Solucion ejercicio 1 PDF

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Solucion ejercicio 1 del primer parcial 2020...

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1- Calcular los límites de las siguientes funciones: 𝑥2 − 4 𝑎) lim = 𝑥→2 2 − 3𝑥 + 𝑥 2

Primero reemplazo 2 en la variable lim 𝑥→2

𝑥2 − 4 (2)2 − 4 0 = = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 2 2 − 3𝑥 + 𝑥 2 − 3(2) + (2) 0

Como el resultado es una indeterminación corresponde salvarla con algún método algebraico. En este caso Diferencia de cudrados: 𝑥 2 − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

Baskara o factor comun en grupos ∶ 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) Baskara 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) → 𝑥1 ; 𝑥2 =

3 ± √9 − 8 3 ± 1 𝑥 =2 = ={ 1 𝑥2 = 1 2 2

factor comun en grupos ∶ 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 𝑥 2 − 𝑥 − 2𝑥 + 2 = 𝑥(𝑥 − 1) − 2𝑥 + 2 = 𝑥(𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 1) = 𝑥 (𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 1) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)

lim

𝑥→2

(𝑥 + 2) (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝑥2 − 4 2+2 =4 = lim → lim = 2 𝑥→2 (𝑥 − 1) 𝑥→2 (𝑥 − 2)( 𝑥 − 1) 2−1 𝑥 − 3𝑥 + 2 =𝐿

Probar que el límite hallado, es el límite de la función dada en el punto en cuestión. Limite por definición # Se dice que 𝑓(𝑥) tiende al límite L cuando 𝑥 → 𝑥0 y se escribe lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 si dado un 𝜀 > 0 es posible determinar un 𝛿> 0 tal que 𝑥→ 𝑥0

|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

∀

𝑓(𝑥) = | |

𝑥: 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿

𝑥2 − 4 2 − 3𝑥 + 𝑥 2

𝑥0 = 2

𝑥2 − 4 − 4| < 𝜀 2 − 3𝑥 + 𝑥 2

(𝑥 + 2) − 4| < 𝜀 (𝑥 − 1)

→

∀

𝐿=4

0 < |𝑥 − 2| < 𝛿

(𝑥 + 2) − 4(𝑥 − 1) |...