SEP 1 - Cap 5. 2 Componentes Simetricas PDF

Preview

Summary

Download SEP 1 - Cap 5. 2 Componentes Simetricas PDF

Description

Sistemas Elétricos de Potência

5. Análise de Curtos-Circuitos ou Faltas 5.2 Componentes Simétricos (ou Simétricas) Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito E-mail:[email protected] disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito

5.2.1 Introdução • Como vimos anteriormente, os sistemas trifásicos equilibrados e simétricos podem ser analisados através de uma de suas fases e o neutro (terra), tanto em condições normais de funcionamento quanto em decorrência de curtos-circuitos trifásicos. • Porém tal procedimento não pode ser adotado quando ocorrem faltas assimétricas, que provocam desequilíbrio nos sistemas. Em tais situações, os métodos tradicionais de cálculo pelas Leis de Kirchhoff revelam-se muito trabalhosos e de trato difícil, principalmente devido à presença de máquinas rotativas. • Além disso, o desbalanceamento natural das cargas e de outros elementos dos sistemas trifásicos contribuem para a assimetria da seqüência de fasores (tensão/corrente) trifásicos, dificultando a análise dos sistemas trifásicos.

5.2.1 Introdução • Como resolver esse problema? Ou, como facilitar os cálculos de redes desequilibradas? – Através do método das Componentes Simétricas (C.O. Fortescue, 1918); – Tornou-se uma das mais poderosas ferramentas para análise de redes polifásicas desequilibradas.

• Definição de Componentes Simétricas: – Um sistema desequilibrado de “n” fasores correlacionados pode ser decomposto em “n” sistemas equilibrados denominados componentes simétricos (ou simétricas) dos fasores originais; – Sendo que os “n” fasores de cada conjunto de componentes são iguais em comprimento, e os ângulos entre os fasores adjacentes do conjunto são iguais.

5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas Trifásicos Dada uma seqüência qualquer de fasores, representada por: V     A VA, B, C = VA = VB  VC   

(1)

existe (e é única) uma seqüência direta, uma seqüência inversa e uma seqüência nula que somadas reproduzem a seqüência dada. De outra forma: uma seqüência qualquer de fasores pode ser decomposta em três outras seqüências (direta, inversa e nula) e essa decomposição é única.

5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas Trifásicos Matematicamente, a equação (1) pode ser decomposta em componentes simétricas da seguinte forma: V  V  V  V  V + VA 1 + VA 2    A      A0   A1   A 2   A 0  V A = VB  = V0 + V1 + V2 = VB 0  + VB 1  + VB 2  = VB 0 + VB 1 + VB 2  VC  VC 0  VC1  VC 2  VC 0 + VC 1 + VC 2           

( 2)

utilizando-se o operador α = 1∠1200 (α 2 = 1∠ 2400 = 1∠ − 1200 ) , temos: V0 = VA0 = VB 0 = VC 0 V1 = VA1; VB1 = α 2 ⋅ V1; VC1 = α ⋅V1

(3)

V2 = VA2 ; VB2 = α ⋅V2 ; VC2 = α 2 ⋅V2

e substituindo na equação (2), resulta em: VA  1 1  1   V0 + V1 + V2       V A = VB  = V0 ⋅ 1 + V1 ⋅ α 2  + V2 ⋅  α  = V0 + α 2V1 + αV2       VC  1  α  α 2  V0 + αV1 + α 2V2   

( 4)

5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas Trifásicos Outra expressão para equação (4) é a seguinte:

sendo:

1  V0  1 1     VA = 1 α 2 α  ⋅ V1  = T ⋅ V0,1, 2 1 α α 2  V2 

(5)

- T a matriz de transformaçãode componentessimétricas; - V0,1, 2 seqüência de fasores de componentes simétricas. Interpretação gráfica dos fasores das componentes simétricas

5.2.2 Componentes Simétricas em Sistemas Trifásicos A matriz T não é singular, isto é, existe a matriz T-1. Dessa forma, a seguinte expressão é válida: VA  V0   1  V A  1 1  1 1        V0,1, 2 = V1  = T −1 ⋅ VB  = ⋅ 1 α α 2  ⋅ V B  = ⋅ VA   3 2   3 V VC  V2     V α α 1    C      A

 VA + VB + VC  + α ⋅ VB + α 2 ⋅ VC  ( 6) + α 2 ⋅ VB + α ⋅ VC 

5.2.3 Conseqüências  VA

• Com base na decomposição de uma seqüência de fasores em suas componentes simétricas, definimos: – seqüência trifásica simétrica: => V1 ≠ 0; V2 = V0 – seqüência trifásica pura: => V1 ≠ 0 ; V2 ≠ 0, – seqüência trifásica impura: => V1 ≠ 0; V2 ≠ 0,

