Sesión 2 Definición formal de límite PDF

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La definición de derivada depende de la noción de límite de una función, por lo cual resulta de
interés dejar claro la definición formal de este. En la sesión anterior se definió informalmente
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 diciendo que f(x) puede acercarse arbitrariamente a L escogiendo a x lo

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Juan Carlos Pérez Trinidad Dr. Alejandro Palma Almendra. Otoño 2020 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

UNIDAD 1: Límites y continuidad Sesión 2. Miércoles 19 de agosto 2020 1. Definición formal de límite La definición de derivada depende de la noción de límite de una función, por lo cual resulta de interés dejar claro la definición formal de este. En la sesión anterior se definió informalmente lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 diciendo que f(x) puede acercarse arbitrariamente a L escogiendo a x lo 𝑥→𝑎

suficientemente cercano a a (pero x ≠ a). Esto es una buena descripción de límite, pero le falta precisión matemática debido a la vaguedad de las expresiones acercarse arbitrariamente a y suficientemente cercano a. La clave para poder llegar a una definición satisfactoria está en observar que se debe poder hacer a |𝑓(𝑥) − 𝐿| tan pequeño como se quiera escogiendo x lo suficientemente cerca de a (con x ≠ a), es decir, eligiendo a x tal que |𝑥 − 𝑎| sea suficientemente pequeño (y 𝑥 − 𝑎 ≠ 0). En cálculo es costumbre usar letras griegas 𝜀 (épsilon) y 𝛿 (delta) para denotar números reales positivos muy pequeños. Decir que |𝑓(𝑥) − 𝐿| puede hacerse tan pequeño como se quiera significa que para todo 𝜀 > 0, pueden encontrarse valores de x tales que: |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 Esta igualdad es equivalente a −𝜀 < 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 𝜀 ó bien 𝐿 − 𝜀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 𝜀

Análogamente para expresar que |𝑥 − 𝑎| es suficientemente pequeño (y que 𝑥 − 𝑎 ≠ 0) es posible usar la desigualdad 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 para un 𝛿 > 0 Esta igualdad es equivalente a 𝑎−𝛿 < 𝑥 < 𝑎+𝛿 y𝑥 ≠ 𝑎 En la figura 1.5 se muestran las gráficas de estas desigualdades, sobre las rectas l y l’.

|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 Figura 1.5

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Definición (1.4) de límite: Sea a un punto de un intervalo abierto, sea f una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a, y sea L un número real. Entonces lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎

Significa que para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que

si 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 , entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.

Definición (1.5) alterna de límite: La expresión lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎

significa que para todo 𝜀 > 0, existe un 𝛿 > 0 tal que siempre que x este en el intervalo abierto (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) y 𝑥 ≠ 𝑎 , entonces 𝑓(𝑥) se encuentra localizada en el intervalo abierto (𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀). Si f(x) tiende límite cuando x tiende a a, entonces el límite es único. Para demostrar que lim 𝑓(𝑥) = 𝐿: 𝑥→𝑎

Paso 1: Para todo 𝜀 > 0 se considera el intervalo abierto (𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀) en el contradominio de f (véase la Figura 1.6). Paso 2: Se demuestra que existe un intervalo abierto (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) en el dominio de f para el que se satisface la definición alterna de límite (véase la Figura 1.7).

Figura 1.6

Figura 1.7

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Ejemplo 1 Comprobar que lim 2 (3𝑥 − 1) = 𝑥→4

11 . 2

Solución 1

11

Sean 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 1), 𝑎 = 4, y 𝐿 = . De acuerdo con la definición formal de límite, 2 2 debemos demostrar que para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que 1

Si 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿 , entonces | (3𝑥 − 1) − 2

11 | 2

< 𝜀.

