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MATRICES...

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Suma de matrices Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A+0 =A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa:

A+B =B +A

Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A=(aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. kA=(k aij)

Propiedades a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a (a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b 1 · A = A A Mmxn

Producto de matrices

Propiedades del producto de matrices Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A · I =A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A·B≠B·A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

Suma y diferencia de matrices

Producto por un escalar por una matriz

Producto de matrices

Mm x n x Mn x p = M m x p

Matriz inversa A · A-1 = A-1 · A = I (A · B)-1 = B-1 · A-1 (A-1)-1 = A (k · A)-1 = k-1 · A-1 Cálculo de la matriz inversa

Ejercicios Dadas las matrices:

Calcular: A + B;

A - B;

A x B;

B x A;

At.

SUMA DE MATRICES Y PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

DEFINICIÓN 1.11 Si

y

son matrices, entonces la suma

A + B se define como la matriz C de orden m x n, A + B = C, donde

.

La suma de matrices solo esta definida para matrices del mismo orden (tienen el mismo número de filas y de colunas).

Ejemplo 20 TEOREMA 1.4 (Propiedades de la suma de matrices) Sean A, B y C matrices de Rm x n, entonces se verifican las siguientes propiedades: 1.

Clausurativa.

2. A + B = B + A

Conmutativa.

3. A + (B + C) = (A + B) + C

Asociativa.

4. A + 0 = 0 + A = A componentes son cero)

5. A + (-A) = 0 aditiva de A.

Modulativa donde

O

Invertiva donde

es la matriz nula

(todas sus

- A es la inversa

DEMOSTRACIÓN.

2. Sea y matrices son reales se tiene

, entonces

, pero como las

que porque la suma de reales

ya que

,

se cumple

cumple la propiedad conmutativa.

5. Sea

una matriz y definamos la matriz para

,

,

donde

,

luego

para

,

y por tanto

y a la matriz B

se le llama la inversa aditiva de A y se denota - A.

Las demostraciones 1, 3 y 4 se dejan como ejercicio al lector.

DEFINICIÓN 1.12 (Diferencia de Matrices).

Sean A y B matrices de orden m x n, definamos la diferencia

En palabras A menos B es igual a la suma de A mas el inverso aditivo de B.

.

DEFINICIÓN 1.13 (Producto de un Escalar por una Matriz).

Dada una matriz producto del escalar

y

un escalar (

un número real) definimos el

por

la matriz A como

.

Ejemplo 21

TEOREMA 1.5 (Propiedades del producto por un escalar)

Sean A y B matrices de Rm x n y

escalares:

1.

2. la suma de escalares.

3. suma de matrices.

distributiva del producto por un escalar con respecto a

distributiva del producto por un escalar con respecto a la

4.

Asociatividad del producto por un escalar.

5.

Identidad.

DEMOSTRACIÓN.

1. Sea

y

. Como números reales para

y por lo tanto

3. Sean

y

.

y

son números reales, entonces

son

,

.

matrices de Rm x n y

.

por definición de suma de matrices. por definición de producto de un escalar por una matriz. propiedad distributiva del producto en los reales con respecto a la suma de reales. Definición de suma de matrices. Definición del producto de un escalar por una matriz.

Las demostraciones de las propiedades 2, 4 y 5 quedan como ejercicio.

DEFINICIÓN 1.14 (Matriz Traspuesta).

La traspuesta de una matriz y

.

Si

A

es la matriz

es una matriz cuadrada, es decir

. Una matriz que cumpla que

, donde m =n

puede ocurrir que

se llama matriz simétrica.

La diagonal principal de una matriz

es el conjunto ordenado de los

componentes

.

cij=aij+bij +cij

donde...