=0 V = 0 0

V0 ≠ 0

5.2.4 Rotação Cíclica na Ordem de Fasores • Quando substituímos uma dada seqüência fasorial trifásica por outra obtida por uma rotação cíclica de seus fasores, isto corresponde a uma rotação de  (=1|1200) na componente simétrica de seqüência inversa. Matricialmente, temos:   V  1 1   A  VA = VB  = 1 α 2  VC  1 α   V  1   B  VB = VC  = 1  VA  1   V  1   C  VC = VA  = 1 VB  1  

1

α2 α 1

α2 α

1  V A 0    α  ⋅ VA 1  α 2  VA 2  1  VB 0  1    α  ⋅ VB 1  = 1 α 2  VB 2  1 1  VC 0  1    α  ⋅ VC1  = 1 α 2  VC 2  1

α 2 α  VA0     α α 2  ⋅ VA1  1

α 1

α2

1  VA2  α 2  VA 0     1  ⋅ VA1  α  VA 2 

(7)

• Assim, uma rotação nos elementos da seqüência VA, corresponde a mesma rotação nos elementos correspondentes da linha da matriz T.

5.2.5 Grau de Desequilíbrio de uma Seqüência • O grau de desequilíbrio de uma dada seqüência trifásica pode ser definida como sendo a relação entre os módulos das componentes de seqüência inversa (negativa) e direta (positiva), ou seja:

V2 grau deseq. = V 1

(8)

5.2.6 Aplicação • Para facilitar a compreensão da aplicação de componentes simétricas à sistemas trifásicos, iremos considerar um sistema trifásico ligado em estrela, conforme a figura a seguir:

Figura 1: Sistema trifásico ligado em estrela (gerador 3Ø)

• Em termos de tensões de fase, a seqüência VAN fica: VAN  V0  1  1 1            2    VAN = VBN  = T ⋅ V1  = V0 ⋅ 1 + V1 ⋅ α  + V2 ⋅  α  VCN  V2  1  α  α 2     

(9 )

5.2.6 Aplicação • A partir da expressão (9) podemos desenhar o sistema elétrico da seguinte forma:

Figura 2: a) Circuito equivalente; b) Circuito equivalente com a componente de seqüência zero isolada

• Como vemos na figura 2, podemos substituir a tensão gerada VAN pela associação série de três f.e.m.s V0, V1 e V2 (o raciocínio é análogo para as outras duas fases). • A fig. 2b caracteriza o efeito da componente de seqüência zero da tensão, que é o de elevar o potencial do centro-estrelo.

5.2.6 Aplicação • A tensão de linha VAB pode ser calculada em termos das componentes simétricas da seguinte forma:

VAB = V1 + V2 − α 2 ⋅V1 − α ⋅V2 = (1 − α 2 ) ⋅ V1 + (1 − α ) ⋅ V2 VAB = ( 3∠30o ) ⋅ V1 + ( 3∠ − 30o ) ⋅ V2

(10)

• A equação (10) mostra que a tensão de componente nula não entra (ou não influencia) nos cálculos de tensão de linha. • Em termos de seqüência de fasores, a seqüência de tensão de linha decomposta em componentes simétricas torna-se: VAN  VBN  1 1 1  V0 AN  1 α 2 α  V0 AN               V AB = V AN − V BN = VBN  − VCN  = 1 α 2 α  ⋅ V1 AN  − 1 α α 2  ⋅ V1 AN    VCN  VAN  1 α α 2  V2 AN  1 1 1  V2 AN         VAB   0 (1 − α 2 ) (1 − α )  V0 AN  1 1        VAB = VBC  =  0 (α 2 − α ) (α − α 2 )  ⋅ V1AN  = (1 − α 2 )V1 AN α 2  + (1− α )V2 AN  α  (11)     VCA   0 (α − 1) (α 2 − 1)  V2 AN   α 2   α       

5.2.6 Aplicação • Até aqui foram adotados apenas fasores de tensão no estudo de componentes simétricas, entretanto o Teorema de Fortescue aplica-se igualmente a quaisquer fasores associados a uma máquina ou a um circuito trifásico, tais como corrente elétrica. Veja:

