Set de ejercicios-Probabilidad-Juan Calixto Toapanta Delgado PDF

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Set de ejerciciosMaestría en Evaluación de Políticas PúblicasMaestrante: Juan Calixto Toapanta DelgadoCAPÍTULO 4Ejercicio No. 7Alguien que toma decisiones asignó de manera subjetiva las probabilidades siguientes a los cuatro resultados de un experimento: P(E1) = 0, P(E2) = 0, P(E3) = 0 y P(E4) = 0. ...

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Set de ejercicios Maestría en Evaluación de Políticas Públicas Maestrante: Juan Calixto Toapanta Delgado CAPÍTULO 4 Ejercicio No. 7 Alguien que toma decisiones asignó de manera subjetiva las probabilidades siguientes a los cuatro resultados de un experimento: P(E1) = 0.10, P(E2) = 0.15, P(E3) = 0.40 y P(E4) = 0.20. ¿Son válidas estas asignaciones de probabilidad? Explique por qué.

P(E1) P(E2) P(E3) P(E4) Total

0.10 0.15 0.40 0.20 0.85

La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1, 0 ≤ P(Ei) ≤ 1, donde P(Ei) es la probabilidad para cada resultado experimental que puede ser la i-esimo resultado. En nuestro ejemplo las probabilidades de cada experimento están entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los resultados experimentales debe ser igual a 1.0. Para n resultados experimentales, es decir: P(E1) + P(E2) + ………. P(En) = 1 En nuestro el ejemplo, las probabilidades no sobrepasan pasa el valor de 1. Ejercicio 21. La población adulta estadounidense por edad es la siguiente (The World Almanac, 2009). Los datos se proporcionan en millones de personas.

Suponga que una persona de esta población será elegida al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga de 18 a 24 años? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga de 18 a 34 años? c) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga 45 años?

Edad

Número

Probabilidad del punto muestral

Probabilidad del punto muestral

Probabilidad del punto muestral %

Probabilidad del punto muestral %

18 a 24 25 a 34 35 a 44 45 a 54 55 a 64 65 a más

29.8 40.0 43.4 43.9 32.7 37.8

(29.8/227.6) (40/227.6) (43.4/227.6) (43.9/227.6) (32.7/227.6) (37.8/227.6)

0.1309 0.1757 0.1907 0.1929 0.1437 0.1661

13.09 17.57 19.07 19.29 14.37 16.61

13.09 17.57 19.07 19.29 14.37 16.61

TOTAL

227.6

1.00

100.00

100.00

a. La probabilidad de que una persona tenga entre 18 y 24 años es de 0,13 o el 13%

Edad

Número

Probabilidad del punto muestral

Probabilidad del punto muestral

Probabilidad del punto muestral %

18 a 24

29.8

(29.8/227.6)

0.1309

13.09

b. La probabilidad de que una persona tenga entre 18 y 34 años es de 0,3066. Se suma la probabilidad del punto muestral entre 18 a 24 años + de 25 a 34 años. (0.1309 + 0.1757 = 0.3)

Edad

Número

Probabilidad del punto muestral

Probabilidad del punto muestral

Probabilidad del punto muestral %

Probabilidad del punto muestral %

18 a 24 25 a 34

29.8 40.0

(29.8/227.6) (40/227.6)

0.1309 0.1757

13.09 17.57

13.09 17.57

c. La probabilidad de que una persona tenga 45 años o más es de 0,5027 o el 50,27%, esto es porque sumamos la probabilidad muestral de las edades de (45 a 54) + (55 a 64) + (65 o más). Edad

Número

Probabilidad del punto muestral

Probabilidad del punto muestral

Probabilidad del punto muestral %

Probabilidad del punto muestral %

45 a 54 55 a 64 65 a más

43.9 32.7 37.8

(43.9/227.6) (32.7/227.6) (37.8/227.6)

0.1929 0.1437 0.1661

19.29 14.37 16.61

19.29 14.37 16.61

Ejercicio No. 26 La información sobre los fondos de inversión proporcionada por Morningstar Investment Research incluye el tipo de fondo, es decir, capital nacional, capital internacional o renta fija y la calificación Morningstar para el fondo. Ésta se expresa con 1 estrella (calificación menor) a 5 estrellas (calificación mayor). Una muestra de 25 fondos de inversión fue seleccionada de Morningstar Funds500 (2008). Se obtuvieron los conteos siguientes: • • • •

Dieciséis fondos de inversión eran fondos de capital nacional. Trece fondos de inversión se calificaron con 3 estrellas o menos. Siete de los fondos de capital nacional se calificaron con 4 estrellas. Dos fondos de capital nacional se calificaron con 5 estrellas.

