SEM 7 2 NM ING Polinomios especiales 1 PDF

Preview

Summary

EJERCICIOS OBLIGATORIOS PARA LOS EXÁMENES SIGUIENTES, ESTOS EJERCICIOS ENTRAN SI O SI EN EL EXAMEN...

Description

Polinomios Especiales La diferencia entre el poeta y el matem´atico es que el poeta intenta meter su cabeza en los cielos, mientras que el matem´atico intenta meter los cielos en su cabeza. G.K. Chesterton. ´ Al finalizar la sesi´on el alumno podr´a reconocer que tipo de polinomio LOGRO DE LA SESI ON: se presenta y utilizar sus propiedades para resolver ejercicios con autonom´ıa y seguridad.

5.1 POLINOMIOS ESPECIALES. Dentro del estudio de polinomios existe una clasificaci´on en base a sus caracter´ısticas y de acuerdo a ello son:

5.1.2 Polinomio completo

5.1.1 Polinomio ordenado. Un polinomio est´a ordenado cuando los exponentes de la variable “referida” est´an aumentando o disminuyendo. Ejemplo. P (x, y) = 6x9 y − 3x5 y4 + 5x3 y8 Polinomio ordenado de forma descendente respecto a ”x.” Polinomio ordenado de forma ascendente respecto a ”y”

La variable “referida” presenta todos los exponentes consecutivos desde 1 hasta un mayor determinado e incluso el t´ermino independiente(T.I.). Ejemplo.P (x, y) = 9x3 − 7y + 4x4 y8 + x2 y5 + 5xy2 Polinomio completo respecto a ”x” con T.I.(x)=-7y

Ejemplo. P (x; y) = x4 y3 + 2x2 y5 –3xy8 Polinomio ordenado de forma descendente respecto a ”x.” Polinomio ordenado de forma ascendente respecto a ”y”

Ejemplo. P (x; y) = x4 y + 3x2 y5 − 3x3 + xy4 − 5 Polinomio completo respecto a ”x”

1

´ ALGEBRAICO Y POLINOMIOS ESPECIALES TERMINO

5.1.3 Polinomios homog´ eneos.

5.1.5 Polinomio id´ enticamente nulo

Es aquel polinomio en el que todos sus t´erminos son del mismo grado absoluto. Ejemplo.Sea P (x, y, z) = 7x2 y2 z 4 − 3x3 y3 z 2 + 5xy7 Polinomio cuyo grado de homogeneidad es 8.

Es aquel polinomio cuyos coeficientes de cada uno de sus t´erminos son ceros.

Ejemplo.Sea P (x; y) = 6x5 y − 3x4 y2 + x6 − 2y6 Polinomio cuyo grado de homogeneidad es 6.

5.1.4 Polinomios id´ enticos

Ejemplo.Sea el polinomio P (x, y) = Ax3 + Bx4 y2 + Cx2 y8 + Dy5 ≡ 0 Se debe cumplir: A= 0; B = 0; C = 0; D = 0 Ejemplo.Sea el polinomio P (x, y) = (A − 1)x3 + Bx4 y2 + (C + 8)x2 y8 + Dy5 ≡ 0 Se debe cumplir: A= 1; B = 0; C = -8; D = 0

Propiedades:

Dos polinomios son id´enticos si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado. Los coeficientes de los t´erminos semejantes son iguales.

Ejemplo.Sean P (x, y) = ax9 y − bx5 y4 + cx3 y8 Q(x, y) = 6x3 y8 − 3x5 y4 + 5x9 y P (x, y) ≡ Q(x, y) As´ı a=5, b=3, c=6 Ejemplo.Sean P (x) = (a + 5)x2 − 8x2 + 13x7 Q(x) = −4x7 +4x2 + 17x7 P (x) ≡ Q(x) As´ı a=7

UTP Sede Arequipa

1. Siendo P(x) un polinomio completo se cumple: N° de t´ erminos de P(x) = Grado de P(x) + 1

Ejemplo. P (x) = 5x4 + 3x2 − 8 − 4x + x3 Se observa que: El grado del polinomio completo es 4. El n´ umero de t´erminos es 5 (contando al t´ermino independiente) 2. En todo polinomio completo y ordenado P(x) la diferencia de grados relativos de dos t´erminos consecutivos vale 1. Ejemplo. 5x4 + 3x3 − 8x2 − 4x + 12

P´agina 2

´ ALGEBRAICO Y POLINOMIOS ESPECIALES TERMINO

´ DE MATEMATICA ´ NIVELACION Semana 7

Sesi´on 2

EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. P (x) = 8xa−5 + 5xb−4 − 3xc−2 es un polinomio completo y ordenado en forma decreciente. Calcula: 2a+b

2. Si P (x) = 16xb+c + 32xa+b + 24xb−d + 8xa+d + xa−2 es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: a-b+c-d.

Soluci´ on. :

Soluci´ on. :

Respuesta: 19

Respuesta: 5

3. Calcular a, b, c si el polinomio P (x) = (a − 7)x2 + bx − 5x + 11 + c es id´enticamente nulo.

4. Calcular a + b + 4c si el polinomio es id´enticamente nulo. P (x) = 3+(a−5)x2 − 7x + 4c + bx − 3x2

Soluci´ on. :

Soluci´ on. :

Respuesta: a=7, b=5, c=-11

Respuesta: 12

5. Hallar “(a+b)(ab)” sabiendo que P (x, y) = xa−2b ya+b − 15xb y2b+a + 2xa−b y8 es un polinomio homog´eneo. Soluci´ on. :

6. Se˜ nalar la suma de los coeficientes del polinomio a−5 3 a+1 P (x, y, z) = a2 xa − b4 ya + ab−2 z b , sabiendo que es homog´eneo. Soluci´ on. :

Respuesta:160 UTP Sede Arequipa

Respuesta: 50 P´agina 3

´ ALGEBRAICO Y POLINOMIOS ESPECIALES TERMINO 7. Si el polinomio: P (x) = axa+3 + (b − 2)xa+2b+6 + (c2 + 1)xb+c−4 . Es completo y ordenado en forma creciente, proporcionar la suma de sus coeficientes.

