Sommaire + Chapitre 1 - Cours analyse L1 MIASHS Semestre 1 PDF

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Cours analyse L1 MIASHS Semestre 1...

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Analyse I Licence 1 MIASHS Université Rennes 2

Benoît Cadre

Table des matières 1

Nombres et inégalités 5 1.1 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Opérations élémentaires sur les inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Carrés, racines et inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

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Fonctions réelles de la variable réelle 17 2.1 Notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Période et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

Fonctions usuelles et leurs réciproques 3.1 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fonctions exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Limites des fonctions 37 4.1 Limites finies en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Limites infinies en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Limites à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.5 Equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5

Fonctions continues 5.1 Continuité . . . . . . . 5.2 Propriétés . . . . . . . 5.3 Valeurs intermédiaires 5.4 Méthode de dichotomie

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. . . . 2

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29 29 30 32

51 51 53 54 56

TABLE DES MATIÈRES 5.5 6

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Fonctions continues et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Dérivée d’une fonction 6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Opérations sur les fonctions dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Tableau de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Extremums et points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 61 62 64 67 68 70 72 73

4

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE

1 NOMBRES ET INÉGALITÉS

1.1

Nombres réels

Des entiers aux réels L’ensemble des nombres positifs et entiers, qui permet principalement de dénombrer, s’appelle ensemble des entiers naturels ; il est noté N. Il est constitué de 0, 1, 2, 3.... En ajoutant un signe + ou un signe  aux entiers naturels, on obtient l’ensemble des entiers relatifs noté Z. Autrement dit, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}. Le quotient de deux entiers relatifs s’appelle nombre rationnel, et l’ensemble de ces nombres est noté Q, de sorte que p Q = { , p, q 2 Z avec q 6= 0}. q Un nombre qui n’est pas rationnel, c’est-à-dire qui ne s’exprime pas sous la forme qp avec p, q 2 Z et q 6= 0, est appelé nombre irrationnel. Enfin, en réunissant les nombres rationnels et les nombres irrationnels, on obtient l’ensemble des nombres réels, noté R. Pour des raisons pratiques, on est amené à utiliser des déclinaisons de ces ensembles. Par exemple, R+ est l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls, R est celui des nombres réels négatifs ou nuls, R? est l’ensemble des réels privé de 0, R \ {1} est l’ensemble des nombres ? réels privé de 1, R+ est l’ensemble des réels strictements positifs et R? est celui des réels strictements négatifs.

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CHAPITRE 1. NOMBRES ET INÉGALITÉS

Un nombre entier n 2 N est donc en particulier un entier relatif, d’où l’inclusion N ⇢ Z. De plus, un entier relatif n 2 Z s’écrit n = 1n, c’est donc aussi un nombre rationnel et, de ce fait, Z ⇢ Q. Enfin, par construction, un nombre rationnel est aussi un nombre réel, d’où Q ⇢ R. En résumé, on a la chaîne d’inclusions : N ⇢ Z ⇢ Q ⇢ R. Ces quatre ensembles sont infinis, mais ce sont en réalité des infinis distincts. En effet, si l’on peut numéroter les éléments de N, Z et Q (par exemple pour Q, un élément qp avec p, q 2 Z et q 6= 0 peut être numéroté par (p, q)), il est en revanche impossible de numéroter les éléments de R : les ensembles N, Z et Q sont dits infinis dénombrables, alors que R est dit infini non dénombrable 1 . Les irrationnels Nous avons défini par commodité l’ensemble des nombres irrationnels comme complémentaire de l’ensemble des rationnels. Mais de manière équivalente, on peut montrer qu’un nombre est irrationnel si, et seulement si son développement décimal n’est pas périodique. Par exemple, on peut montrer que π = 3.141592653589793..., défini comme l’aire du cercle de rayon 1, n’ayant pas de développement décimal périodique, est un nombre irrationnel 2 . On peut mentionner bien d’autres exemples de nombres irrationnels, parmi lesquels la constante de Néper e ⇡ 2.718 (ou nombre d’Euler, d’où le "e"), les racines carrées d’entier naturels qui ne sont pas des carrés parfaits... Mais prouver l’irrationalité d’un nombre peut être d’une grande complexité ; par exemple, on ne sait pas à l’heure actuelle si π + e est irrationnel, ou même si la constante d’Euler-Mascheroni γ, définie par 1 1 1 1 γ = lim (1 + + + + · · · +  ln n) n!+∞ 2 3 4 n est irrationnelle ! En fait, si on peut montrer que presque tous les nombres réels sont irrationnels, seulement très peu d’entre eux sont connus! Examinons sur un exemple comment montrer qu’un nombre est irrationnel. Souvent, on utilise dans ce but un raisonnement par l’absurde dont voici le fonctionnement 3 . On souhaite montrer une assertion A. Le principe du raisonnement par l’absurde est de supposer que la négation de A est vraie puis, par un enchaînement logique, d’en arriver à une propriété absurde. De ce fait, l’hypothèse formulée, à savoir la négation de A, est fausse, autrement dit, A est vraie. 1. C’est le mathématicien allemand Georg Cantor qui pointa ce fait dans son article fondateur de la théorie des ensembles publié en 1874. 2. Une preuve techniquement simple, mais relativement longue, qui n’utilise que quelques notions de calcul intégral, est due au mathématicien américain Ivan Niven ; le lecteur intéressé la trouvera sans mal sur internet. 3. C’est un principe de preuve qu’on utilise dans la vie courante. Par exemple, si on veut montrer l’assertion : "tous les oiseaux ne volent pas". On suppose, par l’absurde, que tous les oiseaux volent. Or, une poule est un oiseau, et une poule ne vole pas. Contradiction, donc tous les oiseaux ne volent pas.

