Solucionario 1ra Práctica Calificada PDF

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_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUNIVERSIDAD DEL PERÚ. DECANA DE AMÉRICAESCUEL...

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MATEMÁTICA BÁSICA SEMESTRES ACADÉMICO 2020 – 1 _____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ _______

UNIVERSIDAD NACIONAL MA MAYOR YOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ PERÚ.. DECANA DE AMÉRICA ESCUE ESCUELA LA DE EST ESTUDIOS UDIOS GENERALES ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

SOLUCIONARIO DE LA PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA ______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ______

1. (3 puntos) Si definimos 𝑝 ∗ 𝑞 =∼ (𝑝⋁𝑞). Determine con V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Justifique su respuesta. • 𝑝 ∗ 𝑝 ↔∼ 𝑝 • ∼ (∼ 𝑝⋁𝑞 ) ↔ 𝑝 ∗ (𝑝 ∗ 𝑞) • [(∼ 𝑞⋀𝑝)] ↔ [(𝑝 ∗ 𝑝) ∗ 𝑞 ] Solución • 𝑝∗𝑝 ↔∼ 𝑝 En efecto ∼ (𝑝⋁𝑝) ↔ ∼ 𝑝 (∼ 𝑝 ⋀ ∼ 𝑝 ) ↔ ∼ 𝑝 ∼ 𝑝 ↔∼ 𝑝

𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨..

•

∼ (∼ 𝑝⋁𝑞) ↔ 𝑝 ∗ (𝑝 ∗ 𝑞) En efecto ∼ (∼ 𝑝 ⋀ ∼ 𝑞) ↔ 𝑝 ∗ [∼ (𝑝⋁𝑞)] (𝑝⋀ ∼ 𝑞 ) ↔ [𝑝 ∗ (∼ 𝑝⋀ ∼ 𝑞)] (𝑝⋀ ∼ 𝑞 ) ↔ [∼ 𝑝⋀ ∼ (∼ 𝑝⋀ ∼ 𝑞)] (𝑝⋀ ∼ 𝑞) ↔ (∼ 𝑝⋀(𝑝⋁𝑞 )) (𝑝⋀ ∼ 𝑞 ) ≢ (∼ 𝑝⋀𝑞) 𝐅𝐚𝐥𝐬𝐨..

•

(Definición) (Morgan) (Identidad)

(Morgan y Definición) (Negación y Morgan) (Definición) (Morgan) (Absorción)

[∼ 𝑞⋀𝑝] ↔ [(𝑝 ∗ 𝑝) ∗ 𝑞 ] En efecto

(𝑝⋀ ∼ 𝑞) ↔ [∼ 𝑝 ∗ 𝑞 ] (𝑝⋀ ∼ 𝑞) ↔ [∼∼ 𝑝⋀ ∼ 𝑞 ] (𝑝⋀ ∼ 𝑞) ↔ [𝑝⋀ ∼ 𝑞 ]

(Conmutativa y definición) (Definición) (Doble negación )

𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨..

∴ 𝐑𝐩𝐭𝐚. 𝐕𝐅𝐕..

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MATEMÁTICA BÁSICA SEMESTRES ACADÉMICO_______ 2020 – 1 _____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ 2. (3 puntos) Complete con V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Justifique su respuesta en cada caso. El argumento [(𝑝 → 𝑞), (∼ 𝑝 → 𝑞)] → 𝑞 es válido ∀𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑈, [(𝐴 − 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 − 𝐵𝑐 ] {𝜙, {𝜙}}⋂ {{𝜙}, {{𝜙}}} = {∅}

Solución •

[(𝑝 → 𝑞)⋀(∼ 𝑝 → 𝑞)] → 𝑞 En efecto

[(∼ 𝑝⋁𝑞)⋀(∼ (∼ 𝑝)⋁𝑞)] → 𝑞

(Ley de la condicional)

[(∼ 𝑝⋁𝑞)⋀(𝑝⋁𝑞)] → 𝑞

(Doble negación)

[(∼ 𝑝⋀𝑝)⋁𝑞] → 𝑞

(Ley de la distributiva)

𝑞→𝑞

(Neutro)

[𝐹⋁𝑞] → 𝑞

•

(Conjunción) 𝐕𝐞𝐫𝐝𝐚𝐝𝐞𝐫𝐨..