Suponga que uno de estos 25 fondos de inversión es seleccionado al azar con el fin de conocer más sobre el fondo y su estrategia de inversión. Dieciséis fondos de inversión eran fondos de capital nacional Trece fondos de inversión se calificaron con 3 estrellas o menos Siete de los fondos de capital nacional se calificaron con 4 estrellas Dos fondos de capital nacional se calificaron con 5 estrellas

16/25 13/25 7/16 2/16

0.6400 0.5200 0.4375 0.1250

a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un fondo de capital nacional? Dieciséis fondos de inversión eran fondos de capital nacional

16/25

0.64

La probabilidad es de 64% b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un fondo con una calificación de 4 o 5 estrellas? Trece fondos de inversión se calificaron con 3 estrellas o menos

13/25

0.5200

La probabilidad es 1 – 0.5200 = 0.48 o 48% c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un fondo de capital nacional y que tiene una calificación de 4 o 5 estrellas? Dieciséis fondos de inversión eran fondos de capital nacional Siete de los fondos de capital nacional se calificaron con 4 estrellas Dos fondos de capital nacional se calificaron con 5 estrellas

16/25 7/16 2/16

0.6400 0.4375 0.1250

La probabilidad es de (0.64*(0.4375+0.1250) = 0.36 o 36% d) ¿Cuál es la probabilidad de escoger un fondo de capital nacional o que tiene una calificación de 4 o 5 estrellas? Dieciséis fondos de inversión eran fondos de capital nacional Siete de los fondos de capital nacional se calificaron con 4 estrellas

16/25 7/16

0.6400 0.4375

Dos fondos de capital nacional se calificaron con 5 estrellas

2/16

0.1250

La probabilidad es de (0.64 – (0.4375+0.1250) = 0.28 o 28%. Ejercicio 34 El Departamento de Transporte de Estados Unidos informó que, durante noviembre, 83.4% de los vuelos de Southwest Airlines, 75.1% de los de US Airways y 70.1% de los de JetBlue llegaron a tiempo (USA Today, 4 de enero de 2007). Suponga que este desempeño a tiempo es aplicable para los vuelos que arriban a la explanada A de Rochester International Airport, y que 40% de las llegadas a la explanada A son vuelos de Southwest Airlines, 35% de US Airways y 25% de JetBlue. a) Elabore una tabla de probabilidad conjunta con tres filas (aerolíneas) y dos columnas (arribo a tiempo frente a llegadas con retraso). Puntualidad de aerolíneas 0.83 0.75 0.70

Southwest Airlines US Airways JetBlue Total

Arribo a explanada A 0.40 0.35 0.25

Tiempo 1 A tiempo 0.334 0.263 0.175 0.77

Tiempo 2 Tardío 0.066 0.087 0.075 0.23

Total 0.4 0.35 0.25 1.00

b) Se acaba de anunciar que el vuelo 1424 llegará por la puerta 20 en la explanada ¿Cuál es la aerolínea más probable para este arribo? Southwest Airlines

0.334

0.066

0.4

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo 1424 llegue a tiempo? Tiempo 1 A tiempo 0.334 0.263 0.175 0.77

d) Suponga que se anuncia que el vuelo 1424 llegará tarde. ¿Cuál es la aerolínea más probable para esta llegada? ¿Cuál es la menos probable?

Si el vuelo llega tarde la aerolínea más probable para esta llegada es US Airways con 0,3817 o el 38,2%. En cambio, la aerolínea menos probable para esta llegada es Southwest Airlines con 0,291 o el 29,1%

Tiempo 2 Tardío 0.066 0.087 0.23

Probabilidad 0.066 * 0.23 = 0.291 0.087 * 0.23 = 0.3817

Ejercicio 59 Una compañía petrolera compró un terreno en Alaska. Los estudios geológicos preliminares asignaron las probabilidades previas siguientes. P (petróleo de alta calidad) = 0.50 P (petróleo de calidad media) = 0.20 P (sin encontrar petróleo) = 0.30 a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar petróleo? 0.5 + 0.2 = 0.7 b) Una prueba de suelo es tomada después de 200 pies de perforación del primer pozo. Las probabilidades de encontrar un tipo particular de suelo se identifican con una prueba de seguimiento. P (suelo = petróleo de alta calidad) = 0.20 P (suelo = petróleo de calidad media) = 0.80 P (suelo = sin encontrar petróleo) = 0.20 ¿Cómo debe interpretar la empresa la prueba de suelo? ¿Cuáles son las probabilidades revisadas y cuál es la nueva probabilidad de encontrar petróleo? La posibilidad de hallar petróleo de alta calidad a una profundidad mayor de 200 pies, es de 20%, mientras que a la misma profundidad hallar petróleo de calidad media es de 80% La probabilidad revisada es: P(A1) = 0.50 P(A2) = 0.20 P(A3) = 0.30 P(B1/A1) = 0.2 P (B1/A2) = 0.80

