S1 - GAV - 2021 - II - Ejercicios tipo PDF

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Geometría Analítica VectorialSOLUCIÓN PRÁCTICA N° 1Semestre 2021 - II Indicar V o F y justificar brevemente los siguientes apartados referente al Álgebra Vectorial. (10p)a. Sea 𝑛 > 2 y los puntos 𝐴,𝐵 𝑦 𝐶 de 𝑉𝑛, serán colineales únicamente si los vectores querepresentan dichos puntos son colineale...

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Geometría Analítica Vectorial Geometrí a Analíti ca Vecto rial

SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 1 Semestre 202 1 - II 1. Indicar V o F y justificar brevemente los siguientes apartados referente al Álgebra Vectorial. (10p) a. Sea 𝑛 > 2 y los puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 de 𝑉𝑛 , serán colineales únicamente si los vectores que representan dichos puntos son colineales. (2p) Fa lso. Dado que dos puntos formarían una recta, para que 3 puntos sean colineales (estén en una misma recta) basta con comparar dos vectores formados por 2 puntos distintos. Entonces para que 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 sean colineales dos de los vectores formados por 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 , 󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 𝑦 󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 y sus opuestos), deben ser paralelos. 𝐵𝐶 𝐴𝐶 dos puntos (𝐴𝐵 󰇍 b. Sea 𝑃 𝜖 𝑉𝑛 , 𝐴 𝜖 𝑉𝑚 y 𝑠 ∈ ℝ . Se cumple que la siguiente expresión 𝑠𝑃󰇍 ∘ 𝐴 es un escalar. (2p) Fa lso. Para que la expresión de como resultado un escalar los vectores 𝑃󰇍 y 𝐴 deben pertenecer al mismo espacio vectorial (misma cantidad de componentes). c. Sean 𝐴 𝜖 𝑉𝑛 , 𝐵󰇍 𝜖 𝑉𝑛 𝑦 𝐶 𝜖 𝑉𝑛 . La dirección del vector 𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶 respecto al vector 𝐶 es igual a: 𝛿 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 (

2

2

‖𝐴+𝐵󰇍 +𝐶‖ −‖𝐴+𝐵󰇍 ‖ +‖𝐶‖ 2‖𝐴+𝐵󰇍 +𝐶‖‖𝐶‖

Ver da der o. La dirección del vector 𝐴 + 𝐵󰇍

2

).

(3p)

+ 𝐶 respecto al vector 𝐶 está representado por el ángulo 𝛿 , que es el ángulo cola con cola (o flecha con flecha) de los vectores 𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶 y 𝐶. Por lo que: 2 2 󰇍󰇍 − 𝐶. Aplicamos módulo: ‖𝐴 + 𝐵󰇍 ‖ = ‖𝐷 󰇍 − 𝐶‖ 𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶 = 𝐷󰇍 → 𝐴 + 𝐵󰇍 = 𝐷 󰇍󰇍 ‖ + ‖𝐶‖ − 2‖𝐷󰇍 ‖‖ 𝐶‖𝑐𝑜𝑠𝛿 , reemplazamos 𝐷󰇍 : ‖𝐴 + 𝐵󰇍 ‖ = ‖𝐷 2 2 2 ‖𝐴 + 𝐵󰇍 ‖ = ‖𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶‖ + ‖𝐶‖ − 2‖𝐴 + 𝐵 󰇍 + 𝐶‖‖ 𝐶‖𝑐𝑜𝑠𝛿 2 2 2 ‖𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶‖ + ‖𝐶‖ − ‖𝐴 + 𝐵 󰇍 ‖ 𝑐𝑜𝑠𝛿 = 2‖𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶‖‖𝐶‖ 2

2

2

2 2 2 ‖𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶‖ − ‖𝐴 + 𝐵󰇍 ‖ + ‖𝐶‖ ) 𝛿 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 ( 2‖𝐴 + 𝐵󰇍 + 𝐶‖‖𝐶‖

d. Sean 𝐴 𝜖 𝑉𝑛 , 𝐵󰇍 𝜖 𝑉𝑛 𝑦 𝐶 𝜖 𝑉𝑛 . La dirección del vector 𝐴 − 𝐵󰇍 + 𝐶 respecto al vector 𝐵󰇍 es igual a: ∅ = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 (

2

2 ‖𝐴−𝐵󰇍 +𝐶‖ −‖𝐵󰇍 ‖ −‖𝐴+𝐶‖ 2‖𝐴+𝐶‖‖𝐵󰇍 ‖

2

).

