Sesión 1 problema en grupo i=4 - Sage PDF

Preview

Summary

Práctica en grupo que contaba el 40% de la nota final resuelta. El profesor de la asignatura de Ampliación de matemáticas es Manuel, la nota fue un 10....

Description

14/4/2020

\ Sesión 1 problema en grupo i=4 -- Sage admin

The Sage Notebook

Toggle

Home

Published

Log

Settings

Help

Report a Problem

Sign out

Version 8.8

Sesión 1 problema en grupo i=4

Save

Save & quit

Discard & quit

last edited Apr 14, 2020, 10:57:42 AM by admin

File...

Action...

Data...

Typeset

sage

Load 3-D Live

Use java for 3-D Print

Worksheet

Edit

Text

Revisions

Share

Publish

%hide

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA UNIVERSIDAD DE SEVILLA

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO Los ejercicios que siguen están personalizados para cada grupo de trabajo, en función del índice i = 1, 2, 3, … que los etiqueta. Se admite (¡y sugiere!) el uso de SAGE, y de las herramientas y funciones utilizadas en las prácticas 1 y 2.

Ejercicio 1. Considérese la extensión 2π-periódica de la función f i(x) definida como:

Si i es impar, f i(x) = Si i es par, f i(x) =

{

{

sen(ix), 0,

cos(ix), 0,

para −π < x ≤ 0; para 0 < x ≤ π. para −π < x ≤ 0; para 0 < x ≤ π.

Se pide: a. Calcular los coeficientes de la Serie de Fourier asociada a f i(x) (se sugiere distinguir el caso general n ≠ i del caso particular de los coeficientes a n y b n para n = i). b. Determinar un punto z ∈ ( − π, π] que permita calcular el valor de las siguientes series numéricas, a través del valor de Sf(z) (dar asimismo el valor de la serie en cuestión): ∞

Si i es par, la suma de la serie

( − 1) j(2j + 1)

∑ i 2 − (2j + 1) 2 . j= 0

∞

Si i es impar, la suma de la serie

( − 1) ji

∑ i 2 − (2j) 2 . j= 1

c. Calcular los coeficientes de la serie de Fourier asociada a la extensión que corresponda a la paridad contraria de i (i.e., extensión par, si i es impar; o extensión impar, si i es par), del trozo que define f i(x) en el intervalo ( − π, 0). Para evitar cálculos innecesarios, puede ser conveniente pensar la relación que pueda haber entre esta extensión y la función 2f i(x) − g(x), para g(x) =

{

sen(ix),

si i es impar,

cos(ix),

si i es par.

apartado a

x = var('x') i=4

localhost:8080/home/admin/27/

1/6

14/4/2020

\ Sesión 1 problema en grupo i=4 -- Sage

x = var('x') f(x) = g # datos a modificar por el usuario a = -pi; b = pi # datos a modificar por el usuario ########################## a0 = g.fourier_series_cosine_coefficient(0, (b - a)/2) an(i) = g.fourier_series_cosine_coefficient(4, (b - a)/2) bn(n) = g.fourier_series_sine_coefficient(4, (b - a)/2)

pretty_print(LatexExpr('a_0='), a0) pretty_print(LatexExpr(r'n\neq 0,\ \

# # #

código automatizado que no requiere ser modificado

a_n='),an(n))

a0 = 0 1 n ≠ 0, a n = 2 bn = 0

x = var('x') f(x) = g # datos a modificar por el usuario a = -pi; b = pi # datos a modificar por el usuario ########################## a0 = g.fourier_series_cosine_coefficient(0, (b - a)/2) an(i) = g.fourier_series_cosine_coefficient(n, (b - a)/2) bn(n) = g.fourier_series_sine_coefficient(n, (b - a)/2)

pretty_print(LatexExpr('a_0='), a0) pretty_print(LatexExpr(r'n\neq 0,\ \

# # #

código automatizado que no requiere ser modificado

a_n='),an(n))

a0 = 0 n ≠ 0, a n = −

bn = −

nsin(πn) 16 π − πn 2

ncos(πn) − n 16 π − πn 2

apartado b: documento aparte apartado c

x = var('x') i=4

x = var('x') f(x) = g # datos a modificar por el usuario a = -pi; b = pi # datos a modificar por el usuario ########################## a0 = g.fourier_series_cosine_coefficient(0, (b - a)/2) an(i) = g.fourier_series_cosine_coefficient(4, (b - a)/2) bn(n) = g.fourier_series_sine_coefficient(4, (b - a)/2)

pretty_print(LatexExpr('a_0='), a0) pretty_print(LatexExpr(r'n\neq 0,\ \

# # #

código automatizado que no requiere ser modificado

a_n='),an(n))

a0 = 0 n ≠ 0, a n = 0 bn =

1 2

localhost:8080/home/admin/27/

2/6

14/4/2020

\ Sesión 1 problema en grupo i=4 -- Sage

x = var('x') f(x) = g # datos a modificar por el usuario a = -pi; b = pi # datos a modificar por el usuario ########################## a0 = g.fourier_series_cosine_coefficient(0, (b - a)/2) an(i) = g.fourier_series_cosine_coefficient(n, (b - a)/2) bn(n) = g.fourier_series_sine_coefficient(n, (b - a)/2)

pretty_print(LatexExpr('a_0='), a0) pretty_print(LatexExpr(r'n\neq 0,\ \

# # #

código automatizado que no requiere ser modificado

a_n='),an(n))

a0 = 0 n ≠ 0, a n =

bn = −

4 (cos(πn) − 1) 16 π − πn 2 4 sin(πn) 16 π − πn 2

Ejercicio 2.

