T2.2 No linealidades y linealización PDF

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12 Linealización de modelosOBJETIVOS Distinguir un modelo lineal de uno no lineal  Aprender a linealizar un modelo dinámico no linealCONTENIDOS Linealidad / No linealidad  Conceptos  No linealidades típicas de sistemas físicos  Linealización:  Motivación  Concepto y procedimiento  Linealiza...

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2.2 Linealización de modelos OBJETIVOS  Distinguir un modelo lineal de uno no lineal  Aprender a linealizar un modelo dinámico no lineal

CONTENIDOS  Linealidad / No linealidad  Conceptos  No linealidades típicas de sistemas físicos  Linealización:  Motivación  Concepto y procedimiento  Linealización de modelos de ODEs  Procedimiento  Ejemplos de linealización de modelos de sistemas físicos  Modelo del depósito  Modelo del péndulo

Linealidad / No linealidad Definición: Se considera lineal a todo aquel sistema (y=f(x)) al que se le puede aplicar el principio de superposición: Homogeneidad:

y  f ( ꞏx )   ꞏ f ( x )

Aditividad: La respuesta producida por la aplicación simultánea de varias señales excitadoras distintas (x1, x2,...,xn), es la suma de las respuestas individuales a dichas señales (y1, y2,...,yn).

x

n

x i 1

i

Sistema lineal, y=f(x)

y

n

y i 1

Siendo, yi=f(xi), la respuesta debida a cada entrada xi

i

Linealidad / No linealidad Aplicación del principio de superposición: Considere el sistema descrito por y  0.5ꞏx Homogeneidad x1  2  y1  0.5ꞏx1  1 Aditividad

x2  10  5ꞏx1  y 2  0.5ꞏx2  5ꞏy1  5 x1  2  y1  0.5ꞏx1  1  x 2  8  y 2  0.5ꞏx 2  4 x  x  x  10  y  0.5ꞏx  5  y  y 1 2 1 2 

Sistema lineal

Considere ahora el sistema descrito por z  x / 2  x1  1  x1  2  z1  2  No cumple homogeneidad  x  10  5ꞏx  z  x2  5  5ꞏz  5 1 2 1 2  2  x1 1  x1  2  z1  2  No cumple aditividad x 2  8  z 2  x2  2 2   x  x  x  10  z  x  5  z  z  3 1 2 1 2 2  

Sistema no lineal

Linealidad / No linealidad Gráficamente es inmediato observar si un sistema estático (ecuación/modelo) es lineal o no

z  x/2

Sistema no lineal Sistema lineal y  0.5ꞏx

Linealidad / No linealidad En el caso de los sistemas dinámicos la no linealidad implica que el no cumplimiento de las propiedades de la aditividad y homegeneidad puede afectar tanto a los parámetros estáticos (valor estacionario) como dinámicos (como llega a ese valor estacionario) de la respuesta del sistema. Además, la no linealidad del sistema implica que la aplicación de la misma señal en dos puntos de operación diferentes genera respuestas diferentes.

Linealidad / No linealidad Consideramos un sistema al que le aplicamos dos entradas distintas

X1(t) Y1(t)

+

Y1(t)+Y2(t)

X2(t) Y2(t)

=

X3(t)=X1(t)+X2(t)

Y3(t)

Linealidad / No linealidad Se observa que no se cumple la propiedad de aditividad ya que la suma de las salidas individuales es distinta, tanto en los aspectos dinámicos como estáticos, a la salida que se obtiene si se le aplica la señal de entrada como suma de las antes consideradas. También puede observarse que no se cumple la propiedad de homogeneidad, si nos fijamos en la relación entre las respuestas y1(t) e y2(t) ante las entradas x1(t) y x2(t). x2(t)=2ꞏx1(t); y2(t)=f(x2(t))=f(2ꞏx1(t))≠2ꞏ f(x1(t))=2ꞏy1(t) Como consecuencia podemos decir que el sistema es NO LINEAL.