(3p)

La dirección del vector 𝐴 − 𝐵󰇍 + 𝐶 respecto al vector 𝐵󰇍 está representado por el ángulo ∅, que es el ángulo cola con cola (o flecha con flecha) de los vectores 𝐴 − 𝐵󰇍 + 𝐶 󰇍 . Por lo que: y𝐵 2 2 󰇍󰇍 → 𝐴 + 𝐶 = 𝐷󰇍 + 𝐵󰇍 . Aplicamos módulo:‖𝐴 + 𝐶 ‖ = ‖𝐷󰇍 + 𝐵󰇍 ‖ 𝐴 − 𝐵󰇍 + 𝐶 = 𝐷 Fa lso.

󰇍 ‖ + 2‖𝐷 󰇍 ‖‖ 𝐵 󰇍 ‖𝑐𝑜𝑠∅, reemplazamos 𝐷 󰇍 : ‖𝐴 + 𝐶 ‖ = ‖𝐷󰇍󰇍 ‖ + ‖𝐵 2

2

2

‖𝐴 + 𝐶 ‖ = ‖𝐴 − 𝐵 󰇍 + 𝐶 ‖ + ‖𝐵󰇍 ‖ + 2‖𝐴 − 𝐵󰇍 + 𝐶 ‖‖ 𝐵󰇍 ‖𝑐𝑜𝑠∅ 2

2

2

2

‖𝐴 + 𝐶‖ − ‖𝐴 − 𝐵 󰇍 + 𝐶‖ − ‖𝐵󰇍 ‖ 𝑐𝑜𝑠∅ = 2‖𝐴 − 𝐵󰇍 + 𝐶‖‖𝐵󰇍 ‖ 2

2

2

‖𝐴 + 𝐶‖ − ‖𝐴 − 𝐵 󰇍 + 𝐶‖ − ‖𝐵󰇍 ‖ ) ∅ = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 ( 2‖𝐴 − 𝐵󰇍 + 𝐶‖‖𝐵󰇍 ‖ 2

2

Nota: Si las respuestas no están debidamente justificadas no tiene puntaje.

Geometría Analítica Vectorial Geometrí a Analíti ca Vecto rial

SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 1 Semestre 202 1 - II 2. Graficar los puntos y hallar el vector 𝐻󰇍 , sabiendo que los puntos Q, Z y P tienen las siguientes coordenadas: 𝑄 = (4,0,4), 𝑍 = (−10, −20,2), 𝑃 = (0,2,1); además, P, H, A tiene la misma 󰇍󰇍 − 𝑃󰇍 ‖ = 3‖𝑃𝐴 󰇍󰇍󰇍 󰇍 ‖, dirección (línea de acción) y P es un punto entre H y A y se cumple que: ‖𝐻 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖ = 2‖𝐴𝑄 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖, siendo 𝑄 un punto entre los puntos 𝐴 y 𝑍 , y siendo estos colineales Además ‖𝑄𝑍 entre sí. (5p) De los datos: 𝑄 = (4,0,4) Z Q A 𝑍 = (−10, −20,2) 𝑃 = (0,2,1) 1p P 󰇍󰇍 − 𝑃󰇍 ‖ = ‖𝑃𝐻 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖ = 3‖𝑃𝐴 󰇍 󰇍󰇍󰇍 ‖ ‖𝐻 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖ = 2‖𝐴𝑄 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖ ‖𝑄𝑍 Del gráfico: H 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 y 𝑃𝐴 󰇍󰇍󰇍󰇍 tienen el mismo sentido por lo que: 𝑃𝐻 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖ = 2‖󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 = 2𝐴𝑄 󰇍󰇍󰇍󰇍 1p ‖𝑄𝑍 𝐴𝑄‖ → 󰇍𝑄𝑍 󰇍 − 𝐴) → 𝑍 − 𝑄󰇍 = 2𝑄 󰇍 − 2𝐴 𝑍 − 𝑄󰇍 = 2(𝑄 2𝐴 = 3𝑄󰇍 − 𝑍 → 2𝐴 = 3(4,0,4) − (−10, −20,2) → 2𝐴 = (12,0,12) − (−10, −20,2) 2𝐴 = (22,20,10) → 𝐴 = (11,10,5) 1p 󰇍󰇍𝑃𝐻 󰇍󰇍󰇍 y 𝑃𝐴 󰇍󰇍󰇍󰇍 tienen sentidos opuestos por lo que: 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍 ‖ → 󰇍𝑃𝐻 󰇍󰇍󰇍󰇍 = −3𝑃𝐴 󰇍󰇍󰇍󰇍 1p ‖𝑃𝐻‖ = 3‖𝑃𝐴 󰇍󰇍 − 𝑃󰇍 = −3(𝐴 − 𝑃󰇍 ) → 𝐻󰇍󰇍 − 𝑃󰇍 = −3𝐴 + 3𝑃󰇍 𝐻 󰇍󰇍 = 4𝑃 󰇍 − 3𝐴 → 𝐻󰇍 = 4(0,2,1) − 3(11,10,5) → 𝐻 󰇍󰇍 = (0,8,4) − (33,30,15) 𝐻 󰇍𝑯 󰇍 = (−𝟑𝟑, −𝟐𝟐, −𝟏𝟏) 1p