Para tener una idea de cómo elegir 𝛿 podemos estudiar la desigualdad en que interviene 𝜀 . La siguiente es una lista de desigualdades equivalentes: 11 1 | (3𝑥 − 1) − | < 𝜀 2 2

1 |(3𝑥 − 1) − 11| < 𝜀 2 |3𝑥 − 1 − 11| < 2𝜀 |3𝑥 − 12| < 2𝜀 3|𝑥 − 4| < 2𝜀 2 |𝑥 − 4| < 𝜀 3

La última de estas es la que nos ayuda más conforme a la definición formal de límite. 2 Tomando 𝛿 = 𝜀, si 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿 , entonces se satisface la última desigualdad de la lista 3 y, como todas ellas son equivalentes, también la primera se satisface. Entonces, por la 1 11 definición formal de límite, lim (3𝑥 − 1) = 2 . 𝑥→4 2

Fue relativamente fácil usar la definición de límite en el Ejemplo 1 porque f(x) era una expresión sencilla de x. Los límites de otras funciones más complicadas también se pueden verificar aplicando directamente la definición; sin embargo, la tarea de demostrar que para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 adecuado, a veces requiere de más ingenio. Se interpretarán ahora las Definiciones (1.4) y (1.5) usando la gráfica de f que se muestra en la figura 1.8. Dado cualquier 𝜀 > 0 consideramos el intervalo (𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀) sobre el eje y y las rectas horizontales 𝑦 = 𝐿 ± 𝜀. Si existe un intervalo abierto (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) tal que para todo x en (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) , excepto posiblemente para 𝑥 = 𝑎 , el punto 𝑃(𝑥, 𝑓(𝑥)) se encuentra entre las rectas horizontales, es decir, dentro del rectángulo sombreado que se tiene en la figura 1.8. Entonces se tiene que: 𝐿 − 𝜀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 𝜀

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y por lo tanto lim 𝑓(𝑥) = 𝐿. 𝑥→𝑎

El siguiente ejemplo ilustra cómo se aplica a una función específica el procedimiento geométrico presentado en la figura 1.8.

Figura 1.8

Figura 1.9

Ejemplo 2 Demostrar que lim 𝑥 2 = 𝑎2 𝑥→𝑎

Solución Consideremos el caso en que 𝑎 > 0. Se aplicara la Definición Alterna (1.5) con 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝐿 = 𝑎 2 . En la figura 1.9 se muestra la gráfica de f junto con unos puntos sobre los ejes x y y que corresponden a los valores de 𝑎 y 𝑎2 , respectivamente. Para cualquier número positivo 𝜀 consideramos las rectas horizontales 𝑦 = 𝑎 2 − 𝜀 y 𝑦 = 𝑎2 + 𝜀. Estas rectas cortan a la gráfica de f en puntos con abscisas √𝑎2 − 𝜀 y √𝑎2 + 𝜀 , como se observa en la figura. Si x se encuentra en el intervalo abierto (√𝑎2 − 𝜀, √𝑎2 + 𝜀), entonces: √𝑎2 − 𝜀 < 𝑥 < √𝑎2 + 𝜀 Por lo tanto,

𝑎 2 − 𝜀 < 𝑥2 < 𝑎 2 + 𝜀

es decir, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 está en el intervalo abierto (𝑎2 − 𝜀, 𝑎2 + 𝜀). Geométricamente, esto significa que el punto (𝑥, 𝑥2 ) sobre la gráfica de f se encuentra entre las dos rectas horizontales. Escojamos un número 𝛿 menor que √𝑎2 + 𝜀 − 𝑎 y 𝑎 − √𝑎 2 − 𝜀, como se ilustra en la figura 1.9. Resulta que si x está en el intervalo (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿 ), entonces x también está en (√𝑎2 − 𝜀, √𝑎 2 + 𝜀) y, por lo tanto, 𝑓(𝑥) está en el intervalo (𝑎2 − 𝜀, 𝑎2 + 𝜀 ). Por la 4

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Juan Carlos Pérez Trinidad Dr. Alejandro Palma Almendra. Otoño 2020 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Definición (1.5), lim 𝑥 2 = 𝑎2 . Aunque solo se ha considerado 𝑎 > 0, es posible aplicar 𝑥→𝑎

un razonamiento análogo para 𝑎 ≤ 0. 1

Ejemplo 3 Demostrar que lim 𝑥 no existe. 𝑥→0

Solución Procedamos de manera indirecta. Supóngase que existe un número 𝐿 tal que: 1 lim = 𝐿 𝑥→0 𝑥