Considérese la extensión 2π-periódica de la función f(x) =

{

x, 1, x i, cosx,

−π < x < − 1, x = − 1, −1 < x < 0, x = 0,

( − x) i,

0 < x < 1,

−1, x,

x = 1, 1 < x < π,

|x|,

x = π.

Determinar el valor de la Serie de Fourier asociada a f(x) en los puntos x 1 = 2π − 1, x 2 = 2π, x 3 = 2π + 1 y x 4 = − 3π.

x = var('x')

g1(x) = x g2(x) = x^4 g3(x)=(-x)^4

x2=0+0/2=0 x4=pi+pi/2=pi x1=(-1+1)/2=0 x3=(-1^4)+1/2=1

A = -10; B = 10 gp = extension_periodica(g, A, B, x) verbose 0 (3635: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 23 points. verbose 0 (3635: plot.py, generate_plot_points) Last error message: 'point 10.02 is not in the domain'

localhost:8080/home/admin/27/

3/6

14/4/2020

\ Sesión 1 problema en grupo i=4 -- Sage

x = var('x') y = function('y')(x)

Ejercicio 3

Resolver el Problema de Valores Iniciales definido por

{

y ′ + ( − 1) ay = ixy 2, y(0) = i;

donde a vale 1 ó 2 (en función del grupo al que pertenezcan los alumnos, 1, de

turno de mañana; o 2, de turno de tarde) e i es el indice del subgrupo de trabajo.

desolve(diff(y,x)+(-1)^2*y == 4*x*y^2 , [y, x], ics = [0, 4]) 4/(16*x - 15*e^x + 16) f(x,y) = 4*x*y^2-y derivada = diff(f(x,y), y) show(derivada) 8 xy − 1

Como se satisfacen las hipótesis del teorema de Picard(f y f' continuas), la ecuación es la única solución particular de la EDO que pasa por el punto < spanid =" MathJax − Span − 1164 " class =" mrow ">< spanid =" MathJax − Span − 1165 " class =" mo "> ( < /span >< spanid =" MathJax − Span − 1166 " class =" mn "> 0 < /span >

Ejercicio 4 y

y

La ecuación diferencial y ′ = ( − 1) iiy(1 − 2i )( i − 1) modela la evolución en el tiempo del beneficio y(t) de una cartera de inversión. Estudiar en función del estado inicial y 0 ∈ R de la cartera cuál es la evolución que se espera de la misma. y

y

Estudiar el mismo problema si la ecuación que modela el beneficio es ahora y ′ = ( − 1) iiy 2(1 − 2i )( i − 1).

%hide

localhost:8080/home/admin/27/

4/6

14/4/2020

\ Sesión 1 problema en grupo i=4 -- Sage

Como el punto de equilibrio 0 es sumidero, entonces la recta y=0 actuará como asíntota horizontal cuando t-> infinito (y por tanto las soluciones a un lado u otro de esa recta tienden a 0 cuando t crece) Como el punto de equilibrio 4 es fuente, actuará como asíntota horizontal cuando t-> - infinito (y por tanto las soluciones a un lado u otro de esa recta se alejan de y=4 cuando t crece). Como el punto de equilibrio 8 es sumidero, entonces la recta y=8 actuará como asíntota horizontal cuando t-> infinito (y por tanto las soluciones a un lado u otro de esa recta tienden a 8 cuando t crece)

%hide

Como el punto de equilibrio 8 es sumidero, entonces la recta y=8 actuará como asíntota horizontal cuando t-> infinito (y por tanto las soluciones a un lado u otro de esa recta tienden a 8 cuando t crece) Como el punto de equilibrio 4 es fuente, actuará como asíntota horizontal cuando t-> - infinito (y por tanto las soluciones a un lado u otro de esa recta se alejan de y=4 cuando t crece). Si un punto de equilibrio es nodo, actuará de manera diferente (a un lado, sumidero; al otro, fuente) a cada lado de la recta y=0. Por tanto por la izquierda se alejan de y=0 cuando t crece y por la derecha tienden a 0 cuando t crece

localhost:8080/home/admin/27/

5/6

14/4/2020

localhost:8080/home/admin/27/

\ Sesión 1 problema en grupo i=4 -- Sage

6/6...