(𝐴 − 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 − 𝐵𝑐 En efecto

(𝐴 − 𝐵)𝑐 = (𝐴⋂𝐵𝑐 )𝑐

= 𝐴𝑐 ⋃𝐵…………… (1)

𝐴𝑐 − 𝐵𝑐 = 𝐴𝑐 ⋂(𝐵𝑐 )𝑐

= 𝐴𝑐 ⋂𝐵 …………… (2)

De (1) y (2) obtenemos 𝐴𝑐 ⋃𝐵 ≠ 𝐴𝑐 ⋂𝐵 𝐅𝐚𝐥𝐬𝐨..

•

{𝜙, {𝜙}}⋂ {{𝜙}, {{𝜙}}} = {𝜙}

En efecto

{𝜙, {𝜙}}⋂ {{𝜙}, {{𝜙}}} = {{𝜙}} 𝐅𝐚𝐥𝐬𝐨..

∴ 𝐕𝐅𝐅..

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MATEMÁTICA BÁSICA SEMESTRES ACADÉMICO_______ 2020 – 1 _____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ 3. (1 puntos puntos)) Sea 𝑡𝑐 el término central del desarrollo de la siguiente sumatoria: 𝑛

𝑘 𝑛 𝑥 7 𝑛−𝑘 𝑦 9 ∑( ) ( 𝑎+1 ) . ( 𝑎) 𝑖=0 𝑘 𝑥 Si la parte literal de dicho término es 𝑥 20𝑦𝑦 24 , calcule el coeficiente de 𝑡

𝑐.

Solución

𝑡𝑐 = 𝑡𝑛 +1 = ( 2

𝑛

𝑥7 𝑛 ) ( 𝑎+1 ) 𝑦 2

𝑛

𝑡𝑐 = 𝑡𝑛+1 = ( 𝑛 ) ( 7𝑛

Luego, del dato (𝑡𝑐 )= 𝑥 2 Entonces

{

2

𝑛 2

−𝑎

𝑛 7𝑛 = 20 − 𝑎 2 2 9𝑛 𝑛 𝑛 −𝑎2−2 = 2

9𝑛

2

𝑛

𝑥7

𝑦 𝑎+1

𝑛

𝑛 2

𝑛− 𝑛 2

𝑛

𝑦9 2 . ( 𝑥𝑎 )

) . ( 𝑥𝑎 )

𝑦 2 −𝑎 2 −2 =𝑥 20𝑦 24 … . . (1)

24 … … . (2)

Restando de (2) la ecuación (1) obtenemos 𝑛 − Luego el valor de 𝑛 = 8

𝑛

𝑦9 2

𝑛 2

=4

8 Finalmente, el coeficiente del (𝑡𝑐 ) = ( 𝑛 ) = ( 4) = 70. 𝑛

2

∴ 𝐑𝐩𝐭𝐚. 𝟕𝟎

4. (2 puntos) Demuestre que para todo 𝑛 ∈ ℕ se cumple 32𝑛+3 + 2𝑛+3 es divisible por 7. Solución Por el principio de inducción • Veamos que se cumple para 𝑛 = 1. Tenemos que 35 + 24 = 259 es divisible por 7. • Supongamos que se cumple para 𝑛 = ℎ, es decir 32ℎ+3 + 2ℎ+3 es divisible por 7, veamos que se cumple para 𝑛 = ℎ + 1. 32(ℎ+1)+3 + 2(ℎ+1)+3 = 32ℎ+5 + 2ℎ+4 = 32ℎ+3 . 9 + 9. 2ℎ+3 + 2ℎ+3 . 2 − 9. 2ℎ+3 9(32ℎ+3 + 2ℎ+3 ) − 7. 2ℎ+3 que es divisible por 7.