8. Si los polinomios:P (x, y) = xayb+1 + xc yd−3 , Q(x, y) = xa+1 yb + x4−ay3−b Son id´enticos, calcule: a+b+c+d Soluci´ on. :

Soluci´ on. :

Respuesta: 44 9. Si el polinomio P√(x) = bxa−2 + (a − 3)xa+2b−3 + ( a3 + c)xb+2c−1 es completo y ordenado en forma creciente. Proporcionar el producto de sus coeficientes.

Respuesta:10 10. Si los polinomios:P (x, y) = xa+1 yb−2 + a−1 b xc−1 yd+2, Q(x, y) = x√ y + x3−ay6−b 3 Son id´enticos, calcule: a + b + c + d Soluci´ on. :

Soluci´ on. :

Respuesta: -3

Respuesta: 2

11. El siguiente polinomio describe el proceso de elaboraci´on de de un determinado art´ıculo de 2m . Determine consumo masivo y las variables que lo afectan: P (x, y) = 3x4m−1 y3−m z+5 xy6−5m el valor que debe tomar m para que el polinomio sea considerado homog´eneo Respuesta: 2

UTP Sede Arequipa

P´agina 4

´ ALGEBRAICO Y POLINOMIOS ESPECIALES TERMINO

´ DE MATEMATICA ´ NIVELACION EJERCICIOS ADICIONALES 1. Si el polinomio P (x, y) : 5xm+3 y2n+1 − 4xm−1 y3n+1 es homog´eneo y la relaci´on de los exponentes de “x” en sus dos t´erminos es como 3 a 1. Calcular m + n. Soluci´ on. : m+3 m−1

=

3 1

4. Si el polinomio P (x, y) = 6xm+4 y3n+1 − 7xm−4 y5n+4 es homog´eneo y la relaci´on de los exponentes de x en sus dos t´erminos es como 6 a 3. Calcular m.n. Soluci´ on. :

⇒ m + 3 = 3m − 3 ⇒ m = 3

y por ser homog´eneo 7 + 2n = 3 + 3n ⇒ n = 4 m+n=7 Respuesta: 7 2. Calcule a + b + c si el polinomio es id´enticamente nulo. P (y) = (a − 3)y2 − 3by + (6 − 2a)y2 + 2c − a Soluci´ on. : a − 3 + 6 − 2a = 0, −3b = 0, 2c = a

Respuesta: 30 5. Calcular a + b + 3c si el polinomio es id´enticamente nulo. P (x) = (a − 3)x2 − 3bx + (6 − 2a)x2 + 2c − a Soluci´ on. :

a=3, b=0, c=3/2 por tanto a+b+c=9/2

Respuesta: 9/2 3. Si los polinomios: P (x) = ax2 +c, Q(x) = (10–a)x2 +(a–b +3)x–3c+b Son id´enticos, calcule a + b + c Soluci´ on. : a = 10 − a⇒ a = 5

Respuesta: 15/2 6. Si los polinomios: P(x) = (a + b)x + 4, Q(x) = 12x + (a – b) Son id´enticos, calcular “a” y “b” Soluci´ on. :

5−b+3 =0 ⇒ b =8

c = −3c + b ⇒ c = 2

por tanto a+b+c=15

Respuesta: 15

UTP Sede Arequipa

Respuesta: a=8, b=4

P´agina 5

´ ALGEBRAICO Y POLINOMIOS ESPECIALES TERMINO

´ DE MATEMATICA ´ NIVELACION TAREA DOMICILIARIA 1. El siguiente polinomio P (x) = (a − 3)x2 − 3bx + (6 − 2a)x2 + 2c − a describe el n´umero de clientes atendidos en la cafeter´ıa de UTP, ciudad de Arequipa. Determine el valor de a, b y c, si en un d´ıa determinado no hubo atenci´on por el paro de transportistas. Respuesta: a = 3, b = 0, c = 3/2

2. Calcular m.n−1 si el polinomio: P (x, y) = 6x3m+1 yn + 21xm y7n+1 es homog´eneo Respuesta: 3

3. Si los polinomios: P (x) = x3 − 4xa, y Q(x) = xa+2 + (b − 2a)x son id´enticos, calcular: a+b Respuesta: -1

4. Sea el polinomio ordenado y completo. Hallar el valor de P = 3y2m+n − 2yn+a − ya−4 + 2a

√ 2m − n . si: T (y) =

Respuesta: 3

UTP Sede Arequipa

P´agina 6

´ ALGEBRAICO Y POLINOMIOS ESPECIALES TERMINO 5. Si la temperatura, dada en ◦ C en Yanque, en las primeras dos semanas de julio del 2018 ha sido de a◦ C y b◦ C y P (x) = ab x3a−4 − (b − a)x4b−3 + xa−2b es un polinomio completo y ordenado descendentemente. Calcular la suma de las temperaturas en dichas semanas. Respuesta: 3

UTP Sede Arequipa

P´agina 7...