 I A  1 1 1   I0       I A =  IB  = 1 α 2 α  ⋅  I1   IC  1 α α 2  I2     

(12)

e também é válido:  I0,1, 2

 I0  1   IA  1 1   1   =  I1  = 1 α α 2  ⋅  IB   3 2  I2     IC  1 α α   

(13)

5.2.6 Aplicação • Em sistemas trifásicos a 4 fios, a soma das correntes de linha é igual à corrente de retorno IN pelo neutro. • Do mesmo modo, em sistemas trifásicos a 3 fios com ligação estrela aterrada, a soma das correntes de linha é igual à corrente de retorno IN pela terra. Para ambas as situações temos:

IN = IA + IB + IC

(14)

1 entretanto, como I0 A = ( IA + IB + IC ) concluímos que: 3

IN = 3 ⋅ I0 A

(15)

• Através da equação (15), vemos que a corrente de seqüência zero só existe se houver um circuito fechado no qual possa circular. • Em sistemas trifásicos a 3 fios, com carga em estrela isolada ou com carga em triângulo, a soma das correntes de linha é zero e portanto nenhuma componente de seqüência zero está presente nas correntes de linha.

5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas Geradores Trifásicos -

Como as tensões trifásicas internas geradas (Ea, Eb e Ec) são simétricas, elas não afetam as seqüências inversa e zero, apenas a seqüência direta. A impedância de seqüência zero leva em conta a impedância de aterramento do centro-estrela e a impedância do gerador de seqüência zero. Veja abaixo:

Z0 = 3 ⋅Zn + Z g0

Va1 = E a − I a1 ⋅ Z1 V = − I ⋅ Z a2

a2

2

Va 0 = − Ia 0 ⋅ Z0

(16)

(17)

5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas

5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas Geradores Trifásicos - Matricialmente, podemos representar um gerador trifásico em componentes simétricas da seguinte forma:

Va 0   0   Z 0      Va1  =  Ea  −  0 Va 2   0   0  

0 Z1 0

0   I a 0    0  ⋅  Ia 1  Z 2   Ia 2 

(18)

5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas -

-

-

Transformadores Trifásicos Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas, apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância de seqüência negativa. Os circuitos equivalentes, por fase, para seqüência positiva e negativa são elaboradas desprezando-se resistências e corrente de excitação, e referindo as reatâncias a um dos lados.

O modelo para seqüência zero depende do tipo do trafo e da maneira como foi conectado, permitindo, ou não, o estabelecimento de corrente de seqüência zero através de um percurso fechado (veja a seguir).

5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas Transformadores Trifásicos – Seqüência zero:

5.2.7 Modelagem dos Elementos de Sistemas Elétricos em Componentes Simétricas -

-

Linhas de Transmissão Transformadores e linhas de transmissão, elementos estáticos dos sistemas, apresentam reatância de seqüência positiva com mesmo valor da reatância de seqüência negativa. A reatância de seqüência zero das linhas é influenciada por grande número de variáveis (características dos condutores, natureza e resistividade do solo sob a linha, entre outros). De modo geral, a reatância de seqüência zero apresenta valor que se situa na faixa de 2 a 5 vezes o valor da reatância de seqüência positiva.

Exemplo de rede de seqüência nula

Fig.: Sub-rede equivalente de seqüência nula (ou zero)

5.2.8 Exercícios Exercício 1: Considere a seqüência fasorial a seguir: VA   120∠0 0       VA = VB  =  380∠ − 900 (V ) VC   380 ∠900     

Encontre as tensões de seqüência nula, direta e inversa para a fase A, e represente graficamente tais fasores.

Resposta: V0 = 40|00 (V); V1 = 260|00 (V); V2 = 180|1800 (V)

5.2.8 Exercícios Exercício 2: Certo sistema trifásico apresenta seqüência de fases A, B e C, e tem as seguintes componentes simétricas de correntes de linha:  I0  3,61∠ − 146,310    0  I = ∠ 13 , 11 26 , 80 1  ( A)    I2   4 ,12∠ − 71,610      Obtenha os fasores das correntes de linha IA, IB e IC do sistema.

Resposta: IA = 10|00 (A); IB = 12,04 |-94,760 (A); IC = 18,97|161,570 (A)

5.2.8 Exercícios Exercício 3: Considerando que a potência base do sistema abaixo é 10 MVA e que todas as reatâncias já estão nas referidas bases. Para o sistema elétrico abaixo, desenhe o diagrama unifilar (ou sub-rede) de: a) seqüência positiva; b) seqüência negativa; c) seqüência nula.

Referências Bibliográficas

[1] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986. [2] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005....