Linealidad / No linealidad Representación de sistemas lineales / no lineales: Los sistemas lineales se representan por ecuaciones lineales, pudiendo ser tanto ecuaciones estáticas como ecuaciones dinámicas (ODEs). Ejemplos: y  2ꞏx x(t ) dy (t )  3ꞏ y (t )  dt 2

Los sistemas no lineales se representan por ecuaciones no lineales, pudiendo ser tanto ecuaciones estáticas como ecuaciones dinámicas (ODEs). Ejemplos:





d 2 x (t ) dx (t )  x 2 (t )  1  x (t )  0 2 dt dt dy (t )  y ( t )  y 3 (t )  Aꞏsin u (t )  dt

2

d 2 x ( t )  dx (t )     x (t )  0 dt 2  dt  y (t )  e x( t ) ꞏsin u (t ) 

No linealidades típicas en sistemas físicos 

Relaciones matemáticas no lineales Ejemplo: La relación entre la potencia que cede una resistencia eléctrica y la intensidad que circula por ella es cuadrática

No linealidades típicas en sistemas físicos 

La salida de un componente puede saturarse a niveles altos de una señal de entrada. Ejemplos: Un amplificador electrónico es lineal en un intervalo específico pero presenta una saturación a altos voltajes de entrada

El posicionador eléctrico de una válvula no puede abrirse más del 100% ni cerrarse menos del 0%.

V (volts)

apertura (%) 100 (%)

V (volts) V (volts)

No linealidades típicas en sistemas físicos 

Puede haber una zona muerta (rango de variaciones de entrada en las que el componente es insensible) que afecte a las señales de pequeña magnitud Ejemplo: Si un motor DC está parado se necesita una tensión de alimentación no nula por encima de cierto umbral para que el motor supere la fricción estática y empiece a girar.

No linealidades típicas en sistemas físicos 

Pueden existir sistemas con histéresis. Ejemplo: Huelgo estático típico en los engranajes entre motor y carga. • •

•

Sea X, el desplazamiento de la parte inferior del engranaje (motor) e Y el desplazamiento de la parte superior (carga). Cuando empieza a moverse el engranaje motor en la dirección positiva, hasta que no se ha desplazado una distancia (h) el engranaje de la carga no empieza a moverse, y a partir de ese momento lo hacen de forma conjunta. Algo similar sucede cuando los engranajes motor y carga se está moviendo simultáneamente hacia la derecha, y el engranaje motor comienza a moverse en la dirección izquierda. h

Engranaje de la carga Engranaje motor

y (mm)

h

x (mm) h

Linealización  Motivación  La

formulación básica de la automática requiere de modelos matemáticos LINEALES.  Si el modelo del sistema es no-lineal debe realizarse una aproximación lineal del mismo d h(t ) d h(t ) A  q(t )  k h(t ) A  q (t )   ꞏh(t ) dt dt  El rango de validez de estos modelos linealizados está limitado al punto entorno al cual se linealizan (punto de linealización).

Linealización Concepto: es una técnica que se utiliza para encontrar una aproximación lineal de una ecuación no lineal en un punto dado. Puede aplicarse tanto a ecuaciones estáticas como a ecuaciones diferenciales A: Punto de operación o linealización

Salida

Aproximación lineal

Entrada

 x0 , f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 )  K ( x  x0 )

El modelo linealizado sólo es válido en un entorno pequeño alrededor del punto de linealización. Cuanto más nos alejemos de este punto, peor será la aproximación.