Consideremos cualquier par de rectas horizontales 𝑦 = 𝐿 ± 𝜀, como se ilustra en la figura 1.10. Como estamos suponiendo que le límite existe, debería ser posible encontrar un intervalo abierto (0 − 𝛿, 0 + 𝛿 ), o equivalente (−𝛿, 𝛿 ), que contuviese la cero (0), tal que si −𝛿 < 𝑥 < 𝛿 y 𝑥 ≠ 0, el punto (𝑥, 1/𝑥) de la gráfica estuviese entre las rectas horizontales. Sin embargo, como 1/𝑥 se puede hacer tan grande como se quiera escogiendo x cerca de 0, no todos los puntos (𝑥, 1/𝑥) con abscisa diferente de cero en (−𝛿, 𝛿 ) tienen esta propiedad. Por lo tanto dicha suposición es falsa, es decir, el límite no existe.

Figura 1.10 Ejemplo 4 Sea 𝑓(𝑥) =

Figura 1.11

|𝑥 | 𝑥

. Demostrar que lim 𝑓(𝑥) no existe. 𝑥→0

Solución Si 𝑥 > 0, entonces

|𝑥| 𝑥

𝑥

= 𝑥 = 1 y, por lo tanto, la gráfica de f a la derecha del eje 𝑦 coincide

con la recta 𝑦 = 1. Si 𝑥 < 0, entonces

|𝑥 | 𝑥

=

−𝑥

= −1, lo que significa que a la izquierda del eje 𝑦 y la gráfica de f coincide con la recta 𝑦 = −1. Si fuese cierto que el lim 𝑓(𝑥) = 𝐿, para 𝑥

𝑥→0

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Juan Carlos Pérez Trinidad Dr. Alejandro Palma Almendra. Otoño 2020 Benemérita Universidad Autónoma de Puebla algún L, estas observaciones implicarían que −1 ≤ 𝐿 ≤ 1. Si consideramos cualquier par de rectas horizontales 𝑦 = 𝐿 ± 𝜀 , con 0 < 𝜀 < 1 , como se muestra en la figura 1.11, entonces para todo intervalo (−𝛿 + 𝛿) que contienen al 0, existen puntos de la gráfica con x diferente de cero en el intervalo, que no se encuentran entre las dos rectas. De esto se deduce que el límite no existe.

2. Actividad: Investigar la existencia de los siguientes límites de acuerdo como se indica en cada caso. El envío se hará como máximo antes de la próxima sesión al correo [email protected]. Demuestre que el límite existe usando la Definición 1.4 i

lim 3𝑥 = 12 𝑥→4

ii

lim (5𝑥 − 3) = 7 𝑥→2

Use le método grafico ilustrado en el Ejemplo 2 para verificar el limite suponiendo que 𝑎 > 0. iii

lim 𝑥 2 = 𝑎2

𝑥→−𝑎

iv lim 𝑥 3 = 𝑎 3 𝑥→𝑎

Use le método ilustrado en el Ejemplo 3 y 4 para demostrar que el límite no existe. v

lim

vi

lim

|𝑥−3|

𝑥→3 𝑥−3

𝑥+2

𝑥→−2 |𝑥+2|

vii lim

1

𝑥→0 𝑥 2

viii lim

1

𝑥→−5 𝑥+5

BIBLIOGRAFÍA DE LA MATERIA: 1. Stewart, J. Cálculo de una variable Trascendentes tempranas, Thompson Editores, México, 4a Edición, 2001. 2. Larson, R.E., Hostetler R.P., Edwards. Cálculo y Geometría Analítica, vol.1, Editorial Mc. Graw Hill, España, 6a Edición, 1999. 3. Leithold, L., El Cálculo. Editorial Harta, México. 7a Edición. 1998. 4. Finney, Jr. G. B., Finney, R.L. Cálculo de una variable, Editorial Addison Wesley Longman, 9a Edición, México, 1999. Complementaria: 5. Goldstein, Lay, Schneider, Cálculo y sus Aplicaciones, Editorial Prentice Hall. 4a Edición, 1996. 6. Swokowski, E. W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 2a Edición, 1989.

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