Por lo tanto, por el principio de inducción tenemos que 32ℎ+3 + 2ℎ+3 es divisible por 7 para todo 𝑛 ∈ ℕ .

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MATEMÁTICA BÁSICA SEMESTRES ACADÉMICO_______ 2020 – 1 _____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ 5. (2 puntos) Calcule todos los valores de 𝑛 ∈ ℤ , de modo que 3𝑛 − 1|𝑛2 + 2.

Solución Primero, como 3𝑛 − 1|𝑛2 + 2 → 3𝑛 − 1|3(𝑛2 + 2) → 3𝑛 − 1|3𝑛2 + 6……………………. (1) Luego, como sabemos que 3𝑛 − 1|3𝑛 − 1 → 3𝑛 − 1|(3𝑛 − 1)𝑛 → 3𝑛 − 1|3𝑛2 − 𝑛..… (2) Restando (1) y (2): 3𝑛 − 1|(3𝑛2 + 6) − (3𝑛2 − 𝑛 ) → 3𝑛 − 1|𝑛 + 6 Ahora, como 3𝑛 − 1|𝑛 + 6 → 3𝑛 − 1|3(𝑛 + 6) → 3𝑛 − 1|3𝑛 + 18………………………… (3) Pero, como sabemos que 3𝑛 − 1|3𝑛 − 1………………………………..………………………………… (4) Restando (3) y (4): 3𝑛 − 1|(3𝑛 + 18) − (3𝑛 − 1) → 3𝑛 − 1|19

Ahora, 3𝑛 − 1|19 → 3𝑛 − 1 = ±1; ±19 → 𝑛 = Finalmente 𝑛 = −6; 0.

1±1 3

;

1±19 . 3

6. (1 puntos) Dado un subconjunto 𝐴 ⊂ ℕ, definimos la relación en 𝐴 𝑅(𝐴) = {(𝑎; 𝑏) ∈ 𝐴𝑥𝐴 ∶ 𝑎 ≠ 𝑏 } Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ números primos diferentes. Calcule por extensión 𝑅({𝑎, 𝑏, 𝑎 2 , 𝑎𝑏, 𝑎 2 𝑏}). Solución

∴ 𝑅 ({𝑎, 𝑏, 𝑎2, 𝑎𝑏, 𝑎2𝑏}) = {𝑎, 𝑏, 𝑎2, 𝑎𝑏, 𝑎2𝑏} × {𝑎, 𝑏, 𝑎2, 𝑎𝑏, 𝑎2𝑏} − {(𝑎, 𝑎); (𝑏; 𝑏); (𝑎𝑏, 𝑎𝑏); (𝑎2, 𝑎2); (𝑎2𝑏, 𝑎2𝑏)}

7. (2 punt puntos) os) Demuestre con las reglas de inferencias lógicas que el siguiente argumento es válido: 𝑃1 : 𝑝 → 𝑞 𝑃2 : ∼ 𝑞 ∨ 𝑟 𝑃3 : ∼ 𝑞 →∼ 𝑟 ∴ 𝑄: (𝑝 → 𝑟) ∨ (𝑟 ↔ 𝑞) Donde 𝑃1 , 𝑃2 𝑦 𝑃3 son las premisas y 𝑄 la conclusión. Solución 𝑃1 : 𝑝 → 𝑞 𝑃2 : ∼ 𝑞 ∨ 𝑟 𝑃3 : ∼ 𝑞 →∼ 𝑟 𝑃4 𝑞 → 𝑟 Condicional en 2 𝑃5 𝑝 → 𝑟 Silogismo hipotético de 1y 4 𝑃6 𝑞 ∨∼ 𝑟 Condicional en 3 𝑃7 𝑟 → 𝑞 Condicional en 6 𝑃8 𝑟 ↔ 𝑞 Bicondicional de 5 y 7 𝑃9 (𝑝 → 𝑟) ∨ (𝑟 ↔ 𝑞) Adición de 5 y 8 ∴ 𝐑𝐩𝐭𝐚. 𝐄𝐥 𝐚𝐫𝐠𝐮𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐞𝐬 𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨.