Linealización: procedimiento Fundamento: cualquier función puede ser expandida en serie Taylor alrededor de un punto de operación:

df 1 d2 f (x  x0 )  y  f ( x)  f ( x0 )  dx x  x 0 2! dx 2

( x  x0 ) 2  ... x x 0

Si la variación (x-x0) es pequeña, se pueden despreciar los términos de orden superior. Así, la linealización de la función f(x) consiste en aproximar la función con sólo los primeros dos términos de la serie:

df y  f ( x 0 ) (x  x0 )  dx x  x  0 y 0

 K

y  y 0  K ( x  x0 ) Si denotamos: Δx=x-x0 Δy=y-y0 Entonces:

y  K ꞏx

Linealización: aplicación a ODEs 



La técnica presentada puede aplicarse para aproximar ecuaciones diferenciales no lineales Procedimiento: 







Consideraremos para cada ecuación las variables de entrada al modelo y las variables dependientes, o de salida, y todas sus derivadas con respecto al tiempo, como variables en el modelo a linealizar. Suele escogerse un punto de linealización estacionario, de ese modo en el punto de linealización las derivadas de las variables de entrada y de salida (o dependientes) son todas nulas. Se aplica el procedimiento explicado anteriormente.

Resultado: 

Para cada ecuación se obtendrá una ecuación diferencial lineal (LODE) expresada en términos de las variables de desviación.

Linealización: procedimiento Veamos como linealizar una función de dos variables. Sea:

z  g ( x, y )  z  g ( x , y )  0  f ( x , y , z )  0

Se elige un punto de linealización ( x , y )  z  g ( x , y )  f ( x , y , z )  0 0 0 0 0 0 0 0 0 que satisface la ecuación Se desarrolla en serie de Taylor, hasta el término de orden 1, alrededor del punto x0,y0,z0.

f ( x, y , z )  0  f ( x 0 , y 0 , z 0 ) 

f f f ( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z0 )  0 x 0 y 0 z 0

Como f(x0,y0,z0)=0 y denotando: x  x  x0 ; y  y  y0 ; entonces   f

x 0

x(t)

x 

z  z  z0

f f y  z  0  K1ꞏx  K 2ꞏy  K 3ꞏz  0 y 0 z 0

x(t)

x0

t

Ecuación lineal en las nuevas variables de desviación x, y, z Desviaciones pequeñas de las variables con respecto a la condición de operación

Linealización de modelos de sistemas físicos. Ejemplo del depósito A

d h( t)  q (t )  u (t )ꞏk h (t ) dt

La función a linealizar es: f (h , h , u , q )  Aꞏh  q  uꞏk h  0

h0  0, h0 , u0 , q0

q h u Desarrollo:

Variables desviación

h = h - h0 q = q - q0 u = u - u0

Se omite la dependencia de las variables con el tiempo por simplicidad. Ej: u(t)  u

Punto de linealización

f (h0 , h0, u0, q0)  0

f f f f f (h0 ,h0 ,u0 ,q0 )   (h  h0 ) (h  h0 ) (u  u0 )  (q  q0 )  0 h 0 h 0 u 0 q 0 f Como f (h0, h0, u0 , q0 )  0;  A; h 0

Entonces A

uk f  0 ; h 0 2 h0

dh u0k  h  k h0 u  q  0 dt 2 h0

f f  k h0 ;  1 u 0 q 0 Ecuación Diferencial LINEAL

El valor de los coeficientes depende del punto de linealización

Linealización de modelos de sistemas físicos. Ejemplo del depósito Consideraciones con respecto al punto de linealización Por simplicidad se escoge el punto de linealización (h’0, h0, u0, q0) de modo que satisface el modelo no lineal f(h’0, h0, u0, q0)=0 y el sistema está en estado estacionario (h’0=0)

Los valores de (h0, u0, q0) no son independientes

f (h, h, q, u )  0  q0  u 0k h0  0 2

 q  Si se escogen u0 y q0, entonces  h0   0   kꞏu   0 significa que en el punto de q0 la altura es constante (h’0=0) y su h0

Fisicamente linealización valor (h0) depende del caudal que esté entrando por la parte superior (q0) y la apertura de la válvula de extracción de agua (u0).

