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Lösungen zu Übungen aus Statik in der Versorgungs- und Gebäudetechnik Lerneinheit 1: Kräfte und Momente von R. Mair, Hochschule München, FK 05

1. Aufgabe: Resultierende

y

F3

5 A F2 F1 O

5

x

Abbildung 1: Beliebiges Kräftesystem

Bestimmen Sie die Resultierende aller Kräfte nach Lage und Größe für nebenstehendes Kraftsystem rechnerisch und zeichnerisch. Berechnen Sie das Drehmoment der Resultierenden bezüglich des Koordinatenursprungs O und bezüglich des Punktes A, wenn die Kräfte F1 = 3 N, F2 = 4 N, F3 = 3 N betragen.

Stand 23.10.10

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Lösungen zu Übungen aus Statik in der Versorgungs- und Gebäudetechnik Lerneinheit 1: Kräfte und Momente von R. Mair, Hochschule München, FK 05

Lösung: Rechnerische Lösung Größe der Resultierenden:

[][ ][ ][

][ ]

R=F1  F2 F 3= 3  0  −3 = 30− 3 = 0 N 0 0 −4 −4 0 − 4 0 Lage der Resultierenden: Das Drehmoment aller Kräfte um den Punkt O M O=−∣F1∣⋅2 m−∣F2∣⋅3 m∣F3∣⋅6 m M O=−3 N⋅2 m−4 N⋅3 m3 N⋅6 m = 0 Nm Das Drehmoment der Ersatzkraft R um den Punkt O M O=−R x⋅y R R y⋅x R 0=−0⋅y R −4⋅x R ⇒ x R =0 Die Resultierende liegt auf der y-Achse. M O=0 und M A =4 N⋅6 m = 24 Nm Oder anders betrachtet. Die Kräfte F1 und F3 bilden ein Kräftepaar und heben sich gegenseitig auf. Es bleibt lediglich das Moment M=F1⋅4 m=F3⋅4 m=12 Nm über. Die Resultierende aller Kräfte R entspricht also der Kraft F2 bezüglich Richtung und Betrag. Die Lage der Wirkungslinie der Resultierenden R wird jedoch durch das Moment M beeinflusst. Verschiebt man die Wirkungslinie der Kraft F2 um den Betrag M 12 Nm =3 m nach links, erhält man die = 4N F2 Wirkungslinie der Resultierenden auf der y-Achse.  x=

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Zeichnerische Lösung: Von den beiden Kräften F2 und F3 wird eine Teilresultierende R2,3 ermittelt. Die Ersatzkraft aus R2,3 und F1 ist die Resultierende R. Rx = 0 N,

Ry = - 4 N (nach unten)

Die Wirkungslinie der Resultierenden R liegt vollständig in der y-Achse. y

F3

y F1

5 A R1,2 F 2

R1,2 O

5

R

x

x

Abbildung 2: Teilresultierende R1,2

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0

Abbildung 3: Gesamtresultierende

3

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2. Aufgabe: Resultierende

y

F3

5 A

F1 F2

O

5

x

Abbildung 4: Parallele Kräfte

Bestimmen Sie die Resultierende aller Kräfte der Lage und Größe nach für nebenstehendes Kraftsystem rechnerisch und zeichnerisch. Berechnen Sie das Drehmoment der Resultierenden bezüglich des Punktes A und bezüglich des Punktes O, wenn die Kräfte: F1 = 4 kN, F2 = 2 kN, F3 = 2 kN sind.

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Lösung: Rechnerische Lösung: Weil die Kräfte F1, F2 und F3 ein paralleles Kraftsystem bilden und die Resultierende verschwindet, Rx = F1,x + F2,x + F3,x = 0 kN Ry = F1,y + F2,y + F3,y = -4 kN + 2kN + 2kN = 0 kN verbleibt nur ein Drehmoment der Größe M O=−F1⋅2 mF 2⋅3 mF3⋅6 m M O=−4 kN⋅2 m  2 kN⋅3 m2 kN⋅6 m=10 kNm .

Weil die Resultierende 0 kN ist, verändert das Drehmoment an keinem anderen Ort seinen Wert. M O= M A =10 kNm

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Zeichnerische Lösung: Die parallelen Kräfte F1 und F2 werden mit einer Hilfskraft H1 ergänzt. Die Addition von F1 + H1 auf der einen Seite und F2 + H1 auf der anderen Seite führt zu der Teilresultierenden R1 und R2.

y F2

5

R2 A

H1

H1

F3 R1

F1

O

5

x

Abbildung 5: Hilfskräfte H1

Die beiden Teilresultierenden R1 und R2 bilden die Teilresultierende R1,2 für F1 und F2.

