Solución Examen de Fundamentos de Matemática- Nivelación PDF

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ESCUELAPOLITÉCNICANACIONALDEPARTAMENTO DEFORMACIÓNBÁSICAFUNDAMENTOS DEMATEMÁTICAINGENIERÍA, CIENCIAS YCIENCIASADMINISTRATIVASEXAMEN02 - FEBRERO 2020Preguntas: Calcule el valor exacto de E= cos( 2 x)−sen( 2 x) sen 2 (x+ π 4) ,si tan(x) =−15yx6∈I I.Solución tan(x)<0 yx6∈I I, se puede concluir quex∈...

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E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL D EPARTAMENTO DE F ORMACIÓN B ÁSICA F UNDAMENTOS DE MATEMÁTICA I NGENIERÍA , C IENCIAS Y C IENCIAS A DMINISTRATIVAS EXAMEN 02 - F EBRERO 2020

Preguntas: 1. Calcule el valor exacto de E= 1 si tan( x ) = − y x 6 ∈ I I. 5

cos(2x ) − sen (2x )  π , sen2 x + 4

Solución. Como tan( x ) < 0 y x 6 ∈ I I, se puede concluir que x ∈ IV . Por lo tanto, se puede realizar el siguiente dibujo:

Con la ayuda de este gráfico, se tiene que 1 sen( x ) = − √ 26

y

5 cos( x ) = √ 26

Entonces E=

=

=

=

= Se sigue que el valor exacto de E =

cos(2x ) − sen (2x )  π sen2 x + 4 [cos2 ( x ) − sen2 ( x )] − 2 sen ( x ) cos( x ) h π   π i 2 sen( x ) cos + cos( x ) sen 4 4  25 1 (−5) − −2 26 26 26   1 1 2 5 1 −√ ·√ +√ ·√ 2 26 2 26 34 26 16 52 17 . 4

17 . 4

2. Dado x ∈ [0, 2π ], resuelva la ecuación: 3 cos( x ) − 4 = tan ( x ) sen( x ) + 2 sec ( x ).

Solución. Primero calculemos el CVA, se tienen las condiciones: tan( x ) ∈ R ∧ sec ( x ) ∈ R ⇐⇒ cos( x ) 6= 0 3π π . ⇐⇒ x 6= ∧ x 6= 2 2



π 3π  , . Ahora bien, 2 2 3 cos( x ) − 4 = tan ( x ) sen( x ) + 2 sec ( x ) ⇐⇒ 3 cos2 ( x ) − 4 cos( x ) = sen2 ( x ) + 2

Por lo tanto CVA = [0, 2π ] r

2

Multiplicando por cos( x )

2

⇐⇒ 3 cos ( x ) − 4 cos( x ) = 1 − cos ( x ) + 2

⇐⇒ 4 cos2 ( x ) − 4 cos( x ) − 3 = 0 ⇐⇒ 4y 2 − 4y − 3 = 0

Por lo tanto Sol =



con y = cos( x )

⇐⇒ (2y − 3)(2y + 1) = 0 3 1 ⇐⇒ y = ∨ y = − 2 2 3 1 ⇐⇒ cos( x ) = ∨ cos( x ) = − 2 2  π π ⇐⇒ F ∨ x = π − ∨ x = π + 3 3 2π 4π ⇐⇒ x = ∨x= . 3 3

pues y = cos( x )

 2π 4π . , 3 3

3. Resuelva la inecuación 42x − 4log2 (5) ≤ −22x − 2log4 (25) . Solución. Primero notemos que 4log2 (5) = (22 )log2 (5) = 22 log2 (5) = 2log2 (25) = 25 y de idéntica forma 2log4 (25) = 2

log2 (25) log2 (4)

=2

log2 (25) 2

= 2log2 (5) = 5.

Ahora bien, 42x − 4log2 (5) ≤ −22x − 2log4 (25) ⇐⇒ 24x − 25 ≤ −22x − 5

⇐⇒ 24x + 22x − 20 ≤ 0 ⇐⇒ y 2 + y − 20 ≤ 0

⇐⇒ (y + 5)(y − 4) ≤ 0

⇐⇒ −5 ≤ y ≤ 4

⇐⇒ −5 ≤ 2

2x

≤4

con y = 22x con una tabla de signos pues y = 22x

⇐⇒ −5 ≤ 22x ∧ 22x ≤ 4

⇐⇒ V ∧ log2 (22x ) ≤ log2 (4)

pues log2 es creciente

⇐⇒ 2x ≤ 2

Por lo tanto,

⇐⇒ x ≤ 1.

Sol = ]−∞, 1] . 4. Demuestre que la función

es biyectiva y calcule su inversa.

i h f : R− −→ − 21 , 21  x2 +| x| 1 1 x 7 −→ − . 2 2

Solución. Primero notemos que para x ∈ dom( f ), de donde

| x | = − x,

  x2 − x  ( x− 12 )2 −41 1 1 1 1 − . f (x) = − = 2 2 2 2 Para que una función sea biyectiva es necesario que sea inyectiva y sobreyectiva. 2

• Verifiquemos que f es inyectiva: dados x1 , x2 ∈ dom( f ), se tiene que 2 1 2 1  −   21 ) − 4 1 ( x1 − 12 ) 4 1 1 1 x − ( 2 − − = f ( x1 ) = f ( x2 ) =⇒ 2 2 2  ( x22 −21)2 − 1  ( x1 − 12 )2 − 1 4 4 1 1 = =⇒ 2 2  ( x2 − 21 )2 − 1  ( x1 − 21 )2 − 1 4 4 1 1 = log1/2 =⇒ log1/2 2 2  2   1 2 1 1 1 =⇒ x1 − − = x2 − − 4 2 2 4 2  2  1 1 =⇒ x1 − = x2 − 2 2       1 1 =⇒  x1 −  = x2 −  2 2 1 1 1 1 pues x1 , x2 < 0 =⇒ x1 − , x2 − < 0 =⇒ − x1 = − x2 2 2 2 2 =⇒ x1 = x2 . Se sigue que f es inyectiva.

• Verifiquemos que f es sobreyectiva: Dado x ∈ dom( f ), 1 1 x < 0 ⇐⇒ x − < − 2 2  2 1 1 ⇐⇒ x − > 4 2   1 2 1 − >0 ⇐⇒ x − 2 4 " #  1 2 1 ⇐⇒ 0 < exp1/2 x− − < exp1/2 (0) 4 2

pues exp1/2 es decreciente

  ( x2 − 1 ) 2 − 1 2 1 4 0 ⇐⇒ −3 ≤ x < −1, luego Sol = [−3, −1[ .

4...