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Alex Gotev – Dispense di Analisi 1

Tabella degli integrali

∫ f  x

integrale

F x

primitiva

∫ f  x

±1

∫ x dx

x2  c 2

∫

∫ a dx

ax  c

∫

∫ a x dx

ax  c log a

∫ 1x dx

∫ x 21 dx

x

1 log∣x 21∣  c 2

∫ x n dx

∫ a⋅x dx

a⋅x  c n1

1

 1−x

2

1

 x −1 2

x  c {±arcsin ∓arccos x  c

dx

log ∣x  x 2−1∣  c

−

1

1

∫ ax 2 dx

a− x  c log a

n−1  c n−1 x x 1 arctan  c a a −

a0

∣ ∣

1 1 x  c log 1− x 2

1

∫ x dx

log ∣x∣c

∫ 1−x 2 dx

1 dx x

2x  c

∫

∫

primitiva

dx

a

n1

n

F x

integrale

{

arcSh x  c 2 log  x  1x   c

1 dx  1x 2

∫ sin x dx

−cos x  c

∫ sin 2 x dx

1  x−sin x cos x  c 2

∫ cos x dx

sin x  c

∫ cos2 x dx

1  xsin x cos x  c 2

∫ tan x dx

−logcos x  c

∫ tan x dx

log  sin x   c

1

log ∣x  x±a2∣  c

∫ arcsin x dx

 1− x 2 x arcsin x

∫ arccos x dx

x arccos x− 1− x  c

 c

2

∫ e ±k x dx

±

∫  1tan 2 x  dx ∫ 12 dx

=

∫  1ctg 2 x  dx ∫ 12 dx

=

e ±k x  c k

1

∫

dx

 x ±a2 ∫ x 2±a 2 dx 2

2

x x2 ±a 2 ± a log x  2 2  c x ±a 2 2

1

∫ ek x dx

−

∣  x2  4 ∣  c

1

tan x  c

∫ cos x dx

−ctg x  c

∫ sin x dx

Ch x  c

∫ a 2− x 2 dx

log tan

cos x

sin x

∫ Sh x dx

1

∫ Ch x dx ∫

2x dx x 1 2

Sh x c

log x 21  c

∣ 2x∣  c

1

∫ Ch2 x dx

log tan

=

∫ 1−Th2 x  dx

∫

1 dx 2 x a 2

e−k x  c k





x 1 2 a arcsin x a 2 −x 2  c 2 a

Th x  c

c 1 x arctan  c a a

Alex Gotev – Dispense di Analisi 1

Proprietà

∫ k⋅ f  x  dx ∫ f  x

 g  x ... f n  x  dx

∫ f  x dx

=

1 f  x  dx = a

= a∫

=

k⋅∫ f  x dx

∫ f  x dx



∫ g  x dx

... f n  x  dx

a f  x dx

1 a f  x  dx = a∫

∫a

a∈R

Integrali indefiniti riconducibili ad elementari

∫ f  x

F x

integrale

f n1  x  c n1

∫ f n  x⋅ f '  x dx ∫

primitiva

f '  x dx f x

log ∣ f  x∣  c

∫ f '  x ⋅cos f  x  dx ∫ f '  x ⋅sin f  x dx ∫ e f  x f '  x dx

−cos f  x   c

∫ a f  x f '  x dx

a f  x  c ln a

∫

f '  x

 1− f

2

 x

sin f  x   c

e f  x  c

{

arcsin f  x  c −arccos f  x  c

dx

f '  x

∫ 1 f 2  x dx

arctan f  x  c

Integrale definito b

∫ f  x  dx

b

= F b − F a = [ F  x  ]a

a

dove F è la primitiva di f(x)

Integrazione per parti

∫ f  x  g '  x  dx

= f  x g  x −∫ f '  x g  x  dx f(x) va derivata e g'(x) va integrata

Integrale indefinito b

Integrale definito

∫

b

f  x  g '  x  dx = [ f  b  ⋅ g  b  − f  a ⋅ g  a  ] −

a

P  x ⋅e x

a

Si integrano per parti funzioni del tipo: P  x ⋅sin x P  x cos x e  x⋅sin  x

e  x⋅cos x

dove P(x) è un polinomio

Integrazione per sostituzione Integrale indefinito Integrale definito

∫ f '  x  g  x  dx

∫ f  h x  h '  x  dx

=

∫ f  y dy y=h  x h b 

b

∫ f  h x  h '  x  dx a

=

∫ h a 

f  y dy...