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Selbstkontrollarbeiten zur Vorlesung
Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik
Selbstkontrollarbeit II...

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PD Dr. Oliver Grothe Dr. Christoph Scheicher WS 2014/2015

Selbstkontrollarbeiten zur Vorlesung Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik Selbstkontrollarbeit II (L¨ osungsvorschl¨ age) Aufgabe 1: a) (1 Punkt) Gegeben sei die folgende Urliste von Daten: −1 0 5 1 3. Berechnen Sie Ginis mittlere Differenz und die mittlere absolute Abweichung vom Median.

Ginis Differenz: Pn Pn |xi − xj | = ∆ = n12 i=1 j=1

1 [0 + 1 + 6 + 2 + 4 + 1 + 0 + 5 + 1 + 3 + . . . + 3 + 2 + 2 + 0] 25

= 60/25 = 2.4

Mittlere absolute Abweichung vom Median: d x˜0 .5 = 51 [| − 1 − 1| + |0 − 1| + |1 − 1| + |3 − 1| + |5 − 1|] = 1.8

b) (1 Punkt) Gegeben sei die folgende neue Urliste: −31 0 9 1

3 17 7

− 18 2 26 6.

Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und das α-getrimmte Mittel mit α = 0.2 der neuen Urliste. Arithmetisches Mittel: Pn 1 22 = 2 x ¯ = n1 i=1 xi = 11

F¨ur das α-getrimme Mittel muss erst sortiert werden: −31 − 18 0 1 2 3 6 7 9 10 26 Dann ergibt sich: · 0.2] = 2 P [nα] = [11 i = 2 + 1 11−2 xi = 71 [0 + 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 9] = 4 x ¯0.2 = 11−1 2·2

–1–

Aufgabe 3: Sie sollen eine Lorenzkurve und einen Gini Koeffizienten berechnen. Ein Analyst gibt Ihnen daf¨ur die folgende Tabelle ¨uber den Jahresumsatz von 5 Unternehmen, aufsteigend sortiert. Zus¨atzlich teilt er Ihnen noch mit, dass der Umsatz des umsatzschw¨achsten Unternehmens (x1 ) um 20 Mio. Euro kleiner ist als der Umsatz des n¨achst umsatzst¨arkeren Unternehmens (x2 ).

i

i

xi [Mio. e]

hi

1 2 3 4 5 P

30 50 80 140 200

0.06 0.10 0.16 0.28 0.4

0.06 0.16 0.32 0.60 1.00

-4 -2 0 2 4

-0.24 -0.2 0.0 0.56 1.6

500

1.00

-

-

1.72

L

2i − n − 1

n

(2i − n − 1)hi

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 .0

  a) (1 Punkt) Nutzen Sie die sp¨arlichen Angaben und f¨ullen Sie die Spalten xi , hi und L ni . (Hinweis: Wenn Sie die L¨osung nicht herausbekommen, denken Sie sich sinnvolle Werte aus, um b) und c) zu l¨osen.) b) (1 Punkt) Zeichnen Sie die Lorenzkurve in das oben gegebene Raster. c) (1 Punkt) Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten mit Hilfe der hinteren Spalten der Tabelle. Somit ist DG =

n 1 1 X (2i − n − 1)hi = · 1.7 = 0.344. n 5 i=1

–2–

Aufgabe 4: Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Beachten Sie, dass es sich um allgemeine Aussagen handelt: a) (1 Punkt) F¨ur die H¨aufigkeitsverteilung eines metrischen Merkmals gelte K H = ν 2 = 1. Daraus folgt: Richtig? DG = 1 KR = 1 n = 2 s < x ¯ Keine der vorstehenden Antworten ist richtig

X X

b) (1 Punkt) F¨ur die H¨aufigkeitsverteilung eines metrischen Merkmals gelte x ¯ = 0. Daraus folgt: Richtig? x ¯α

=

0 f¨ur α Pn = 0.1 = n1 i=1 xi2 x ˜0.5 = 0 n = 0 Keine der vorstehenden Antworten ist richtig s2

X

c) (1 Punkt) F¨ur die H¨aufigkeitsverteilung eines metrischen Merkmals sei n = 1. Daraus folgt: Richtig? x ¯ = 1 x ¯ = x1 s2 = 0 DG = 1 Keine der vorstehenden Antworten ist richtig

X X

d) (1 Punkt) F¨ur die H¨aufigkeitsverteilung eines metrischen Merkmals gelte x1 < x2 < . . . < xn . Daraus folgt: Richtig? f (x1 ) ≤ f (x2 ) f (xi ) = F (xi ) − F (xi−1 ) f (xi ) < F (xi ) f¨ur alle i = 1, . . . , n F (xn ) = 1 Keine der vorstehenden Antworten ist richtig

–3–

X X

Aufgabe 5: Die Marktanteile (in Prozent) der Smartphone-Betriebssysteme weltweit sind in der folgenden Tabelle angegeben. Android

iOS

Windows Mobile

BlackBerry OS

Sonstige

74.0

16.0

5.0

3.0

2.0

a) (1 Punkt) Bestimmen Sie den Rosenbluth- und den Herfindahl-Index.

i

hi

ihi

hi2

1 2 3 4 5 P

0.74 0.16 0.05 0.03 0.02

0.74 0.32 0.15 0.12 0.1

0.5476 0.0256 0.0025 0.0009 0.0004

1.000

1.43

0.5770

Somit ist KR =

1 = 0.5376 und 2 · 1.43 − 1

K H = 0.5770 .

b) (1 Punkt) Bestimmen Sie den Gini-Koeffizienten anhand Ihrer Ergebnisse aus a). Es gilt: KR = Daraus folgt: DG = 1 −

1 n(1 − DG )

1 1 = 0.6280 =1− 5 · 0.5376 n · KR

Aufgabe 6: Drei Bauern haben unterschiedlich große Felder. Das Feld von Bauer 1 ist 100 ha groß, von Bauer 2 200 ha und von Bauer 3 300 ha groß. Das ergibt einen Gini-Koeffizienten von DG = 0.2222. Beschreiben und begr¨unden Sie kurz verbal, wie sich dieser Wert ver¨andert, wenn... ...jeder Bauer 10 ha Land geschenkt bekommt. [⇒ Sinkt, da Bauer 1 ¨uberproportional viel erh¨alt]

...jeder Bauer 10% seiner Felder verliert. [⇒ Unver¨andert, da Anteile gleich]

...Bauer 3 an Bauer 1 10 ha abgibt. [⇒ Sinkt, da Ungleichheit verringert ]

–4–...