczkowego pierwszego rzędu stosując podstawienie 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑡(𝑦),

(8)

gdzie 𝑡 jest nową funkcją zmiennej niezależnej 𝑦. Uwaga 1: W równaniu (7) nie występuje zmienna niezależna 𝑥. Uwaga 2: Równanie (8) na kartkach z teorią, które otrzymaliście ode mnie, oznaczone jest symbolem [R7].

Przykład 2. Przekształcić równanie różniczkowe 𝑦𝑦 ′′ = (𝑦 ′ )3

(9)

do równania różniczkowego pierwszego rzędu. Rozwiązanie. Stosując podstawienie (8), tzn. 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑡(𝑦)

(10)

możemy wyznaczyć 𝑦′′, różniczkując obustronnie (10) ze względu na 𝑥, czyli 𝑦 ′′ (𝑥) = 𝑡′(𝑦) ∙ 𝑦′(𝑥).

(11)

Następnie możemy podstawić za 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑡(𝑦), na podstawie (10) i otrzymamy 𝑦 ′′ (𝑥) = 𝑡′(𝑦) ∙ 𝑡(𝑦).

(12)

Wstawiając teraz odpowiednie pochodne 𝑦′ i 𝑦′′, na podstawie (10) i (12), do równania (9) dostaniemy 𝑦𝑡′ 𝑡 = 𝑡3 .

(13)

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, w tym przypadku również równanie o zmiennych rozdzielonych – typu [R1]. Koniec Przykładu 2.

3. Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu postaci 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 0

(14)

nazywamy równaniem jednorodnym ze względu na 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , jeżeli funkcja 𝐹 (lewa strona równania) jest jednorodna ze względu na 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ . Funkcję 𝐹 nazywamy jednorodną względem zmiennych 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , jeżeli istnieje taka liczba 𝑚, że dla każdego 𝑥 z pewnego przedziału i dla każdego 𝑘 zachodzi następująca równość 𝐹 (𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑦 ′ , 𝑘𝑦 ′′ ) = 𝑘𝑚 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ), gdzie 𝑚 nazywamy stopniem jednorodności.

(15)

MiBM, sem.2

rok akad. 2019/2020

Równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu cz.1. – wykład

Przykład 3. Sprawdzić, czy równanie różniczkowe 1

𝑦𝑦 ′′ − (𝑦 ′ )2 + 𝑦𝑦′ = 0 𝑥

(16)

jest jednorodne ze względu na 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ .

Rozwiązanie. W celu sprawdzenia czy równanie (16) jest jednorodne, należy sprawdzić, czy lewa strona równania jest funkcją jednorodną względem zmiennych 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ . Zatem, funkcja lewej strony równania jest następująca 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 𝑦𝑦 ′′ − (𝑦 ′ )2 +

1

𝑥

𝑦𝑦′.

(17)

Teraz należy sprawdzić czy zachodzi równość (15), tzn. czy można wyłączyć przed nawias czynnik 𝑘𝑚 . Zatem liczymy 𝐹 (𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑦 ′ , 𝑘𝑦 ′′ ) = 𝑘𝑦𝑘𝑦 ′′ − (𝑘𝑦 ′ )2 +

1 𝑘𝑦𝑘𝑦 ′ 𝑥

= 𝑘2 𝑦𝑦 ′′ − 𝑘2 (𝑦 ′ )2 +

1

𝑥

𝑘2 𝑦𝑦 ′.

Ostatecznie możemy zapisać, że 𝐹 (𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑦 ′ , 𝑘𝑦 ′′ ) = 𝑘2 (𝑦𝑦 ′′ − (𝑦 ′ )2 +

1 𝑦𝑦 ′ ) 𝑥

= 𝑘2 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ).

Zatem funkcja 𝐹 jest jednorodna względem zmiennych 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ (stopień jednorodności 𝑚 = 2), więc równanie (16) jest jednorodne. Koniec Przykładu 3.

Równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu jednorodne względem zmiennych 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ postaci 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 0

(18)

można przekształcić do równania różniczkowego jednego z typów przedstawionych powyżej (typu [R6] lub [R7]), stosując podstawienie 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑡(𝑥) .

(19)

Uwaga 1: Równanie (18) na kartkach z teorią, które otrzymaliście ode mnie, oznaczone jest symbolem [R8].

Przykład 4. Przekształcić równanie różniczkowe 1

𝑦𝑦 ′′ − (𝑦 ′ )2 + 𝑦𝑦′ = 0 𝑥

(20)

do równania różniczkowego typu [R6] lub [R7]. Rozwiązanie. W przykładzie 3. wykazaliśmy, że równanie (20) jest jednorodne względem zmiennych 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ . Zatem możemy zastosować podstawienie 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑡(𝑥) ,

(21)

by przekształcić to równanie do równania typu [R6] lub [R7]. W tym celu wyznaczymy pochodną rzędu pierwszego i drugiego funkcji 𝑦. Ponieważ 𝑦 (𝑥) = 𝑒 𝑡(𝑥) , to 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑡(𝑥) ∙ 𝑡′(𝑥)

(22)

MiBM, sem.2

Równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu cz.1. – wykład

rok akad. 2019/2020

oraz 𝑦 ′′ (𝑥) = 𝑒 𝑡(𝑥) ∙ 𝑡′ (𝑥) ∙ 𝑡′ (𝑥) + 𝑒 𝑡(𝑥 ) ∙ 𝑡′′ (𝑥)

(23)

(na podstawie wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji). Teraz, wyrażenia na 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , tzn. wyrażenia (21), (22), (23) wstawiamy do równania (20) i otrzymujemy 2

1

𝑒 𝑡(𝑥) (𝑒 𝑡(𝑥) ∙ 𝑡′ (𝑥) ∙ 𝑡′ (𝑥) + 𝑒 𝑡(𝑥) ∙ 𝑡′′ (𝑥)) − (𝑒 𝑡(𝑥) ∙ 𝑡′(𝑥)) + 𝑥 𝑒 𝑡(𝑥) ∙ 𝑒 𝑡(𝑥) ∙ 𝑡′(𝑥) = 0

(24)

Powyższe równanie możemy zapisać w postaci 2

2

2

1

2

(𝑒 𝑡(𝑥) ) ∙ ((𝑡′ (𝑥)) + 𝑡′′ (𝑥)) − (𝑒 𝑡(𝑥) ) ∙ (𝑡′(𝑥))2 + 𝑥 (𝑒 𝑡(𝑥) ) ∙ 𝑡′(𝑥) = 0

(25)

i ostatecznie 2

2

1

(𝑒 𝑡(𝑥) ) ∙ {(𝑡′ (𝑥)) + 𝑡′′ (𝑥) − (𝑡′(𝑥))2 + 𝑥 ∙ 𝑡′(𝑥)} = 0.

(26) 2

Następnie możemy podzielić obustronnie powyższe równanie przez wyrażenie (𝑒 𝑡(𝑥) ) , które przyjmuje wartości większe od zera dla każdego 𝑥 i otrzymamy 2

2

(𝑡′ (𝑥)) + 𝑡′′ (𝑥) − (𝑡′ (𝑥)) +

1

𝑥

∙ 𝑡′ (𝑥) = 0.

(27)

Można zauważyć, że pierwszy i trzeci składnik redukują się, zatem nasze równanie będzie miało postać 1

𝑡′′ (𝑥) + ∙ 𝑡′ (𝑥) = 0. 𝑥

(28)

W ten sposób otrzymaliśmy równanie różniczkowe drugiego rzędu, w którym nie występuje nieznana funkcja (w tym równaniu jest to funkcja 𝑡). Natomiast występuje zmienna niezależna 𝑥 oraz pochodne rzędu pierwszego i drugiego nieznanej funkcji, tzn. 𝑡′ i 𝑡′′ . Zatem otrzymane równanie (28) jest typu [R6]. Koniec Przykładu 4....