u0

Linealización de modelos de sistemas físicos. Ejemplo del depósito Consideraciones con respecto a las condiciones iniciales El modelo obtenido por linealización, y sus condiciones iniciales es:

 d h (t ) u 0k  A dt  2 h h(t )  k h0 u (t )  q (t ) 0   h (t  0)   h0  h (t  0)  h0  u (t  0)  u  u (t  0)  u 0 0   q (t  0)   q0  q (t  0)  q0

Si se eligen como condiciones iniciales de las variables absolutas, el valor de las mismas en el punto de linealización, resulta que el modelo formulado en base a incrementos (variables desviación) presenta condiciones iniciales nulas (más tarde será importante)

Si  Si Si 

h (t  0)  h0  h (t  0)  0. u (t  0)  u0   u(t  0)  0. q(t  0)  q0   q(t  0)  0.

 2 h0 A d h (t ) 2 h0 2h  h(t )   0 u (t )  q (t )   u0k dt u0 u0k   dh( t)  dt  h(t )  K1 u (t )  K2 q (t )

Linealización. Ejemplo del péndulo

El modelo que resulta de aplicar que el momento de inercia por la aceleración angular es igual al sumatorio de pares aplicados es:

d 2 (t ) mgL sen  (t )  T (t ) J  dt 2 2 Ecuación Diferencial NO LINEAL

Linealizar

(t) es la señal de salida: ángulo girado T(t) es la señal de entrada: par aplicado en la dirección  J (momento de inercia del péndulo alrededor del punto de rotación), m (masa), g y L (longitud) son parámetros del modelo

Linealización. Ejemplo del péndulo La función a linealizar es:

 f   f f 2     ( ) ( ) (T  T0 )  0      d MgL 0 0 sen T  0  0 f (,,T )  J 2   0 T 0  dt 2 f MgL f f Desarrollo de la linealización   1 cos0    J   T 2    0 0 0   d 2  MgL Punto de linealización J  cos0   T  0 dt2 2 MgL   0  0  sen  0  T 0  0  Variables desviación 2 MgL T = T - T0 sen  0  T0  2  =  - 0 Si se elige 

0

 0  T0  0

Particularizando para el punto de linealización elegido (T0=0 y 0=0):

Ecuación diferencial lineal de segundo orden.

T  T  T0  T       0        0     2 J d (t )  MgL (t )  T (t )  0  dt 2 2

Temas de Ampliación. Modelos en Variables de Estados.

23

Modelos en variables de estado p Variables manipuladas Conocimiento completo de todas las variables del sistema en cualquier tt0

u

perturbaciones

x Estados

y

d x (t )  f ( x(t), u(t), p(t), t) dt y(t)  g ( x, u(t ), p(t ), t )

Respuestas observables Ecuaciones diferenciales de 1º orden Ecuación algebraica de salida

Si se linealizan alrededor del punto de operación, se tienen las siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas.

x (t )  Ax (t )  B u(t ) y (t )  Cx (t )  D u(t )

Ecuación de estado Ecuación de salida

del sistema lineal e invariante con el tiempo

Modelos en variables de estado Variables de estado:

dx  Ax  Bu dt y  Cx  Du

• Deben ser linealmente independientes (no se puede escribir ninguna variable de estado como combinación lineal de las otras variables de estado • Conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempo • ¿Número mínimo a seleccionar?: de modo general, el número mínimo necesario es igual al orden de la ecuación diferencial que describe al sistema t

Solución analítica:

x (t )  e At x (0)   e A (t  ) Bu ( )d  0

Modelo en variables de estado. Ejemplo dx del depósito  Ax  Bu Veamos como expresar el modelo obtenido en la formulación del espacio de estados. •x son las variables de estado: Δh •u son las variables de entrada: Δu y Δq •y son las variables de salida : Δh A

dt

y  Cx  x   h u   y   h 

u  q   

k h0 dh u 0k dh uk 1  h  k h0 u  q  0   0 h  u  q dt 2 h0 dt A A 2 A h0 dx  Ax  Bu dt y  Cx   uk  A   0   2 A h0 Donde :    k h0  B      A

