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Sucesiones y series infinitas

8

thomasmayerarchive.com

Las sucesiones y series infinitas se introdujeron brevemente en A Preview of Calculus en relación a las paradojas de Zenón y la representación decimal de números. Su importancia en cálculo proviene de la idea de Newton de representar funciones como sumas de series infinitas. Por ejemplo, al hallar áreas él con frecuencia integraba una función expresándola primero como una serie y luego integrando cada término de la serie. Seguiremos esta idea en la Sección 8.7 2 para integrar funciones tales como ex . (Recuerde que ya antes lo hemos hecho.) Muchas de las funciones que aparecen en física matemática y química, por ejemplo las funciones de Bessel, están definidas como sumas de series, de modo que es importante estar familiarizado con los conceptos básicos de convergencia de sucesiones y series infinitas. Los físicos también usan series en otras formas, como veremos en la Sección 8.8. Al estudiar campos tan diversos como la óptica, relatividad especial y electromagnetismo, analizan fenómenos al sustituir una función con los primeros pocos términos de la serie que la representan.

553

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CAPÍT ULO 8

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

8.1 Sucesiones Se puede considerar una sucesión como una lista de números escritos en un orden definido: a 1, a 2, a 3, a 4, . . . , a n, . . . El número a1 se denomina primer término, a2 es el segundo término, y en general an es el n-ésimo término. Trataremos exclusivamente con sucesiones infinitas y por tanto cada término an tendrá un sucesor an1. Nótese que para todo entero positivo n hay un correspondiente número an y entonces una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Pero por lo general escribimos an en lugar de la notación de función f (n) para el valor de la función en el número n. Notación: La sucesión {a1, a2, a3, . . . } también se denota con

o bien

a n 



a n  n苷1

EJEMPLO 1 Descripción de sucesiones Algunas sucesiones se pueden definir al dar una fórmula para el n-ésimo término. En los ejemplos siguientes damos tres descripciones de la sucesión: una usando la notación precedente, otra usando la fórmula de definición y una tercera escribiendo los términos de la sucesión. Nótese que n no tiene que empezar en 1.

(a)

(b)

    

n n1

an 苷

n n1

an 苷

1nn  1 3n

n苷1

1nn  1 3n

(c)

{sn  3 } n苷3

a n 苷 sn  3 , n  3

(d)

 

a n 苷 cos

n cos 6

v



n苷0

n , n0 6

 



n 1 2 3 4 , , , ,..., ,... 5 2 3 4 n1

4 5 1nn  1 2 3 ,..., ,...  , , , 3 9 27 81 3n



{ 0, 1, s2 , s3 , . . . , sn  3 , . . .}



1,



n s3 1 , , 0, . . . , cos ,... 2 2 6

EJEMPLO 2 Encuentre una fórmula para el término general an de la sucesión





4 5 6 7 3 , , , , ,... 5 25 125 625 3125

suponiendo que continúe el patrón de los primeros pocos términos. SOLUCIÓN Nos indican que

a1 苷

3 5

a2 苷 

4 25

a3 苷

5 125

a4 苷 

6 625

a5 苷

7 3125

Nótese que los numeradores de estas fracciones empiezan con 3 y aumentan en 1 siempre que pasemos al siguiente término. El segundo término tiene numerador 4, el tercer término tiene numerador 5; en general, el n-ésimo término tendrá numerador n  2. Los denominadores son las potencias de 5, de modo que an tiene denominador 5n. Los signos

SECCIÓN 8.1

SUCESIONES

555

de los términos son alternativamente positivos y negativos, por lo cual necesitamos multiplicar por una potencia de 1. En el Ejemplo 1(b) el factor (1)n significa que empezamos con un término negativo. Aquí deseamos empezar con un término positivo y por lo tanto usamos (1)n1 o (1)n1. En consecuencia a n 苷 1 n1

n2 5n

EJEMPLO 3 A continuación veamos algunas sucesiones que no tienen ecuaciones de definición sencillas.

(a) La sucesión {pn}, donde pn es la población mundial hasta el 1 de enero del año n. (b) Si hacemos que an sea el dígito en el n-ésimo lugar decimal del número e, entonces {an} es una sucesión bien definida cuyos primeros términos son 7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, . . . (c) La sucesión de Fibonacci {fn} está definida en forma recursiva por las condiciones f1 苷 1

f2 苷 1

fn 苷 fn1  fn2

n3

Cada término es la suma de los dos términos precedentes. Los primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . Esta sucesión apareció cuando el matemático italiano del siglo XIII conocido como Fibonacci resolvió un problema relacionado con la cría de conejos (vea Ejercicio 47). a¡

a™ a£

a¢

1 2

0

Una sucesión como la del Ejemplo 1(a), an 苷 n(n  1), se puede ver ya sea localizando sus términos sobre una recta numérica, como en la Figura 1, o trazando su gráfica, como en la Figura 2. Nótese que, puesto que una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, su gráfica está formada por puntos aislados con coordenadas

1

FIGURA 1

1, a 1  an

2, a 2 

...

n, a n 

...