R1,2

y

R2 5 A F3

Die Teilresultierende R1,2 ist R1 gleich groß und verläuft paral5 lel aber entgegengesetzt zu der O verbleibenden Kraft F3. Es Abbildung 6: Teilresult. R1,2 handelt sich um ein Kräftepaar. Die Gesamtresultierende R y verschwindet. Das Moment M = 10 kNm bleibt über und 5 wirkt sowohl im Punkt A als A auch im Punkt O. F3

R1,2

O

x

5

x

Abbildung 7: Kräftepaar Stand 23.10.10

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3 . Aufgabe: Kräftezerlegung in zwei Richtungen y 5

w2 F1

A

w3

O

5

x

Abbildung 8: Kräftezerlegung in zwei Richtungen

Zerlegen Sie: zeichnerisch die Kraft F1 in die Richtungen w2 und w3. rechnerisch die Kraft F1 in die Richtungen w2 und w3. Bestimmen Sie das Drehmoment: der Kraft F1 um den Punkt A. der Kräfte F2 und F3 um den Punkt A. der Kraft F1 um den Punkt O. der Kräfte F2 und F3 um den Punkt O. Eine Einheit entspricht 1 N und 1 m.

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Zeichnerische Lösung:

y 5

w2

F2 F3

F3

F1

A

F2 w3

O

5

x

Abbildung 9: Kräftezerlegung in zwei Richtungen

Die Wirkungslinien w2 und w3 werden durch den Endpunkt der Kraft F1 parallel verschoben. Es entsteht das so genannte Kräfteparallelogramm. Vom Startpunkt der Kraft F1 bis zu ihrem Endpunkt werden nun die beiden Kräfte aneinander gereiht. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, erst F2 und dann F3 oder erst F3 und dann F2.

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Rechnerische Lösung Der Ursprung des Koordinatensystems wird in den Anfangspunkt von F1 geschoben

y

Die Vektorgleichung

F1

F1=F2+F 3=w 2⋅λ 2+w 3⋅λ 3

[ ]

w2 w3

x

−1,5 −1,5 welcher mit dem Vektor F1 oder Abbildung 10: Kraftzerlegung über Umwege mit F2 und F3 er- in w2 und w3 reicht wird.

beschreibt den Punkt

Die Wirkungslinien werden auf

[]

w2= 1 0

[ ]

1 und w 3= −1

verkürzt.

Die Vektorgleichung F1=w 2⋅λ 2+w 3⋅λ3 wird damit zu

[ ][] [ ]

−1,5 = 1 ⋅  1 ⋅ 2 3 0 −1 −1,5

Die Lösung des Gleichungssystems liefert: 3

= 1,5 N und

2

= -3N.

Die Kräfte sind dann:

[]

[ ]

F2 = 1 ⋅−3 = −3 0 0

Stand 23.10.10

[ ] [ ]

1 ⋅1,5= 1,5 und F3 = −1 −1,5

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Das Drehmoment der Kraft F1 um den Punkt A ist n

n

M A=∑ Fi,y⋅ x i−∑ Fi, x⋅ y i i=1

i=1

M A=−1,5 N⋅−1m−−1,5⋅1m=3 Nm Das Drehmoment der Kräfte F2 und F3 um den Punkt A ist M A=F 2,y⋅ x 2−F2,x⋅ y 2F 3,y⋅ x 3−F3, x⋅ y 3 M A=0−−3N ⋅1 m−1,5 N ⋅−1m−1,5N⋅1m=3 Nm Das Drehmoment der Kraft F1 um den Punkt O ist M O=F1,y⋅ x 1−F1,x⋅ y 1 M O=−1,5 N⋅4 m−−1,5 N ⋅6 m=3Nm Das Drehmoment der Kräfte F2 und F3 um den Punkt O ist M O=F 2,y⋅ x 2−F2,x⋅ y 2F 3,y⋅ x 3−F3, x⋅ y 3 M O=0−−3N ⋅6 m−1,5 N⋅4m−1,5 N⋅6 m=3Nm Egal, ob man die Einzelkraft F1 nimmt, oder die Komponenten in Richtung beliebiger Wirkungslinien, das Drehmoment um einen beliebigen Punkt ist immer gleich.

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4. Aufgabe: Kräftezerlegung in drei Richtungen

y 5

w3

w4 F1

w2

5

x

Abbildung 11: Kräftezerlegung in drei Richtungen

Zerlegen Sie die Kraft F1 = 2 kN in die drei Kräfte F2, F3, und F4, wenn deren Wirkungslinien, w2, w3 und w4 vorgegeben sind.

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Lösung: Zeichnerische Lösung:

w3 w4

w2

F3

C F1

F1

C

C

F4

F2 5

Abbildung 12: Lageplan

x

Abbildung 13: Kräfteplan

Die Wirkungslinie der Kraft F1 wird zum Schnitt mit der Wirkungslinie w3 gebracht. Verbindet man diesen gefundenen Schnittpunkt mit dem Schnittpunkt der beiden übrigen Wirkungslinien w4 und w2, so erhält man die CULLMANNSCHE Gerade C. Im Lageplan stellt die CULLMANNSCHE Gerade die Wirkungslinie einer Hilfskraft C dar. Sie bildet mit der Wirkungslinie der verwendeten Kraft F3 und der Wirkungslinie der gegebenen Kraft F1 ein zentrales Kräftesystem. Damit lässt sich die Kraft F1 in die Richtungen der CULLMANNSCHEN Geraden und der Richtung von F3 zerlegen. Die Hilfskraft C kann mit den bekannten Mitteln für zentrale Kraftsysteme in die Richtungen von w2 und w4 weiter zerlegt werden. |C| = 1,42 kN, |F3| = 1,11 kN, |F2| = 1,3 kN, |F4| = 0,75 kN

Stand 23.10.10

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