  ; C  1  1  A 

  k h0 dh u0k  h   dt A 2 A h0 

1   u   A    q 

 h  1ꞏ  h

Las matrices A y B depende del punto de linealización

Linealización. Ejemplo del péndulo Veamos como expresar el modelo obtenido en la formulación del espacio de estados. Transformemos la ODE de 2º orden en dos ODEs de 1er orden.

 d (t)  1(t) 0   dt  (t) d  (t ) MgL  (t)  0      MꞏgꞏL    1 T(t) (t) T(t)  0  J 2  0(t)    (t)  d t MgL dt 2 ( ) J J   (t) T(t)  0    2ꞏJ    dt 2 2

Veamos como expresar el modelo en la formulación del espacio de estados. •X son las variables de estado:  y  •U son las variables de entrada: T •Y son las variables de salida : 

   x    u  T    y     

dx  Ax  Bu; y  Cx dt  A   Donde :   B  

1  0 ;  1 0   M ꞏgꞏL 0 C  2ꞏJ  0  1  J 

Repasemos Sistemas lineales  No-linealidades típicas de los sistemas: 

Saturación  Zona muerta  Histéresis 



Linealización de un sistema lineal Definición  Procedimiento y Ejemplos 



Representación de sistemas lineales en espacio de estados

Cosas en que pensar (1) 

Tanque con el sistema calefactor: Calcular un punto de equilibrio  Linealizar el modelo  Ponerlo en variables de estado 

Ti

q(t)

T(t) V(t)

R

qout

dT (t) V (t ) 2  q(t )ꞏ(Ti  T ( t))  Vd  ꞏce ꞏR dt

Cosas en que pensar (2) 

Sistema electromecánico: ¿Es lineal?  Ponerlo en variables de estado 

u (t )  Rꞏi1 (t )  Vc (t ) dVc (t ) 1  i1 (t )  i2 (t ) dt C di Vc (t )  Lꞏ 2 (t ) dt d 2 x( t ) dx (t )    F t K x t b mꞏ ( ) ꞏ ( ) ꞏ dt 2 dt F (t )   ꞏi2 (t )

Cosas en que pensar. Ejercicio 6

La figura refleja un proceso de calentamiento de un fluido. El fluido llega al intercambiador de calor a una temperatura Ti (ºC) (que puede variar con el tiempo), y después del proceso de calentamiento sale con una temperatura T (ºC). Se dispone de una válvula de regulación que puede modificar el caudal del fluido (q) que circula por el dispositivo. Se denomina u (%) a la apertura de dicha válvula. El modelo matemático que permite calcular la evolución de la temperatura de salida del fluido en función de la temperatura de entrada y de la apertura de la válvula de regulación es: 3

𝑑 𝑇 𝑡  6𝑇 𝑡  8.8𝑢 𝑡 𝑑𝑡



 2𝑇 󰇛𝑡󰇜

Cuando el sistema está en estado estacionario y la temperatura de entrada es de 10 ºC, la de salida es de 40ºC. 31 Linealizar el sistema

.

Cosas en que pensar. Ejercicio 5 Un surtidor de gasolina puede modelarse mediante la ecuación

2

  

 𝑢 𝑡  4𝑄 󰇛𝑡󰇜-Q(t)

donde Q(t) es el caudal de gasolina que da el surtidor (litros/segundo) y u(t) es la tensión de entrada al motor de la bomba del surtidor (voltios), que se puede manipular a voluntad. Además se sabe que la relación entre el volumen y el caudal de gasolina suministrado por el surtidor viene dado por la siguiente ecuación diferencial .

dV (t )  Q (t ) dt Elegido el punto de trabajo Q=0. litros/segundo, calcule la función de transferencia que relaciona el volumen de gasolina suministrado por el surtidor con la tensión de alimentación de la bomba del surtidor. Donde el primer paso es linealizar el sistema....