De la Figura 1 o la Figura 2 se ve que los términos de la sucesión an 苷 n(n  1) se aproximan a 1 cuando n se hace grande. De hecho, la diferencia

1

1

7

a¶= 8 0

3, a 3 

1 2 3 4 5 6 7

n

1 n 苷 n1 n1

se puede hacer tan pequeña como se desee al tomar n suficientemente grande. Indicamos esto al escribir

FIGURA 2

lim a n 苷 lim

nl

nl

n 苷1 n1

En general, la notación lim a n 苷 L nl

significa que los términos de la sucesión {an} se aproximan a L a medida que n se hace grande. Nótese que la siguiente definición del límite de una sucesión es muy semejante a la definición de un límite de una función en el infinito dada en la Sección 2.5.

556

CAPÍT ULO 8

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

1

Definición Una sucesión {an} tiene el límite L y escribimos

o bien

lim a n 苷 L nl

Una definición más precisa del límite de una sucesión se da en el Apéndice D.

an l L cuando n l 

si podemos hacer que los términos an sean tan cercanos a L como queramos tomando n suficientemente grande. Si limn l  an existe, decimos que la sucesión converge (o es convergente). De otro modo, decimos que la sucesión diverge (o es divergente). La Figura 3 ilustra la Definición 1 al mostrar las gráficas de dos sucesiones que tienen el límite L.

an

an

L

L

FIGURA 3

Gráficas de dos sucesiones con lim an= L n

0

0

n

n

`

Si se compara la Definición 1 con la Definición 2.5.4 se verá que la única diferencia entre limn l  an 苷 L y limx l  f (x) 苷 L es que se requiere que n sea un entero. Así, tenemos el siguiente teorema que está ilustrado por la Figura 4. 2

Teorema Si limx l  f (x) 苷 L y f (n) 苷 an cuando n es un entero, entonces

limn l  an 苷 L.

y

y=ƒ

L

0

FIGURA 4

x

1 2 3 4

En particular, dado que sabemos de la Sección 2.5 que limx l  (1/x r ) 苷 0 cuando r  0, tenemos 3

lim

nl

1 苷0 nr

si r  0

Si an se hace grande cuando n se hace grande, usamos la notación lim a n 苷  nl

En este caso la sucesión {an} es divergente, pero en una forma especial. Decimos que {an} diverge a . Las Leyes de Límites dadas en la Sección 2.3 también se cumplen para los límites de sucesiones y sus pruebas son semejantes.

SECCIÓN 8.1

Leyes de Límites para Sucesiones

SUCESIONES

557

Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces lim a n  bn  苷 lim a n  lim bn

nl

nl

nl

lim a n  bn  苷 lim a n  lim bn

nl

nl

nl

lim ca n 苷 c lim a n

nl

lim c 苷 c

nl

nl

lim a n bn  苷 lim a n  lim bn

nl

lim

nl

nl

nl

lim a n

an bn

nl

si lim bn

lim bn

0

nl

nl

lim a np nl

lim a n

nl

p

si p

0 y an

0

El Teorema de compresión también se puede adaptar para sucesiones como sigue (vea Figura 5).

Teorema de Restricción para Sucesiones

Si a n  bn  cn para n  n 0 y lim a n 苷 lim cn 苷 L, entonces lim bn 苷 L . nl

nl

nl

Otro dato útil acerca de límites de sucesiones está dado por el siguiente teorema, que se sigue del Teorema de compresión porque  a n  a n  a n .

cn

 

 

bn an 0

4

 

Si lim a n 苷 0 , entonces lim a n 苷 0 .

Teorema

nl

nl

n

FIGURA 5

La sucesión {bn} está comprimida entre las sucesiones {an} y {cn}.

EJEMPLO 4

Encuentre lim nl

n . n1

SOLUCIÓN El método es semejante al que empleamos en la Sección 2.5: Dividir numera-

dor y denominador entre la potencia de orden superior de n presente en el denominador y luego usar las Leyes de Límite. n 苷 lim nl n  1 nl

Esto demuestra que la conjetura que hicimos antes de las Figuras 1 y 2 era correcto.

