S09.s2 Derivada de función inversa - Ejercicios complemetarios resueltos PDF

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Derivada de función inversa - Ejercicios complementarios 𝑓 −1𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑓 −1(𝑓(𝑥)) Propiedad fundamental: 𝑓 −1(𝑓(𝑥)) = 𝑥

(𝑓 −1)´(𝑓(𝑥))𝑓´(𝑥) = 1 (𝑓 −1 )′ (𝑓(𝑥)) = 3

𝑥 1) Sea la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 4 + 𝑥 − 1;

1 𝑓´(𝑥)

a) Cuál es el valor de 𝑓 −1(𝑥), para x = 3 b) Halle: (𝑓 −1)′ (𝑥), para x = 3

Solución: a)

Igualamos f(x)= 3 𝑥3

+𝑥−1 = 3 4 3 𝑥 +𝑥−4 = 0 4 𝑥 3 + 4𝑥 − 16 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 8) = 0 (𝑥 − 2) = 0 𝑥=2 𝑓 −1 (3) = 2

b) Hallamos la derivada de la función.

𝑥3 +𝑥−1 4 3𝑥2 𝑓´(𝑥) = +1 4

𝑓(𝑥) =

Reemplazamos 𝒙 = 𝟐, en la derivada

𝑓´(2) =

3(2)2 +1 = 4 4

(𝒇−𝟏)′(𝒇(𝒙)) = (𝒇−𝟏)′(𝟑) =

𝟏 𝒇´(𝒙) 𝟏 𝟒

2. Sea la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 − 5; Hallar (𝑓 −1)′(−5)

Solución: i)

Igualamos f(x)= -5

ii)

Hallamos la derivada de la función:

𝑥 3 + 2𝑥 − 5 = −5 𝑥 3 + 2𝑥 = 0 𝑥(𝑥 2 + 2) = 0 𝑥=0

𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 + 2

Reemplazamos 𝒙 = 𝟎, en la derivada iii)

𝟏

(𝒇−𝟏 )′ (𝒇(𝒙)) = 𝒇´(𝒙)

𝑓´(0) = 3(0)2 + 2 = 2

(𝒇−𝟏)′ (−𝟓) =

𝟏 𝟐

𝟑 3. Dada la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 3𝒆𝒙 +𝟒𝒙; Hallar (𝑓 −1)´ (3)

Solución:

i)

Igualamos f(x)= 3

𝟑 3𝒆𝒙 +𝟒𝒙 = 3 𝒙𝟑 +𝟒𝒙

𝒆 =𝟏 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 = 𝟎

𝒙(𝒙𝟐 + 𝟒) = 𝟎 𝒙=𝟎 ii)

Hallamos la derivada de la función: 𝟑 𝑓´(𝑥) = 3𝒆𝒙 +𝟒𝒙(𝒙𝟑 + 𝟒𝒙)´ 𝟑 𝑓´(𝑥) = 3𝒆𝒙 +𝟒𝒙(𝟑𝒙𝟐 + 𝟒)

Reemplazamos𝒙 = 𝟎, en la derivada iii)

𝟏

(𝒇−𝟏 )′ (𝒇(𝒙)) = 𝒇´(𝒙)

𝒇´(𝟎) = 𝟑𝒆𝟎 (𝟑(𝟎) + 𝟒) = 𝟏𝟐

(𝒇−𝟏)′(𝟑) =

𝟏 𝟏𝟐

4. Hallar la derivada de la función inversa: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐. 𝑡𝑔 √4𝑥 2 − 1 Solución: 𝒇´(𝒙) =

𝒇´(𝒙) =

(√4𝑥 2 − 1)´

𝟏 + (√4𝑥 2 − 1)

𝟐

𝟏

((4𝑥 2 − 1)𝟐 ) ´(4𝑥 2 − 1)´ 𝟏 + 4𝑥 2 − 1

−𝟏 𝟏 (4𝑥 2 − 1) 𝟐 (𝟖𝒙) 𝒇´(𝒙) = 𝟐 𝟏 + 4𝑥 2 − 1

𝟒𝒙 2 1 𝒇´(𝒙) = √4𝑥 − 4𝑥 2 𝒇´(𝒙) =

𝟒𝒙

4𝑥 2 √4𝑥 2 − 1

𝒇´(𝒙) =

𝟏

𝑥√4𝑥 2 − 1

5. Hallar la derivada de la función inversa: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝑒 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐. 𝑠𝑒𝑛√1 − 𝑒 2𝑥 Solución: 𝒇´(𝒙) =

(𝑒 𝑥 )´

√1 − (𝑒 𝑥 )2

+

(√1 − 𝑒 2𝑥 )´

𝑒 2𝑥 2𝑥 𝒇´(𝒙) = − √1 − 𝑒 √1 − 1 + 𝑒 2𝑥 √1 − 𝑒 2𝑥 𝑒𝑥

𝒇´(𝒙) = 𝒇´(𝒙) =

𝑒𝑥

√1 − 𝑒 2𝑥 𝑒𝑥

√1 − 𝑒 2𝑥

2

√1 − (√1 − 𝑒 2𝑥 )

−

−

𝑒 2𝑥

𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 2𝑥 𝑒𝑥

√1 − 𝑒 2𝑥

=𝟎

6. Hallar la derivada de la función inversa: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐. 𝑠𝑒𝑛𝑙𝑛𝑥 Solución: 𝒇´(𝒙) = 𝒇´(𝒙) = 7. Hallar la derivada de la función inversa:

(𝑙𝑛𝑥)´

√1 − (𝑙𝑛𝑥)2 𝟏

𝒙√1 − 𝑙𝑛2 𝑥

𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑟𝑐. 𝑡𝑔 (

𝑥𝑠𝑒𝑛𝛼

1−𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼

Solución:

)

𝑥𝑠𝑒𝑛𝛼 ( )´ 1 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 𝒇´(𝒙) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝛼 𝟐 𝟏 + ( 1 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼) (𝒙𝒔𝒆𝒏𝜶)´(1 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 ) − (𝒙𝒔𝒆𝒏𝜶)(1 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼)´ (1 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼)𝟐 𝒇´(𝒙) = (1 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼)𝟐 + 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 (1 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼)𝟐 𝒇´(𝒙) = 𝒇´(𝒙) =

𝒔𝒆𝒏𝜶 − 𝑥𝒔𝒆𝒏𝜶𝑐𝑜𝑠𝛼 + (𝒙𝒔𝒆𝒏𝜶)(𝑐𝑜𝑠𝛼) 𝟏 − 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 + 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶

𝒔𝒆𝒏𝜶 𝟏 − 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒙𝟐 (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶) + 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶 𝒇´(𝒙) =

𝒔𝒆𝒏𝜶 𝟏 − 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒙𝟐

Ejercicio reto

Solución: 𝒂) 𝒕𝒈𝜽 =

𝟓𝟎𝒕 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 𝟐

𝒕 𝜽(𝒕) = 𝒂𝒓𝒄. 𝒕𝒈 ( ) 𝟐 𝒕 ( )´ 𝟐 𝒃) 𝜽´(𝒕) = 𝒕 𝟐 𝟏 + (𝟐) 𝟏 𝟐 𝜽´(𝒕) = 𝒕𝟐 𝟏+ 𝟒

𝜽´(𝒕) =

𝟏 𝟐 𝟒+𝒕𝟐 𝟒

𝜽´(𝒕) =

𝟐

𝟒+𝒕𝟐...