P (B1/A3) = 0.20

Probabilidad Total1: P (B) = P (A1)*P(B/A1)+P(A2)*P(B/A2)+…. P(B1) = 0.5*0.2+0.2*0.80+0.30*0.2 P(B1) = 0.1+0.16+0.06 = 0.32 Probabilidad Total 2: P(B2) = 0.5*0.8+0.2*0.2+0.30*0.8 P(B2) = 0.4 + 0.04 + 0.24 = 0.68 Entonces:

= 0.5 * 0.2 / 0.32 = 0.3125

= 0.2 * 0.8/0.32 = 0.50

= 0.3 * 0.2/0.32 = 0.1875

La probabilidad de hallar petróleo mes 0.50

CAPÍTULO 7 Ejercicio No. 19 La media de una población es 200 y su desviación estándar es 50. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y que se usa x para estimar μ. u = 200; δ = 50; n = 100; Se usa

´ X

para estimar u-

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional no sea mayor que ± 5?

b) ¿Y de que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional no sea mayor que ± 10? Se desconoce la forma de la población, pero como la muestra es grande se aplica a la distribución muestral el Teorema del Límite Central, consecuencia de ello es que ésta tiene una distribución:

La diferencia de medias no debe ser mayor de 5 en un caso y 10 en el otro (pregunta b) ´ X

–u5y

´ X

– u  10

La probabilidad se determina como el área sobre el intervalo de la Distribución Media Muestral correspondiente a la distribución N(0;1) a. P X    5  ? P 5  X    5 

P

−5 X −μ 5 ≤ ≤ σx σx σx

δx =δ/√n = 50/√100 = 50/10 = 5 P

(

−5 ≤ Z ≤ 5 ) 5 5

P (- 1 ≤ Z ≤ 1) = 1 – 2P(Z < - 1) 1 – 2 (0.1587) = 0.6826

b. P X    10  ? P10  X    10 

P

−10 X −μ 10 ≤ ≤ σx σx σx

P (

−10 10 ≤Z ≤ ) 5 5

P (- 2 ≤ Z ≤ 2) = 1 - 2P(Z < - 2) 1 – 2(0.0228) = 0.9544

Ejercicio No. 44 BusinessWeek encuesta a exalumnos de administración 10 años después de terminados sus estudios (BusinessWeek, 22 de septiembre de 2003). Uno de sus hallazgos indica que gastan en promedio $115.50 semanales en comidas sociales. A usted se le pide que realice un estudio con una muestra de 40 de estos exalumnos. Asuma que la desviación estándar poblacional es $35. a) Presente la distribución de muestreo de x, la media muestral de los gastos semanales de los 40 exalumnos de administración. E (X) = 115.5. δx =δ/√n = 35/√40 = 35/6.325 = 5.533 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral no se aleje en más o menos $10 de la media poblacional? Z=

´x −μ 10 =1.81 = σ / √ n 35 /√ 40 P (Z ≤ 1.81) = 0.9649; P (Z ≤ - 1.81) = 0.0351

P (105.50 ≤

´x

≤ 125.50) = P (- 1.81 ≤ Z ≤ 1.81) = 0.9649 – 0.0351 = 0.9298

La probabilidad de que la media muestral no se aleje en más o menos de $10 de la media poblacional, es de 92.98% c) Suponga que encuentra una media muestral de $100. ¿Cuál es la probabilidad de hallar una media muestral de $100 o menos? ¿Consideraría que los exalumnos de esta muestra son un grupo con un gasto inusualmente bajo? ¿Por qué? Media muestral = 100, entonces Z = 100 – 115.5 / 35 / √40 = -15.50/5.535 = -2.800 P ( ´x

≤ 100) = P (Z ≤ - 2.80) = 0.0026

Los gastos del grupo son especiales, por ello que gastar (probabilidad) $100 o menos es de 0.26%....