3. Un auto se desplaza, su punto de origen está determinado por el vector posición inicial: 𝑟󰇍󰇍0󰇍 = 󰇍󰇍0 || = √41, al cabo de 10 segundos su posición está determinada (4,5), cuyo modulo es: ||𝑟 por el vector: 󰇍󰇍 𝑟󰇍𝑓 = (45, −50) , cuyo módulo es: ||𝑟󰇍𝑓󰇍 || = 5√181 , si sabemos que el vector 󰇍󰇍 ) es igual a la diferencia de los vectores posición ( 𝐷󰇍󰇍 = ∆𝑟 = 𝑟󰇍𝑓󰇍 -𝑟 desplazamiento (𝐷 󰇍󰇍󰇍0), hallar 󰇍󰇍 , módulo del vector 𝐷󰇍 y la dirección del desplazamiento(α). 𝐷 (5p) De los datos: 󰇍𝐷 󰇍 = ∆𝑟 = 𝑟󰇍󰇍𝑓 − 𝑟󰇍󰇍󰇍0 󰇍󰇍 = ∆𝑟 = (45, −50) − (4,5) 𝟎 𝐷 󰇍𝑫 󰇍 = ∆𝒓 = (𝟒𝟏, −𝟓𝟓) 1p

‖𝒓󰇍󰇍󰇍󰇍𝟎 ‖

󰇍󰇍 ‖ = 412 + (−55)2 = 4706 ‖𝐷 󰇍󰇍 ‖ = √𝟒𝟕𝟎𝟔 = 𝟔𝟖. 𝟔𝟎𝟎𝟑 1p ‖𝑫 2

Se sabe que: ‖󰇍󰇍󰇍 𝑟0‖ = √41 󰇍󰇍󰇍𝑓‖ = 5√181 ‖𝑟 Del gráfico se obtiene:

󰇍 ‖ − 2‖𝑟󰇍𝑓󰇍 ‖‖𝐷 󰇍󰇍 ‖𝑐𝑜𝑠𝛼 ‖󰇍󰇍󰇍 𝑟0‖2 = ‖𝑟󰇍󰇍󰇍𝑓 ‖ + ‖𝐷 41 = 25(181) + 4706 − 2(5√181)(√4706)𝑐𝑜𝑠𝛼 2

2

1p

‖𝒓 󰇍󰇍󰇍󰇍𝒇 ‖

𝒓 󰇍󰇍󰇍󰇍

α 𝒓𝒇 󰇍󰇍󰇍󰇍

󰇍󰇍 ‖ ‖𝑫

1p

󰇍𝑫 󰇍

Geometría Analítica Vectorial Geometrí a Analíti ca Vecto rial

SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 1 Semestre 202 1 - II 41 = 4525 + 4706 − 2(5√181)(√4706)𝑐𝑜𝑠𝛼 4525 + 4706 − 41 9190 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ) → 𝛼 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 ( 10( √851786) 2(5√181)(√4706) 𝛼 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(0.99574988) → 𝜶 = 𝟓. 𝟐𝟖𝟒𝟑𝟓𝟕𝟒𝟕 1p...