苷

lim 1

1

lim

1

1 n

nl

苷

lim 1  lim

nl

nl

1 n

1 苷1 10

Aquí empleamos la Ecuación 3 con r 苷 1. EJEMPLO 5

Aplicación de la Regla de l’Hospital a una función relacionada

Calcule lim

nl

ln n . n

SOLUCIÓN Nótese que numerador y denominador se aproximan al infinito cuando n l . No podemos aplicar la Regla de l’Hospital directamente porque no aplica a sucesiones

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CAPÍT ULO 8

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

sino a funciones de una variable real, pero podemos aplicar la Regla de l’Hospital a la función relacionada f (x) 苷 (ln x)x y obtener lim

xl

1x ln x 苷 lim 苷0 x l  1 x

En consecuencia, por el Teorema 2, tenemos lim

nl

an

ln n 苷0 n

EJEMPLO 6 Determine si la sucesión an 苷 (1)n es convergente o divergente.

1

SOLUCIÓN Si escribimos los términos de la sucesión, obtenemos

0

1

2

3

4

n

_1

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . La gráfica de esta sucesión se muestra en la Figura 6. Como los términos oscilan entre 1 y 1 infinitamente, an no se aproxima a ningún número. Entonces limn l  (1) n no existe; esto es, la sucesión {(1) n} es divergente.

FIGURA 6 La gráfica de la sucesión del Ejemplo 7 se ve en la Figura 7 y apoya la respuesta.

EJEMPLO 7 Evalúe lim nl

1 n si existe. n

SOLUCIÓN Primero calculamos el límite del valor absoluto:

an 1

lim

nl





1 1 n 苷 lim 苷 0 nl n n

Por tanto, por el Teorema 4, 0

1

n

lim

nl

_1

FIGURA 7

1 n 苷0 n

El siguiente teorema dice que si aplicamos una función continua a los términos de la sucesión convergente, el resultado también es convergente. La prueba está dada en el Apéndice E. 5

Teorema Si lim a n 苷 L y la función f es continua en L, entonces nl

lim f a n  苷 f L nl

EJEMPLO 8 Encuentre lim sen

n .

nl

SOLUCIÓN Como la función seno es continua en 0, el Teorema 5 hace posible que escri-

bamos lim sen nl

v

n

sen lim nl

EJEMPLO 9 Uso del Teorema de compresión

n

sen 0

0

Discuta la convergencia de la sucesión

a n 苷 n!n n, donde n! 苷 1  2  3      n. SOLUCIÓN Tanto el numerador como el denominador se aproximan al infinito cuando n l  pero aquí no tenemos función correspondiente para usar con la Regla de l’Hospital (x! no está definida cuando x no es un entero). Escribamos unos pocos términos para

SECCIÓN 8.1 Creación de gráficas de sucesiones Algunos sistemas computarizados de álgebra tienen comandos especiales que hacen posible crear sucesiones y graficarlas directamente. En casi todas las calculadoras de gráficas, no obstante, se pueden graficar sucesiones con ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, la sucesión del Ejemplo 9 se puede graficar si se introducen las ecuaciones paramétricas x苷t

y 苷 t!t t

y graficando en el modo de puntos, empezando con t 苷 1 y haciendo el escalón t igual a 1. El resultado se ve en la Figura 8.

SUCESIONES

559

tener idea de lo que ocurre a an cuando n se hace grande: a1 苷 1

a2 苷

6

12 22

a3 苷

123 333

1  2  3    n n  n  n    n

an 苷

Se ve de estas expresiones y la gráfica de la Figura 8 que los términos son decrecientes y quizá se aproximen a 0. Para confirmar esto, observemos de la Ecuación 6 que an 苷

1

1 n



2  3    n n  n    n



Nótese que la expresión en paréntesis es a lo sumo 1 porque el numerador es menor (o igual) que el denominador. Por tanto, 1 n

0  an  0

10

Sabemos que 1n l 0 cuando n l . Por tanto, an l 0 cuando n l  por el Teorema de compresión.

FIGURA 8

v

¿Para qué valores de r es conver-

EJEMPLO 10 Límite de una sucesión geométrica

gente la sucesión {r n}? SOLUCIÓN Sabemos de la Sección 2.5 y las gráficas de las funciones exponenciales de la

Sección 1.5 que limx l  a x 苷  para a  1 y limx l  a x 苷 0 para 0  a  1. Por tanto, poniendo a 苷 r y usando el Teorema 2, tenemos lim r n

si r si 0

0

nl

1 r

1

Para los casos r 苷 1 y r 苷 0 tenemos lim 1n 苷 lim 1 苷 1

nl

nl

lim 0 n 苷 lim 0 苷 0

y

nl

nl

 

Si 1  r  0, entonces 0  r  1, y

 



lim r n 苷 lim r nl

nl

n

苷0

y por tanto limn l  r n 苷 0 por el Teorema 4. Si r  1, entonces {r n} diverge como en el Ejemplo 6. La Figura 9 muestra las gráficas para varios valores de r. (El caso r 苷 1 se ve en la Figura 6.) an

an

r>1 1

FIGURA 9

La sucesión an=r

n

0

1

0...