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MATEMÁTICA BÁSICA SEMESTRES ACADÉMICO_______ 2020 – 1 _____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ 8. (2 puntos) Determine si el siguiente argumento es válido: Si el gobierno griego aprueba las

medidas económicas impuestas por la Unión Europea, entonces el impuesto sobre el valor agregado (IVA) aumenta y las jubilaciones anticipadas terminarán en el 2022, por otro lado, el gobierno no aprueba las medidas impuestas si se retira de la eurozona o el gobierno paga la deuda completa a sus acreedores; el jueves 7 de agosto el gobierno decide no retirarse de la eurozona y no paga la deuda completa. Por lo tanto el IVA sube. Solución Definimos las siguientes proposiciones simples: 𝑝: El gobierno griego aprueba las medidas económicas impuestas por la Unión Europea. 𝑞: El impuesto sobre el valor agregado aumenta. 𝑟: Las jubilaciones anticipadas terminarán en el 2022. 𝑠: Grecia se retira de la eurozona. 𝑡: El gobierno griego paga la deuda completa.

Luego el argumento es 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟), (𝑠 ∨ 𝑡) →∼ 𝑝, ∼ (𝑠 ∨ 𝑡) ∴ 𝑞 Analizando el argumento podemos observar que si 𝑝 ≡ 𝐹, 𝑠 ≡ 𝐹 , 𝑡 ≡ 𝐹 y 𝑞 ≡ 𝐹 las premisas son verdaderas pero la conclusión es falsa. El argumento es invalido. ∴ 𝐑𝐩𝐭𝐚. 𝐄𝐥 𝐚𝐫𝐠𝐮𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨.

9. (4 punto puntoss) En cada subconjunto de 7 elementos del conjunto {1; 2; 3; … . ; 10} se toma el mayor. ¿Cuál es la suma de todos esos elementos mayores? Solución Si 𝑘 es el elemento mayor de un subconjunto de 𝐴 de 7 elementos de {1; 2; 3; … . ; 10}, 𝑘−1 entonces 𝐴 ∖ {𝑘} ⊂ {1; 2; 3; … . . ; 𝑘 − 1}. Por lo tanto, hay ( 6 ) subconjuntos de {1; 2; 3; … . ; 10} cuyo máximo elemento es 𝑘. Cada uno de esos (𝑘−1 ) subconjuntos 6

constituye 𝑘 a la suma, por lo que la suma deseada es 10

∑𝑘( 𝑘=7

10

10

10

𝑘=7

𝑘=7

𝑘=7

(𝑘 − 1)! 𝑘! 𝑘 𝑘−1 11 =7 ∑ ( ) = 7 ( ) ) = ∑ 𝑘. = ∑ 7. 7! (𝑘 − 7)! 6! (𝑘 − 7)! 8 6 7

Aquí usamos la propiedad

𝑛

∑(

𝑘=𝑚

𝑘 𝑛+1 ) )=( 𝑚+1 𝑚

esto se puede probar viendo que ( 𝑛+1 𝑚+1) es el número de subconjuntos de 𝑚 + 1 elementos 𝑘 ) cuenta cuántos de ellos tienen como máximo elemento a de {1; 2; 3; … . ; 𝑛 + 1} y que ( 𝑚 𝑘 + 1.

∴ 𝐑𝐩𝐭𝐚. 𝟕 (

𝟏𝟏 ). 𝟖

LIMA 5 DE JUL JULIO IO D DEL EL 2020.

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