1.1. NOMBRES RÉELS

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Proposition 1.1.1. Le nombre

p

2 est irrationnel.

p Démonstration. Considérons, par l’absurde, que 2 est rationnel. Donc pour certains entiers p et q, que l’on peut toujours supposer sans facteurs communs (sinon il suffit de réduire la p p fraction), on a l’égalité 2 = q . En passant au carré, cela donne p2 = 2q2 : p2 est un nombre pair (i.e. un multiple de 2), et donc p aussi 4 . Le nombre p étant pair, il s’écrit p = 2n avec n 2 N. La relation p2 = 2q2 donne alors (2n)2 = 2q2 , soit 2n2 = q2 . Ainsi, q2 est pair, donc q aussi, et les deux nombres p et q sont pairs. Or, p et q n’ontppas de facteur communs, cette conclusion est donc absurde. L’hypothèse de départ, à savoir 2 = qp, est donc fausse, ce qui p montre que 2 est irrationnel. p Exercice 1.1.2. Montrer que 3 est irrationnel (indication : utiliser l’architecture de la preuve ci-dessus, et le fait que tout entier naturel est de la forme 3n, 3n + 1 ou 3n + 2, avec n 2 N). Comme indiqué p ci-dessus, on peut aller plus loin et montrer que, dès lors que k 2 N n’est pas un carré, alors k est irrationnel. Opposé et inverse Définition 1.1.3. Soit x 2 R.

(i) L’opposé de x est l’unique nombre réel y tel que x + y = 0 ; il est noté x.

(ii) Si x 6= 0, l’inverse de x est l’unique nombre vérifiant xy = 1 ; il est noté 1x . Exemples. L’opposé de x =

p

p 3 est  3, et son inverse est p p 1 3 3 p =p p = . 3 3 3 3

L’opposé de x =

2 3

est  32 , et son inverse 5 est 1 2 3

3 = . 2

4. En effet, supposons par l’absurde que p est impair, i.e. p = 2n + 1 avec n 2 N. Alors p2 = (2n + 1)2 = 4n + 2n + 1 = 2(2n2 + n) + 1, ce qui montre que p2 est impair, puisqu’il s’écrit sous la forme 2N + 1 avec N 2 N. Or, nous savons que p2 est pair, d’où l’absurdité, qui prouve donc par le principe du raisonnement par l’absurde que p est pair. 5. C’est l’occasion de rappeler que, si a,b,c 2 R avec b,c 6= 0, 2

a b c

=

ac . b

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1.2

CHAPITRE 1. NOMBRES ET INÉGALITÉS

Ordre dans R

Pour deux nombres réels x et y tel que x est inférieur (ou égal) à y, on note x  y ou, de manière équivalente, y  x qui se lit : y est supérieur (ou égal) à x. La relation "" est une relation d’ordre dans R, c’est-à-dire qu’elle vérifie les trois propriétés suivantes : Réflexivité : 8x 2 R, x  x Antisymétrie : 8x, y 2 R, x  y et y  x ) x = y

Transitivité : 8x, y, z 2 R, x  y et y  z ) x  z

L’ensemble R, muni de la relation "", est un ensemble dit totalement ordonné, c’est-à-dire que, étant donnés deux nombres réels quelconques x et y, on a x  y ou y  x. On peut aussi définir la relation "...